1、午间半小时(十九)(30分钟 50分)一、单选题1若 ABC 的内角 A，B，C 所对的边 a，b，c 满足(ab)2c24，且 C60，则ab 的值为()A43 B84 3 C1 D23【解析】选 A.由(ab)2c24，得 a2b2c22ab4，由余弦定理得 a2b2c22ab cos C2ab cos 60ab，则 ab2ab4，所以 ab43.2已知 ABC 的三边 a，b，c 满足 1ab 1bc 3abc，则B 为()A30 B45 C60 D120【解析】选 C.由 1ab 1bc 3abc 可得，b2a2c2ac，即有 cos Ba2c2b22ac12，又 0B1，ACAB12
2、，则当 AC 最短时，BC 等于()A1 32 B2 3 C12 34 D42 3【解析】选 A.设 BCa，ACb，ABc，则 a1，cb12，在 ABC 中，由余弦定理可得 a2b221(b)22ab12，即 a2b14 ab，所以 ba214a1(a1)34a1 2234 2 3 2，当且仅当(a1)234 即 a 321 时取等号，故当 AC 最短时，BC 等于 1 32.4在 ABC 中，已知 abc cos Bc cos A，则 ABC 的形状是()A等腰三角形 B直角三角形C等边三角形 D等腰或直角三角形【解析】选 D.由余弦定理得：cos Ab2c2a22bc，cos Ba2c
3、2b22ac，代入 abc cos Bc cos A 中，得 aba2c2b22ab2c2a22b，整理得：ab(ab)c2(ab)(ab)(a2abb2)0，即(ab)(c2a2b2)0，可得 ab 或 a2b2c2，则三角形为等腰三角形或直角三角形5在 ABC 中，AB4，AC3，BC5，则A 的角平分线 AD 的长为()A3 2 B2 C12 27 D 144【解析】选 C.因为 AB4，AC3，BC5，所以 AB2AC2BC2，所以BAC90，由已知得 cos BABBC 45，因为 AD 是A 的角平分线，所以ABBD ACDC，即 4BD 3DC，所以 4BD 35BD，BD207
4、，在 ABD 中，由余弦定理得 AD2AB2BD22ABBD cos B1640049 24207 45 28849，所以 AD12 27.6黄金分割点是指将一条线段分为两部分，使得较长部分与整体线段的长的比值为512的点利用线段上的两个黄金分割点可以作出正五角星，如图所示，已知 C，D 为 AB 的两个黄金分割点，研究发现如下规律：ACAB BDAB CDBC 512.若 CDE 是顶角为 36的等腰三角形，则 cos 216()A514B514C512D512【解析】选 A.由题意得，在正五角星中，C，D 为 AB 的两个黄金分割点，易知 BCCE.因为CDBC 512，所以CDCE 51
5、2，故不妨设 CE2，CD 5 1，则在 CDE 中，cos 362222（51）2222514，从而 cos 216cos 18036cos 36514.二、多选题7若 ABC 的三个内角满足 abc51113，则 ABC 不可能为()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D等腰三角形【解析】选 ABD.由 abc51113，设 a5t(t0)，则 b11t，c13t，则角 C为最大角，由余弦定理得 cos Ca2b2c22ab25t2121t2169t225t11t 23110 0，则角C 为钝角，因此，ABC 为钝角三角形，又三边各不相等，故不可能是等腰三角形8设 ABC 的内角 A，
6、B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a2，c2 3，cos A 32，则 b 可能的取值为()A2 B3 C4 D2 2【解析】选 AC.由余弦定理，得 a2b2c22bc cos A，所以 4b2126b，即 b26b80，所以 b2 或 b4.三、填空题9 ABC 中，设 BCa，ABc，ABC 为锐角且满足 lg alg clgsinBlg 2，则 ABC 的形状是_.【解析】由 lg alg clgsinBlg 2 得，lg ac lgsinBlg(2)1，所以ac sin B 22，又ABC 为锐角，则 B4，c 2 a，由余弦定理得 cos Ba2c2b22aca22a2b22a
7、 2a 22，得 ab，所以 BA4，C2，则 ABC 的形状是等腰直角三角形答案：等腰直角三角形10在 ABC 中，点 M 是边 BC 的中点，AM 3，BC2，则 2ACAB 的最大值为_.【解析】记AMC，则AMB，在 AMC 中，AC2AM2MC22AMMC cos 312 3 cos 42 3 cos，同理在 AMB 中可得 AB242 3 cos，所以 AB2AC28，设 AB2 2 cos x，AC2 2 sin x，x0，2，则 2ACAB4 2 sin x2 2 cos x2 2(2sin xcos x)2 10 25sin x 15cos x2 10 sin(x)，其中 cos 25，sin 15，是锐角，显然存在 x02 0，2，使得 sin(x0)1，所以 2ACAB 的最大值为 2 10.答案：2 10
