1、2021-2022学年湖北省黄石二中高二（上）月考数学试卷（8月份）一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）. 1设平面向量（1，2），（2，y），若，则|3+|等于（）ABCD2设f（z）|z|，z13+4i，z22i，则f（z1z2）（）AB5CD53在一次班级聚会上，某班到会的女同学比男同学多6人，从这些同学中随机挑选一人表演节目若选到女同学的概率为，则这班参加聚会的同学的人数为（）A12B18C24D324设m为直线，为两个不同的平面，则下列结论中错误的是（）Am，且mmB，且m与相交m与相交Cm，mD，且mm5我国古代数学算经十书之一的九章算术有一衰分问题：今有北乡八千一百人
2、，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣（）A10 4 人B108 人C112 人D120 人6在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是AD，AA1，A1B1的中点，则点B到平面EFG的距离为（）ABCaD7同时投掷两个骰子，向上的点数分别记为a，b，则方程2x2+ax+b0有两个不等实根的概率为（）ABCD8若过点P（1，0），Q（2，0），R（4，0），S（8，0）作四条直线构成一个正方形，则该正方形的面积不可能等于（）ABCD二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分每小题漏选得2分，选错得0分，全对得5分9在正方体ABCD
3、A1B1C1D1中，有下列说法，其中正确的有（）ABC与的夹角为60D正方体的体积为10已知向量，是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使，共线的是（）A234且+22B存在相异实数，使C当x+y0时，x+yD已知梯形ABCD，其中，11如图，已知矩形ABCD中，AB2AD，E为边AB的中点，将ADE沿直线DE翻折成A1DE，若M为线段A1C的中点，则ADE在翻折过程中，下列说法正确的是（）A线段BM的长是定值B存在某个位置，使DEA1CC点M的运动轨迹是一个圆D存在某个位置，使MB平面A1DE12如图所示，在球O的内接八面体PABCDQ中，顶点P，Q分别在平面ABCD两侧，且四棱锥PABC
4、D与QABCD都是正四棱锥设二面角PABQ的平面角的大小为，则tan的取值可能为（）A4B3CD1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13已知直线l经过点P（4，3），且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程 14某市某校在秋季运动会中，安排了篮球投篮比赛现有20名同学参加篮球投篮比赛，已知每名同学投进的概率均为0.4，每名同学有2次投篮机会，且各同学投篮之间没有影响，现规定：投进两个得4分，投进一个得2分，一个未进得0分，则一名同学投篮得2分的概率为 15已知H是球O的直径AB上一点，AH：HB1：2，AB平面，H为垂足，截球O所得截面的面积为，则球O的表面积为 16如图，BE与C
5、D交于P点，若，则m ，n 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17一个袋中装有6个大小形状完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4，5，6（1）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和为6的概率；（2）先后有放回地随机抽取两个球，两次取的球的编号分别记为a和b，求a+b5的概率18某海上养殖基地A，接到气象部门预报，位于基地南偏东60方向相距20（+1）nmile的海面上有一台风中心，影响半径为20nmile，正以10nmile的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心在基地东北方向刮过且（+1）h后开始影响基地持续2小时，求台风移动的方向19已知A
6、BC中，顶点A（3，7），边AB上的中线CD所在直线的方程是4x3y70，边AC上的高BE所在直线的方程是5x+12y130（1）求点A关于直线CD的对称点的坐标；（2）求顶点B、C的坐标；（3）过A作直线l，使B，C两点到l的距离相等，求直线l的方程20已知四边形ABCD满足ADBC，ABADCDBCa，E是BC的中点，将BAE沿着AE翻折成B1AE，使面B1AE面AECD，F是B1D的中点（）求四棱锥B1AECD的体积；（）求平面ADB1与平面ECB1所成角的正弦值21某校有高中生2000人，其中男女生比例约为5：4，为了获得该校全体高中生的身高信息，采取了以下两种方案：方案一：采用比例分
7、配的分层随机抽样方法，抽收了样本容量为n的样本，得到频数分布表和频率分布直方图方案二：采用分层随机抽样方法，抽取了男、女生样本量均为25的样本，计算得到男生样本的均值为170，方差为16，女生样本的均值为160，方差为20身高（单位：cm）145，155）155，165）165，175）175，185）185，195频数mpq64（1）根据图表信息，求n，q并补充完整频率分布直方图，估计该校高中生的身高均值；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值为代表）（2）计算方案二中总样本的均值及方差；（3）计算两种方案总样本均值的差，并说明用方案二总样本的均值作为总体均值的估计合适吗？为什么？22如
8、图，在几何体ABCDEF中，ABCD，ADDCCB1，ABC60，四边形ACFE为矩形，平面ACFE平面ABCD，CF1（1）求证：平面FBC平面ACFE；（2）点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为（90），试求cos的取值范围参考答案一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）. 1设平面向量（1，2），（2，y），若，则|3+|等于（）ABCD解：，则2（2）1y0，解得y4，从而3+（1，2），|3+|故选：A2设f（z）|z|，z13+4i，z22i，则f（z1z2）（）AB5CD5解：因为z13+4i，z22i，所以z1z25+5i，又f（z）|z|
9、，所以f（z1z2）|5+5i|故选：D3在一次班级聚会上，某班到会的女同学比男同学多6人，从这些同学中随机挑选一人表演节目若选到女同学的概率为，则这班参加聚会的同学的人数为（）A12B18C24D32解：设男同学有x人，则女同学有x+6人，由题意可得 ，解得 x6，则这个班所有的参加聚会的同学的人数为 2x+618人，故选：B4设m为直线，为两个不同的平面，则下列结论中错误的是（）Am，且mmB，且m与相交m与相交Cm，mD，且mm解：由m，得m或m，而m，所以m，故A正确；由，且m与相交，可得m与相交，故B正确；由m，m，得或与相交，故C错误；由，得与无公共点，又m可得m与无公共点，则m，
10、故D正确故选：C5我国古代数学算经十书之一的九章算术有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣（）A10 4 人B108 人C112 人D120 人解：根据分层抽样原理，抽样比例为，北乡应遣8100108（人）故选：B6在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是AD，AA1，A1B1的中点，则点B到平面EFG的距离为（）ABCaD解：分别以DA，DC，DD所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图示：，显然B（a，a，0），E（，0，0），F（a，0，），G（a，0），故（，0，），（，a），（，a，0），
11、设平面EFG的法向量为（x，y，z），则0，0，故，令x1，则（1，1，1），故点B到平面EFG的距离为：da，故选：B7同时投掷两个骰子，向上的点数分别记为a，b，则方程2x2+ax+b0有两个不等实根的概率为（）ABCD解：同时投掷两个骰子，向上的点数分别记为a，b，则基本事件的（a，b）的总数为6636方程2x2+ax+b0有两个不等实根，则a28b0，满足上述条件的（a，b）的对数为9：（3，1），（4，1），（5，1），（6，1），（5，2），（6，2），（5，3），（6，3），（6，4）方程2x2+ax+b0有两个不等实根的概率故选：B8若过点P（1，0），Q（2，0），R（4，0
12、），S（8，0）作四条直线构成一个正方形，则该正方形的面积不可能等于（）ABCD解：如果过点P（1，0），Q（2，0），R（4，0），S（8，0）作四条直线构成一个正方形，过P点的必须和过Q，R，S的其中一条直线平行和另外两条垂直，假设过P点和Q点的直线相互平行时，如图，设直线PC与x轴正方向的夹角为，再过Q作它的平行线QD，过R、S作它们的垂线RB、SC，过点A作x轴的平行线分别角PC、SC于点M、N，则ABAMsinPQsinsin，ADANcosRScos4cos，因为ABAD，所以sin4cos，则tan4，所以正方形ABCD的面积SABAD4sincos，同理可求，当直线PC和过R的
13、直线平行时正方形ABCD的面积S为，当直线PC和过S点的直线平行时正方形ABCD的面积S为，故选：C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分每小题漏选得2分，选错得0分，全对得5分9在正方体ABCDA1B1C1D1中，有下列说法，其中正确的有（）ABC与的夹角为60D正方体的体积为解：如图：对A：（）（）3，故A正确；对B：（）（）0，故B正确；对C：与的夹角是与夹角的补角，而ACD1为正三角形，所以与夹角为60，故与的夹角是120，故C错误；对D：正方体的体积为|，故D错误；故选：AB10已知向量，是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使，共线的是（）A234且+22B存在相异实
14、数，使C当x+y0时，x+yD已知梯形ABCD，其中，解：A联立和消去向量可得出，且，共线；B都是非零向量，且，都不为0，共线；C当xy0时，满足x+y0，此时对任意的向量都有，得不出共线；DAB与CD不一定平行，得不出共线故选：AB11如图，已知矩形ABCD中，AB2AD，E为边AB的中点，将ADE沿直线DE翻折成A1DE，若M为线段A1C的中点，则ADE在翻折过程中，下列说法正确的是（）A线段BM的长是定值B存在某个位置，使DEA1CC点M的运动轨迹是一个圆D存在某个位置，使MB平面A1DE解：取CD的中点F，连接BF，MF，M，F分别为A1C、CD中点，MFA1D，A1D平面A1DE，M
15、F平面A1DE，MF平面A1DE，DFBE且DFBE，四边形BEDF为平行四边形，BFDE，DE平面A1DE，BF平面A1DE，BF平面A1DE，又BFMFF，BF、MF平面BMF，平面BMF平面A1DE，BM平面BMF，BM平面A1DE，即D错误设AB2AD2a，则MFA1D，BFDE，A1DEMFB45，BMa，即BM为定值，所以A正确；点M的轨迹是以B为圆心，a为半径的圆，即C正确；DECE，CDAB2a，DE2+CE2CD2，DECE，设DEA1C，A1C、CE平面A1CE，A1CCEC，DE平面A1CE，A1E平面A1CE，DEA1E，与DA1A1E矛盾，所以假设不成立，即B错误故选
16、：AC12如图所示，在球O的内接八面体PABCDQ中，顶点P，Q分别在平面ABCD两侧，且四棱锥PABCD与QABCD都是正四棱锥设二面角PABQ的平面角的大小为，则tan的取值可能为（）A4B3CD1解：设二面角PABC大小为，平面QABC的大小为，球心到平面ABCD的距离为d，球半径为1，则，d0，1），所以，所以tan的取值可能4，故选：AC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13已知直线l经过点P（4，3），且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程 yx或x+y70解：直线l经过点P（4，3），且在两坐标轴上的截距相等，当直线经过原点时，斜率为，直线的方程为yx，当直线 不经
17、过原点时，设方程为x+yk0，把点P（4，3）代入，求得k7，此时直线的方程为x+y70，所以直线的方程为yx或x+y70，故答案为：yx或x+y7014某市某校在秋季运动会中，安排了篮球投篮比赛现有20名同学参加篮球投篮比赛，已知每名同学投进的概率均为0.4，每名同学有2次投篮机会，且各同学投篮之间没有影响，现规定：投进两个得4分，投进一个得2分，一个未进得0分，则一名同学投篮得2分的概率为 0.48解：每名同学投进的概率均为0.4，每名同学有2次投篮机会，且各同学投篮之间没有影响，现规定：投进两个得4分，投进一个得2分，一个未进得0分，则一名同学投篮得2分的概率为P0.48故答案为：0.4
18、815已知H是球O的直径AB上一点，AH：HB1：2，AB平面，H为垂足，截球O所得截面的面积为，则球O的表面积为解：设球的半径为R，AH：HB1：2，平面与球心的距离为R，截球O所得截面的面积为，dR时，r1，故由R2r2+d2得R212+（R）2，R2球的表面积S4R2故答案为：16如图，BE与CD交于P点，若，则m，n解：因为，且E、P、B三点共线，D、P、C三点共线，所以存在x，y使得x+（1x）x+（1x）；y+（1y）y+（1y）；所以，解得x，y，所以+（1）+，又因为，所以m，n故答案为：，四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17一个袋中装
19、有6个大小形状完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4，5，6（1）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和为6的概率；（2）先后有放回地随机抽取两个球，两次取的球的编号分别记为a和b，求a+b5的概率解：（1）从袋中随机抽取两个球共有15种取法，取出球的编号之和为6的有（1，5），（2，4），共2种取法，故取出的球的编号之和为6的概率（2）先后有放回地随机抽取两个球共有36种取法，两次取的球的编号之和大于5的有26种，分别为：（1，5），（1，6），（2，4），（2，5），（2，6），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6
20、），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），故a+b5的概率18某海上养殖基地A，接到气象部门预报，位于基地南偏东60方向相距20（+1）nmile的海面上有一台风中心，影响半径为20nmile，正以10nmile的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心在基地东北方向刮过且（+1）h后开始影响基地持续2小时，求台风移动的方向解：如图所示，设预报时台风中心为B，开始影响基地时台风中心为C，基地刚好不受影响时台风中心为D，则B、C、D在一直线上，且AD20、AC20，由题意AB20（+1），D
21、C20，BC（+1）10，在ADC中，DC2AD2+AC2，DAC90，ADC45在ABC中，由余弦定理得cosBAC，BAC30，又B位于A南偏东60，60+30+90180，D位于A的正北方向，又ADC45，台风移动的方向为向量的方向，即北偏西45方向答：台风向北偏西45方向移动19已知ABC中，顶点A（3，7），边AB上的中线CD所在直线的方程是4x3y70，边AC上的高BE所在直线的方程是5x+12y130（1）求点A关于直线CD的对称点的坐标；（2）求顶点B、C的坐标；（3）过A作直线l，使B，C两点到l的距离相等，求直线l的方程解：（1）设A关于CD的对称点A（m，n），则，解得，
22、即点A关于直线CD的对称点的坐标为；（2）由题知kBE，则kAC，所以直线AC的方程为y（x3）+7，联立，解得，即C（2，5）；设B（a，b），代入BE：5x+12y130，则AB中点D（，）代入直线4x3y70，得，解得，即B（5，1）；（3）由题意知过A的直线的斜率存在，设直线l的方程为y7k（x3），即kxy3k+70，由题意，得，整理得|2k+8|5k+12|，解得k或k，所以直线l的方程为20x3y390或4x7y+37020已知四边形ABCD满足ADBC，ABADCDBCa，E是BC的中点，将BAE沿着AE翻折成B1AE，使面B1AE面AECD，F是B1D的中点（）求四棱锥B1A
23、ECD的体积；（）求平面ADB1与平面ECB1所成角的正弦值解：（）取AE的中点M，连接B1M，BAADDCBCa，E是BC的中点，ABE为等边三角形，B1Ma，又面B1AE面AECD，B1M面AECD，四棱锥B1AECD的体积：V（）连接MD，分别以ME，MD，MB1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系则E（，0，0），C（a，0），A（，0，0），D（0，0），B1（0，0，），（，0），（），（，0），（），设面ECB1的法向量（x，y，z），则，令x1，则（1，），设面ADB1的法向量（x，y，z），则，令x1，得（1，），cos，平面ADB1与平面ECB1所成角的正弦值为：sin21某
24、校有高中生2000人，其中男女生比例约为5：4，为了获得该校全体高中生的身高信息，采取了以下两种方案：方案一：采用比例分配的分层随机抽样方法，抽收了样本容量为n的样本，得到频数分布表和频率分布直方图方案二：采用分层随机抽样方法，抽取了男、女生样本量均为25的样本，计算得到男生样本的均值为170，方差为16，女生样本的均值为160，方差为20身高（单位：cm）145，155）155，165）165，175）175，185）185，195频数mpq64（1）根据图表信息，求n，q并补充完整频率分布直方图，估计该校高中生的身高均值；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值为代表）（2）计算方案二中
25、总样本的均值及方差；（3）计算两种方案总样本均值的差，并说明用方案二总样本的均值作为总体均值的估计合适吗？为什么？解：（1）因为身高在区间185，195）的频率为0.008100.08，频数4，所以n50，故m0.00810504，p0.04105020，q504206416，所以身高在区间165，175）的频率为0.32，在区间175，185）的频率为0.12，由此可补充完整频率分布直方图：由频率分布直方图可知，样本的身高均值为：1500.00810+1600.0410+1700.03210+1800.01210+1900.0081012+64+54.4+21.6+15.2167.2cm；（
26、2）把男生样本记为x1，x2，.，x25，其均值记为，方差记为；把女生样本记为y1，y2，.，y25，其均值记为，方差记为，则总样本均值+165，又因为（xi）xi250，所以2（xi）（）2（）（xi）0，同理可得2（yj）（）0，所以总样本方差s2+25+25+2516+（170165）2+2520+（160165）243；（3）两种方案总样本均值的差为167.21652.2用方案二总样本均值作为总体均值的估计不合适，原因为：没有按照等比例进行分层抽样，每个个体被抽到的可能性不同，因此样本的代表性比较差22如图，在几何体ABCDEF中，ABCD，ADDCCB1，ABC60，四边形ACFE为
27、矩形，平面ACFE平面ABCD，CF1（1）求证：平面FBC平面ACFE；（2）点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为（90），试求cos的取值范围【解答】（1）证明：在四边形ABCD中，ABCD，ADDCCB1，ABC60，AB2，AC2AB2+BC22ABBCcos603，AB2AC2+BC2，BCAC平面ACFE平面ABCD，平面ACFE平面ABCDAC，BC平面ABCD，BC平面ACFE又BC平面FBC，平面ACFE平面FBC（2）解：由（1）可建立分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴的如图所示的空间直角坐标系，令FM（0），则C（0，0，0），A（，0，0），B（0，1，0），M（，0，1），（，1，0），（，1，1），设（x，y，z）为平面MAB的一个法向量，由，得取x1，则（1，），（1，0，0）是平面FCB的一个法向量，coscos，0，当0时，cos有最小值，当时，cos有最大值cos