1、20202021学年度第一学期期中考试试卷高二数学（文科）一、单选题（每题5分，共60分）1. 下列不等式中，正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】A【解析】【分析】根据不等式的性质和取特殊值验证可得选项.【详解】对于A选项：由不等式的性质得若，则，故A正确；若，则，故B错；设若，则， 所以C、D错，故选：A.【点睛】本题考查不等式的性质的运用，在运用时注意不等式性质成立的条件，属于基础题.2. 在等差数列中,，则（ ）A. 5B. 8C. 10D. 14【答案】B【解析】试题分析：设等差数列的公差为，由题设知，所以，所以，故选B.考点：等差数列通项公式.3.
2、在各项都为正数的等比数列中，首项，前3项和为21，则()A. 84B. 72C. 33D. 189【答案】A【解析】分析：设等比数列的公比为，根据前三项的和为列方程，结合等比数列中，各项都为正数，解得，从而可以求出的值.详解：设等比数列的公比为， 首项为3，前三项的和为，解之得或，在等比数列中，各项都为正数，公比为正数， 舍去），故选A.点睛：本题考查以一个特殊的等比数列为载体，通过求连续三项和的问题，着重考查了等比数列的通项，等比数列的性质和前项和等知识点，属于简单题.4. 等差数列的首项为，公差不为若、成等比数列，则的前项的和为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据等
3、比中项的性质列方程，解方程求得公差，由此求得的前项的和.【详解】设等差数列的公差为，由、成等比数列可得，即，整理可得，又公差不为0，则，故前项的和为.故选：A5. 下列说法错误的是（）A. 如果命题“非”与命题“或”都是真命题，那么命题一定是真命题B. 命题：存在，使，则非：对任意，都有C. 命题“若都是偶数，则是偶数”的逆否命题是“若不是偶数，则不是偶数”D. 命题“存在，”是假命题【答案】C【解析】【分析】利用真值表判断的正误；由特称命题与全称命题的否定关系判断的正误；利用逆否命题的定义判断的正误；利用判别式小于零判断的正误.【详解】如果命题“非”为真，则为假，又因为命题“或”是真命题，所
4、以命题一定是真命题，正确；根据特称命题与全称命题的否定可得正确；命题“若都是偶数，则是偶数”的逆否命题为“若不是偶数，则不都是偶数”，不正确；由判别式小于零可判断“存在，”是假命题，正确，故选C.【点睛】本题通过判断或命题、且命题以及非命题的真假，主要考查特称命题与全称命题的否定、逆否命题的定义，属于中档题.解答非命题、且命题与或命题真假有关的题型时，应注意：（1）原命题与其非命题真假相反；（2）或命题“一真则真”；（3）且命题“一假则假”.6. 已知集合，则“”是“的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：当时
5、，或所以“”是“”的充分不必要条件故A正确考点：1充分必要条件；2集合间的关系7. 设x，y满足约束条件，则z2xy的最小值是（ ）A. 15B. 9C. 1D. 9【答案】A【解析】【分析】作出可行域，z表示直线的纵截距，数形结合知z在点B(6，3)处取得最小值.【详解】作出不等式组表示的可行域，如图所示，目标函数，z表示直线的纵截距，数形结合知函数在点B(6，3)处纵截距取得最小值，所以z的最小值为12315.故选：A【点睛】本题考查简单的线性规划问题，属于基础题.8. 若设、为实数，且，则的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式转化为指数运算即可求
6、解【详解】由基本不等式可得，又因为，所以（当且仅当等号成立）故答案为D【点睛】本题考查了用基本不等式求指数中的最值，比较基础9. 设等比数列的前项和为，若，则（ ）A. 31B. 32C. 63D. 64【答案】C【解析】【分析】根据等比数列前项和的性质列方程，解方程求得.【详解】因为为等比数列的前项和，所以，成等比数列，所以，即，解得.故选：C10. 张丘建算经卷上第22题为：今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第1天织5尺布，现在一月（按30天计）共织390尺布，则每天比前一天多织_尺布（不作近似计算）（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：
7、由题可知,是等差数列,首项是5,公差为,前30项和为390.根据等差数列前项和公式,有,解得.考点：等差数列定义,等差数列前项和公式.11. 函数的图像恒过定点，若定点在直线上，则的最小值为（ ）A. 13B. 14C. 16D. 12【答案】D【解析】【详解】分析：利用指数型函数的性质可求得定点，将点的坐标代入，结合题意，利用基本不等式可得结果.详解：时，函数值恒为，函数的图象恒过定点，又点在直线上，又，（当且仅当时取“=”），所以，的最小值为，故选D.点睛：本题主要考查指数函数的性质，基本不等式求最值，属于中档题. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：
8、一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.12. 已知圆方程为，点是圆上的任一点，则不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设，令，利用辅助角公式进行化简，得出的最小值，结合题中恒成立的条件，即可求出的取值范围.【详解】解：令，令，则，令，当时，因为不等式恒成立，所以，即，解得：，所以实数的取值范围为.故选：C【点睛】本题考查利用三角函数求最值，解决不等式恒成立问题，还涉及了辅助角公式
9、，换元法，一元二次不等式的解法，考查转化思想和解题能力.二、填空题（每题5分，共20分）13. 已知数列的前项和，则该数列的通项公式_【答案】【解析】【分析】根据求出；利用得到，证得数列为等比数列；再根据等比数列通项公式写出结果.详解】由得：，即又，则由此可得，数列是以为首项，为公比的等比数列则本题正确结果：【点睛】本题考查等比数列通项公式求解问题，关键是能够利用证得数列为等比数列，即符合递推关系符合等比数列定义的形式.14. 若等差数列满足，则当_时，的前项和最大【答案】8【解析】试题分析：由等差数列的性质，又因为，所以所以，所以，故数列的前8项最大.考点：等差数列的性质，前项和的最值，容易
10、题.15. 给出以下结论：命题“若，则”的逆否命题“若，则”；“”是“”的充分条件；命题“若，则方程有实根”的逆命题为真命题；命题“若，则且”的否命题是真命题.其中错误的是_.（填序号）【答案】【解析】【分析】根据逆否命题的定义、充分条件的判定和四种命题的关系可依次判断各个选项得到结果.【详解】对于，根据逆否命题的定义可知：“若，则”的逆否命题为“若，则”， 正确；对于，当时，充分性成立，正确；对于，原命题的否命题为“若，则方程无实根”；当时，此时方程有实根，则否命题为假命题；否命题与逆命题同真假，逆命题为假命题，错误；对于，原命题的逆命题为“若且，则”，可知逆命题为真命题；否命题与逆命题同真
11、假，否命题真命题，正确.故答案为：.【点睛】本题考查四种命题的关系及真假性的判断、充分条件的判定等知识；关键是熟练应用四种命题真假性的关系来进行命题真假的判断.16. 已知关于的不等式在上恒成立，则实数的最小值为_.【答案】【解析】【分析】根据基本不等式，求出的最小值，根据题意，得到，即可求出结果.【详解】因为，所以，因为关于的不等式在上恒成立，即，所以，即的最小值为.故答案为：.【点睛】本题主要考查由基本不等式研究不等式恒成立的问题，熟记基本不等式即可，属于常考题型.三、解答题（共90分）17. 已知，命题：，命题：.（1）当时，若命题为真，求的取值范围；（2）若是的充分条件，求的取值范围.
12、【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由命题为真，可知都是真命题，结合对应的的范围，可求出答案；（2）利用充分条件对应的关系列出不等式，求解即可.【详解】（1）由题意，即命题：，当时，命题：，即：，若为真，则都是真命题，则；（2）由题意，：，：，若是的充分条件，则，即，解得.故的取值范围是.【点睛】本题考查复合命题间关系，考查充分性的应用，考查不等式的解法，考查学生的计算能力与推理能力，属于基础题.18. 若不等式的解集是（1）求的值；（2）求不等式【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据方程与不等式关系，可知的两个根分别为和2，结合韦达定理即可求得的值；（2）代入的值，可得通过移
13、项，通分、合并同类项，即可解不等式【详解】（1）依题意知，且的两个实数根为和2由韦达定理可得，解得（2）将代入不等式得即，整理得即，解得，故不等式的解集为【点睛】本题考查了一元二次方程与二次不等式的关系，分式不等式的解法，特别注意解分式不等式不能够去分母，属于基础题19. 已知数列前n项和满足（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据求得数列的通项公式.（2）利用裂项求和法求得.【详解】（1）当时， 当时，当时上式也符合.所以.（2）由题意知，可设则.20. 已知函数（1）若的解集为，求的值；（2）当时，若对任意恒成立，求实数的取值范围；（
14、3）当时，解关于的不等式（结果用表示）【答案】（1）（2）（3）见解析【解析】试题分析：（1）根据不等式解集与方程根的关系得的两个根为-1和3，再根据韦达定理可得（2）一元二次方程恒成立，得，解得实数的取值范围；（3）当时，先因式分解得，再根据a与1的大小分类讨论不等式解集试题解析：解：（1）因为的解集为，所以的两个根为-1和3，所以，解得（2）当时，因为对任意恒成立，所以，解得，所以实数的取值范围是（3）当时，即，所以，当时，；当时，；当时，综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为21. 已知是等差数列前n项和，.（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前n项
15、和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）首先利用已知条件建立方程组，求出数列的首项与公差，进一步确定等差数列的通项公式（2）利用(1)的结论，进一步求出数列的通项公式，最后利用错位相减法求出数列的和【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为d，则，解得：，故.（2）由于：，则，由可得，.【点睛】本题主要考查了数列通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题22. 已知正项等比数列满足，数列满足.（1）求数列的前项和；（2）若，且对所有的正整数都有成立，求实数的取值范围.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）由等比数列的定义先求得公比,即可求得,代入的通项公式中可得,再利用错位相减法求数列的和即可；（2）先判断数列的单调性,并求得项的最大值,则问题转化为当时,有恒成立,即恒成立,利用均值不等式求得最值,即可求解.【详解】解:（1）因为正项等比数列,所以,解得或（舍）,所以,则,所以,则,所以,.（2）由（1）,则,所以,所以当时,；当时,所以数列在时取得最大值为,所以当时,有恒成立,即恒成立,因为,当且仅当,即时等号成立,所以,则.【点睛】本题考查求等比数列的通项公式,考查错位相减法求数列的和,考查利用数列的单调性求数列的项的最大值,考查解数列不等式的恒成立问题,考查运算能力和转化思想.