1、东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）2020届高三数学三模考试试题 文（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数为虚单位)的共轭复数为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用复数除法运算化简，再求得其共轭复数.【详解】依题意故选：A【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查共轭复数的概念，属于基础题.2. 已知集合，.则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】解一元一次不等式求得集合，由此求得【详解】由，可知.故选：D【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算，
2、属于基础题.3. 若变量满足约束条件，则的最大值为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】【分析】画出可行域，平移基准直线到可行域边界位置，由此求得的最大值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，平移基准直线到可行域边界时，目标函数取得最大值为.故选：B【点睛】本小题主要考查线性规划求最值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.4. 如图是某几何体的三视图，俯视图中圆的两条半径长为2且互相垂直，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析】根据三视图判断出原图的结构，由此求得原图的体积.【详解】由三视图知，该几何体是由个半径为2的球和1个底面半径为
3、、高为的圆柱组合而成.其体积为.故选：A【点睛】本小题主要考查根据三视图求体积，属于基础题.5. 如图所示是某年第一季度五省GDP情况图，则下列说法中不正确的是（ ）A. 该年第一季度GDP增速由高到低排位第3的是山东省B. 与去年同期相比，该年第一季度的GDP总量实现了增长C. 该年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省份有2个D. 去年同期浙江省的GDP总量超过了4500亿元【答案】D【解析】【分析】根据折线图、柱形图的性质，对选项逐一判断即可.【详解】由折线图可知A、B项均正确，该年第一季度总量和增速由高到低排位均居同一位的省份有江苏均第一.河南均第四.共2个.故C项正确；.
4、故D项不正确.故选：D.【点睛】本题考查折线图、柱形图的识别，考查学生的阅读能力、数据处理能力，属于中档题.6. 已知为锐角，且，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由可得，再利用计算即可.【详解】因为，所以，所以.故选：C.【点睛】本题考查二倍角公式的应用，考查学生对三角函数式化简求值公式的灵活运用的能力，属于基础题.7. 已知中内角所对应的边依次为，若，则的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由余弦定理可得，结合可得a，b，再利用面积公式计算即可【详解】由余弦定理，得，由，解得，所以，.故选：A.【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查
5、学生的基本计算能力，是一道容易题.8. 设为定义在上的奇函数，当时，(为常数)，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析】由定义在R上的奇函数的性质，可得，求出，于是可得在时的解析式，由解析式结合增函数+增函数=增函数，可得函数在上单调递增，再由为定义在上的奇函数，可知在上单调递增，注意到，利用函数单调性即可解决【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，解得，所以，当时，当时，函数和在上都是增函数，所以在上单调递增，由奇函数的性质可知，在上单调递增，因为，故，即有，解得故选：D【点睛】本题主要考查函数性质的应用，利用函数的奇偶性、单调性解不等式，意在考查学生的转化能力，
6、属于中档题9. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设在右支，利用双曲线的定义化简，根据的取值范围，求得的取值范围.【详解】不妨设点在右支上.所以，所以，故的取值范围为.故选：C【点睛】本小题主要考查双曲线的定义，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.10. 已知曲线的一条对称轴方程为，曲线向左平移个单位长度，得到曲线的一个对称中心的坐标为，则的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】在对称轴处取得最值有，结合，可得，易得曲线的解析式为，结合其对称中心为可得即可得到的最小值.【详解】直线是
7、曲线的一条对称轴.，又.平移后曲线为.曲线的一个对称中心为.，注意到故的最小值为.故选：C.【点睛】本题考查余弦型函数性质的应用，涉及到函数的平移、函数的对称性，考查学生数形结合、数学运算的能力，是一道中档题.11. 已知焦点为的抛物线的准线与轴交于点，点在抛物线上，则当取得最大值时，直线的方程为（ ）A. 或B. 或C. 或D. 【答案】A【解析】【分析】过作与准线垂直，垂足为，利用抛物线的定义可得，要使最大，则应最大，此时与抛物线相切，再用判别式或导数计算即可.【详解】过作与准线垂直，垂足为，则当取得最大值时，最大，此时与抛物线相切，易知此时直线的斜率存在，设切线方程为，则.则，则直线的方
8、程为.故选：A.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及到抛物线的定义，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.12. 已知函数满足当时，且当时，；当时，且).若函数的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据周期性和对称性，作出函数在上的图象关于原点对称的图象，根据题意得到函数的图象与所作的图象有3个交点，由此列不等式组，解不等式组求得的取值范围.【详解】先作出函数在上的图象关于原点对称的图象，如图所示.若函数的图象上关于原点对称的点恰好有3对.则函数的图象与所作的图象有3个交点，所以，解得.故选：C【点睛】本小题主要考查
9、函数的周期性、图象的对称性，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知，则_.【答案】或【解析】【分析】设出的坐标，根据已知条件列方程组，解方程组求得.【详解】设，有，解得 或.故或故答案为：或【点睛】本小题主要考查向量模的坐标运算，考查向量垂直的坐标表示，属于基础题.14. 春节即将来临之际，3位同学各写一张贺卡，混合后每个同学从中抽取一张，且抽取其中任意一张都是等可能的，则每个同学抽到的都是自己写的贺卡的概率为_.【答案】【解析】【分析】先求得基本事件的总数，由此求得每个同学抽到的都是自己写的贺卡的概率.【详解】设三张贺卡编号为，则
10、每个同学从中抽取一张，基本事件为，故共有6个基本事件，每个同学抽到的都是自己写的贺卡的事件有种，故每个同学抽到的都是自己写的贺卡的概率为.故答案为：【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，属于基础题.15. 半径为2的球内有一个内接正三棱柱，则正三棱柱的侧面积的最大值为_.【答案】【解析】【分析】画出图像，设出底面边长和高，求得底面正三角形的外接圆半径，利用球的半径列方程，求得底面边长和高的关系式，求得正三棱柱的侧面积的表达式，利用基本不等式求得其最大值.【详解】如图所示，设正三棱柱上下底面的中心分别为.底面边长与高分别为，则，在中，化为，.，当且仅当时取等号，此时正三棱柱的侧面积的最大值为.故
11、答案为：【点睛】本小题主要考查球的内接几何体侧面积的有关计算，考查最值的求法，属于中档题.16. 已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】首先利用导数判断出，由此化简不等式，分离常数得到，由此分别利用基本不等式和导数求得的最小值与的最大值，由此求得的取值范围.【详解】定义域为，构造函数，由于，令解得，所以时，递减，时，递增，所以在上的极小值也即是最小值为，所以，也即当时，.所以由，得，可得，其中.令，.可得函数的增区间为.减区间为，可得.即.故实数的取值范围为故答案为：【点睛】本小题主要考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.三、解答
12、题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. 如图，在直棱柱中，底面为菱形，与相交于点，与相交于点.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据菱形的性质得到，根据直棱柱的性质得到，由此证得平面.（2）利用等体积法，由列方程，解方程求得点到平面的距离.【详解】(1)证明：，四边形是菱形，直棱柱平面.平面.平面 (2)设点到平面的距离为，有，解得.故点到平面的距离为.【点睛】本小题主要考查线面垂直的证明，考查点面距离的
13、求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.18. 2019年9月26日，携程网发布2019国庆假期旅游出行趋势预测报告，2018年国庆假日期间，西安共接待游客1692.56万人次，今年国庆有望超过2000万人次，成为西部省份中接待游客量最多的城市.旅游公司规定：若公司某位导游接待旅客，旅游年总收人不低于40(单位：万元)，则称该导游为优秀导游.经验表明，如果公司的优秀导游率越高，则该公司的影响度越高.已知甲、乙两家旅游公司各有导游40名，统计他们一年内旅游总收入，分别得到甲公司的频率分布直方图和乙公司的频数分布表如下：（1）求的值，并比较甲、乙两家旅游公司，哪家的影响度高?（2）求甲公
14、司一年内导游旅游总收入的中位数，乙公司一年内导游旅游总收入的平均数.(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到0.01)【答案】（1），乙公司的影响度高；（2）36.75【解析】【分析】（1）根据频率之和为求得，根据频数之和为求得.分别求得甲、乙公司导游的优秀率，由此判断出乙公司的影响度高.（2）结合频率分布直方图，求得甲公司一年内导游旅游总收入的中位数.利用平均数的计算方法，计算出乙公司一年内导游旅游总收入的平均数.【详解】(1)由直方图知,可得，由频数分布表知，可得，甲公司的导游优秀率为，乙公司的导游优秀率为，由于，所以乙公司的影响度高.(2)甲一年内导游旅游总收人的中位数为：；
15、乙一年内导游旅游总收入的平均数为.【点睛】本小题主要考查频率分布直方图、频数分布表的阅读与分析，考查中位数、平均数的计算，属于基础题.19. 已知数列，满足.（1）求数列，的通项公式；（2）分别求数列，的前项和，.【答案】（1）（2）；【解析】【分析】（1），可得为公比为2的等比数列，可得为公差为1的等差数列，再算出，的通项公式，解方程组即可；（2）利用分组求和法解决.【详解】（1）依题意有又.可得数列为公比为2的等比数列，为公差为1的等差数列，由，得解得故数列，的通项公式分别为.（2），.【点睛】本题考查利用递推公式求数列的通项公式以及分组求和法求数列的前n项和，考查学生的计算能力，是一道中
16、档题.20. 已知椭圆的右焦点为.直线被称作为椭圆的一条准线.点在椭圆上(异于椭圆左、右顶点)，过点作直线与椭圆相切，且与直线相交于点.（1）求证：.（2）若点在轴的上方，求面积的最小值.【答案】（1）见解析；（2）1【解析】【分析】（1）联立直线的方程和椭圆的方程，利用判别式列方程，求得点的坐标，求得点的坐标，通过计算得到，由此证得.（2）求得，由此求得三角形面积的表达式，根据函数的单调性求得三角形面积的最小值.【详解】(1)点的坐标为.联立方程,消去后整理为有,可得，.可得点的坐标为.当时，可求得点的坐标为，.有.故有.(2)若点在轴上方，必有由(1)知因为时.由(1)知，由函数单调递增，
17、可得此时.故当时，的面积取得最小值为1.【点睛】本小题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中三角形面积的最值有关的计算，考查运算求解能力，属于中档题.21. 已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若函数在区间有两个零点，分别为，求证：.【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）求得切点坐标和斜率，由此求得切线方程.（2）利用列方程，利用换元法，求得的表达式为，将所要证明的不等式转化为，构造函数，利用导数证得，由此证得成立.【详解】(1)由，有.曲线在点处的切线方程为(2)不妨设.令.由.有两边取对数，有又由若证，只需证.可化为.令，可得函数单调递增所以.故当时，故若函数在区间
18、有两个零点，必有：【点睛】本小题主要考查利用导数求切线方程，考查利用导数证明不等式，属于中档题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22. 已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数.).以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，曲线与直线其中的一个交点为，且点极径.极角（1）求曲线的极坐标方程与点的极坐标；（2）已知直线的直角坐标方程为，直线与曲线相交于点(异于原点)，求的面积.【答案】（1）极坐标方程为，点的极坐标为（2）【解析】【分析】（1）利用极坐标方程、普通方程、参数方
19、程间的互化公式即可；（2）只需算出A、B两点的极坐标，利用计算即可.【详解】（1）曲线C：(为参数，)，将代入，解得，即曲线的极坐标方程为，点的极坐标为.（2)由（1），得点的极坐标为，由直线过原点且倾斜角为，知点的极坐标为，.【点睛】本题考查极坐标方程、普通方程、参数方程间的互化以及利用极径求三角形面积，考查学生的运算能力，是一道基础题.选修4-5：不等式选讲23. 已知函数.（1）解关于的不等式；（2）若函数的图象恒在直线的上方，求实数的取值范围【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）零点分段法分，三种情况讨论即可；（2）只需找到的最小值即可.【详解】（1）由.若时，解得；若时，解得；若时，解得；故不等式的解集为.（2）由，有，得，故实数的取值范围为.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法以及不等式恒成立问题，考查学生的运算能力，是一道基础题.
