1、数学（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每題给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2已知函数是定义在上周期为的奇函数，且当时，则 的值为（ ）A. B. C. D. 3若，则下列各式中一定正确的是A BCD4已知正数项等比数列中，且与的等差中项是，则（ ）A2BC4D2或45若，则的大小关系（ ）A. B. C. D.6下列判断正确的是（ ）A. 命题“，”的否定是“，”B. 函数的最小值为2C. “”是“”的充要条件D. 若，则向量与夹角钝角7将函数图像上
2、所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图像，则函数的图像的一个对称中心是（ ）A. B. C. D. 8双曲线的离心率是，过右焦点作渐近线的垂线，垂足为，若的面积是1，则双曲线的实轴长是（ ）A. 1B. 2C. D. 9若曲线的一条切线是，则的最小值是（ ）A. 2B. C. 4 D. 10如图，在中，若，则的值为A B C D11已知函数的最小正周期为，若在时所求函数值中没有最小值，则实数的范围是( )A. B. C. D. 12已知函数，（是自然对数的底数），若关于的方程恰有两个不等实根、，且，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5
3、分，共20分）13，则_.14平面向量与的夹角为，则_.15若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为_16如图，在棱长为 1 的正方体中，点是的中点，动点在底面 内（不包括边界），若平面，则的最小值是_三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17已知正项数列的前项和满足：（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和.18（本小题满分12分）在中，角所对的边分别为，的面积为，若.（）求角的大小；（）若，求的值.19（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，平面底面，为的中点，是的中点，.（）求证：；（）求二面角的余弦值. 20（本小题满分12分）已知椭圆：的左，
4、右焦点分别为，且经过点（）求椭圆的标准方程；（）过点作一条斜率不为的直线与椭圆相交于两点，记点关于轴对称的点为证明：直线经过轴上一定点，并求出定点的坐标21（本小题满分12分）已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）若，不等式对一切恒成立，求实数的取值范围22在直角坐标系中，过点的直线的参数方程为（为参数）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（）求曲线的直角坐标方程；（）若直线与曲线相交于两点，求的最小值23设函数（1）若的最小值是，求的值；（2）若对于任意的实数，总存在，使得成立，求实数的取值范围数学（理科）答案1【答案】D 根据复数的除法运算得到结果.【详解】复
5、数 对应的点坐标为在第四象限.2【答案】B 由题意，函数是定义在上周期为的奇函数，所以，又时，则，所以，故选B.3【答案】D4与的等差中项是，所以，即，负值舍去，故选B5【答案】B【解析】由题意得：，所以6【答案】C 【详解】解：对于选项A，命题“，”的否定是“，”，即A错误；对于选项B，令 ，则，则，又在为增函数，即 ，即B错误；对于选项C，由“”可得“”，由“”可得，解得“”，即 “”是“”的充要条件，即C正确，对于选项D，若，则向量与夹角为钝角或平角，即D错误，故选C.7【答案】D【解析】将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则 ，由题可得当时，.即函数
6、的图象的一个对称中心是故选D8【答案】B【解析】由于双曲线焦点到渐近线的距离为,故,根据面积公式有,而,解得,故实轴长,选B9【答案】C【解析】设切点为,故切线方程为,即,所以.故选C.1011【答案】D【详解】因为函数的最小正周期为，所以，当时，因为时所求函数值中没有最小值，所以，解得，所以的取值范围是，12【答案】D【详解】解：，恒成立，作函数，的图象如下，结合图象可知，存在实数，使得，故，令，则，故在递减，在递增，故选：D13【答案】2 详解：由，可得，则，故答案为.14.15【答案】【解析】由题意， 有解，即有解，令， ，当时，当时，所以，故只需16【答案】详解】取中点，连结，作，连，
7、因为面面面，所以动点在底面 内轨迹为线段，当点与点重合时，取得最小值，因为，所以.17【答案】（1）；（2）【试题解析】（1）由已知，可得 当时，可解得，或，由是正项数列，故. 当时，由已知可得，两式相减得，.化简得，数列是以2为首项，2为公比的等比数列，故.数列的通项公式为.（2），代入化简得，显然是等差数列，其前项和.18.19【答案】（）见解析.（）.试题解析：（）在中，为的中点，所以.因为平面底面，且平面底面，所以底面.又平面，所以.（）在直角梯形中，为的中点，所以，所以四边形为平行四边形.因为，所以，由（）可知平面，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.则，.因为，所以平面，即
8、为平面的一个法向量，且.因为是棱的中点，所以点的坐标为，又，设平面的法向量为.则，即，令，得，所以.从而 . 由题知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.20【答案】（）（）证明见解析，直线经过轴上定点，其坐标为【详解】解：（）由椭圆的定义，可知.解得.又，椭圆的标准方程为.（）由题意，设直线的方程为. 设，则.由，消去，可得.，.，. ，直线的方程为.令，可得.直线经过轴上定点，其坐标为.21（本小题满分12分）解：（1）的定义域是，时，在上单调递增：时，解得，当时，则在上递减；当时，则在上递增（2）法1：当时，依题意知不等式，即在上恒成立，即在上恒成立，设，令，易知在上递减，在上递增，则，即，设，则，则递增，又故，解得（3）法2：当时，不等式，即为，整理为，也即为构造函数，易知单调递增，又，即，所以，即恒成立故恒成立，只需（恒成立，则个定有，解得22. 【详解】解：（），.由直角坐标与极坐标的互化关系，. 曲线的直角坐标方程为.（）将直线的参数方程代入曲线的方程，并整理得.，可设是方程的两个实数根，则，.，当时，等号成立.的最小值为.22.【答案】（1）；（2）详解：（），由已知，知，解得.（）由题知，又是存在的，.即，变形得，.点睛：（1）利用和可对含绝对值的不等式进行放缩，从而求得最值（注意验证取等号的条件）；