1、第2讲基本初等函数、函数的应用高考定位1.掌握二次函数、分段函数、幂函数、指数函数、对数函数的图象与性质；2.以基本初等函数为依托，考查函数与方程的关系、函数零点存在性定理；3.能利用函数解决简单的实际问题.真 题 感 悟 1.(2020全国卷)已知5584，13485.设alog53，blog85，clog138，则()A.abc B.bacC.bca D.cab解析log53log85log530，log53log85.5584，13485，5log854log8844log13135log138，log85log138，log53log85log138，即ab2b B.ab2 D.ab2
2、解析由指数和对数的运算性质可得2alog2a4b2log4b22blog2b.令f(x)2xlog2x，则f(x)在(0，)上单调递增.又22blog2b22blog2b122blog2(2b)，2alog2a22blog2(2b)，即f(a)f(2b)，a0且a，b1，M0，N0).2.指数函数与对数函数的图象和性质指数函数yax(a0，a1)与对数函数ylogax(a0，a1)的图象和性质，分0a1两种情况，当a1时，两函数在定义域内都为增函数，当0a0，且a1)的图象可能是()(2)(2020百校联盟考试)已知函数f(x)log(x2axa)在上为减函数，则实数a的取值范围是()A.(，
3、1 B.C. D.解析(1)当a1时，y是减函数，yloga是增函数，且yloga的图象过定点，则选项A，B，C，D均不符合.从而0a1时，直线yxa与y的图象只有一个交点的情况：相切时，由y，得x2，此时切点为，则a1.相交时，由图象可知直线yxa从过点A向右上方移动时与y的图象只有一个交点.过点A(1，1)时，1a，解得a.所以a.结合图象可得，所求实数a的取值范围为1.故选D.答案(1)C(2)D探究提高解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解.【训练3】 (1)若函数f(x)|logax|3x(a0，a1)的
4、两个零点是m，n，则()A.mn1 B.mn1C.0mn1，m，即logamlogan，loga(mn)0，则0mn1.(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x3)f(x1)，则该函数的周期为4.当x0，2时，f(x)2x1，当x2，0时，x0，2，f(x)f(x)2x1，所以A正确.f(2 019)f(45051)f(1)f(1)1，所以B正确.若yf(x)的图象关于点(2，0)对称，则f(3)f(1)0，但是f(3)f(1)f(1)1，f(3)f(1)0，与f(3)f(1)0矛盾，所以C错误.作出函数yf(x)，ylog2x的大致图象，如图.由图可得函数g(x)f(x)log2x有
5、3个零点，所以D正确.故选ABD.答案(1)C(2)ABD热点三函数的实际应用【例4】 (2020新高考山东卷)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R01rT.有学者基于已有数据估计出R03.28，T6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 20.69)()A.1.2天 B.1.8天 C.2.5天 D.3.5天解析由R01
6、rT，R03.28，T6，得r0.38.由题意，累计感染病例数增加1倍，则I(t2)2I(t1)，即e0.38t22e0.38t1，所以e0.38(t2t1)2，即0.38(t2t1)ln 2，t2t11.8.故选B.答案B探究提高1.解决函数的实际应用问题时，首先要耐心、细心地审清题意，弄清各量之间的关系，再建立函数关系式，然后借助函数的知识求解，解答后再回到实际问题中去.2.对函数模型求最值的常用方法：单调性法、基本不等式法及导数法.【训练4】 (2019全国卷)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解决的
7、一个关键技术问题是地面与探测器的通信联系.为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行.L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上.设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：(Rr).设.由于的值很小，因此在近似计算中33，则r的近似值为()A.R B.R C.R D.R解析由得rR，代入(Rr)，整理得.又33，即33，所以，故rRR.答案DA级巩固提升一、选择题1.(2020全国卷)设alog342，则4a()A. B. C. D.解析法一因为alog342，所以log34a2，
8、所以4a329，所以4a.故选B.法二因为alog342，所以a2log43log432log49，所以4a4log494log49191.故选B.答案B2.已知alog20.2，b20.2，c0.20.3，则()A.abc B.acbC.cab D.bca解析由对数函数的单调性可得alog20.2201，0c0.20.30.201，所以ac1时，令f(x)1log2x0，解得x，又因为x1，所以此时方程无解.综上函数f(x)的零点只有0.答案D4.(2019全国卷)若ab，则()A.ln(ab)0 B.3a0 D.|a|b|解析法一不妨设a1，b2，则ab，可验证A，B，D错误，只有C正确.
9、法二由ab，得ab0.但ab1不一定成立，则ln(ab)0不一定成立，故A不一定成立.因为y3x在R上是增函数，当ab时，3a3b，故B不成立.因为yx3在R上是增函数，当ab时，a3b3，即a3b30，故C成立.因为当a3，b6时，ab，但|a|b|，D项不正确.答案C5.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2m1lg，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k1，2).已知太阳的星等是26.7，天狼星的星等是1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为()A.1010.1 B.10.1 C.lg 10.1 D.1010.1解析设太阳的星等为m1，天狼星的星等为m2，
10、则太阳与天狼星的亮度分别为E1，E2.由题意知，m126.7，m21.45，代入所给公式得1.45(26.7)lg，所以lg10.1，所以1010.1.答案A6.(2020广州模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，满足f(x1)f(x)，当x0，1时，f(x)cosx，则函数yf(x)|x|的零点个数是()A.2 B.3 C.4 D.5解析由f(x1)f(x)，得f(x2)f(x)，知周期T2.令f(x)|x|0，得f(x)|x|.作出函数yf(x)与g(x)|x|的图象如图所示.由图象知，函数yf(x)|x|有两个零点.答案A二、填空题7.已知R，函数f(x)若函数f(x)恰有2个零点
11、，则的取值范围是_.解析令f(x)0，当x时，x4.当x时，x24x30，则x1或x3.若函数f(x)恰有2个零点，结合图1与图2知，14.答案(1，3(4，)8.已知ab1，若logablogba，abba，则a_，b_.解析设logbat，则t1，因为t，解得t2，所以ab2，因此ab(b2)bb2bba，a2b，b22b，又b1，解得b2，a4.答案429.(2020重庆质检)已知a，b，c为正实数，且ln aa1，bln b1，cec1，则a，b，c的大小关系是_.解析ln aa1，ln b，ec.依次作出yex，yln x，yx1，y这四个函数的图象，如下图所示.由图象可知0c1，a
12、1，b1，cab.答案cab三、解答题10.已知偶函数f(x)满足f(x1)，且当x1，0时，f(x)x2，若在区间1，3内，函数g(x)f(x)loga(x2)有3个零点，求实数a的取值范围.解偶函数f(x)满足f(x1)，f(x2)f(x11)f(x)，函数f(x)的周期为2，又x1，0时，f(x)x2，x0，1时，f(x)f(x)x2，从而f(x)x2，x1，1.在区间1，3内函数g(x)f(x)loga(x2)有3个零点等价于函数f(x)的图象与yloga(x2)的图象在区间1，3内有3个交点.当0a1且解得3a5.故实数a的取值范围为(3，5).B级能力突破11.(2020贵阳质检)
13、已知函数f(x)其中e为自然对数的底数，则函数g(x)3f(x)210f(x)3的零点个数为()A.4 B.5 C.6 D.3解析当x0时，f(x)4x36x21的导数为f(x)12x212x，当0x1时，f(x)单调递减，x1时，f(x)单调递增，可得f(x)在x1处取得最小值，最小值为1，且f(0)1，作出函数f(x)的图象，g(x)3f(x)210f(x)3，可令g(x)0，tf(x)，可得3t210t30，解得t3或，当t，即f(x)时，g(x)有三个零点；当t3时，可得f(x)3有一个实根，综上，g(x)共有四个零点.答案A12.记f(x)，g(x)分别为函数f(x)，g(x)的导函
14、数.若存在x0R，满足f(x0)g(x0)且f(x0)g(x0)，则称x0为函数f(x)与g(x)的一个“S点”.(1)证明：函数f(x)x与g(x)x22x2不存在“S点”；(2)若函数f(x)ax21与g(x)ln x存在“S点”，求实数a的值.(1)证明函数f(x)x，g(x)x22x2，则f(x)1，g(x)2x2.由f(x)g(x)且f(x)g(x)，得此方程组无解，因此，f(x)与g(x)不存在“S点”.(2)解函数f(x)ax21，g(x)ln x，则f(x)2ax，g(x).设x0为f(x)与g(x)的“S点”，由f(x0)g(x0)且f(x0)g(x0)，得即(*)得ln x0，即x0e，则a.当a时，x0e满足方程组(*)，即x0为f(x)与g(x)的“S点”.因此，a的值为.