1、长沙同升湖实验学校2015届文科数学沙盘演习（三）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合，则 （ ）A B C D2若函数是函数的反函数，则 （ ）A B C D3已知点，和向量a，若a/，则实数的值为 （ ）A B C D4已知数列为等差数列，且，则 （ ） A45 B43 C 40 D42 21133正视图侧视图俯视图215下列函数中周期为且为偶函数的是 （ ）A BC D 6已知某几何体的三视图如上图所示，则该几何体的体积为 ( )A B C D7已知椭圆与双曲线的焦点相同，且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为，那
2、么椭圆的离心率等于 ( )A B C D 8执行如图的程序框图，输出的= （ ） A30 B25 C20 D129若变量，满足约束条件，则的最大值等于 （ ）A B C11 D1010. 若直角坐标平面内的两个不同点、满足条件：、都在函数的图像上；、关于原点对称，则称点对是函数的一对“友好点对”（注：点对与看作同一对“友好点对”）已知函数=，则此函数的“友好点对”有 （ ） 对 A0 B1 C2 D3二、填空题：本大题共5小题，分为必做题和选做题两部分每小题5分，满分20分（一）必做题：第11至13题为必做题，每道试题考生都必须作答11计算：= （为虚数单位）12函数在 处取得极小值.13设，
3、若是 与的等比中项，则的最小值为 （二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分14（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆的圆心到直线 的距离是 .15（几何证明选做题）如图，是圆的直径，点在圆上，延长到使，过作圆的切线交于.若，则 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16.（本小题满分12分）已知函数的最小正周期为，且.(1) 求的表达式；(2) 设，求的值.17.（本小题满分12分）某班名学生在一次百米测试中，成绩全部介于秒与秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组，第二组，第五组，下图是按上述分组方
4、法得到的频率分布直方图(1) 根据频率分布直方图，估计这名学生百米测试成绩的平均值；(2) 若从第一、五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩的差的绝对值大于的概率.18（本小题满分14分）如图所示，在所有棱长都为的三棱柱中，侧棱，点为棱的中点ABCDA1B1C1(1)求证：平面；(2)求四棱锥的体积19（本小题满分14分）若正项数列的前项和为，首项，点（）在曲线上.(1)求数列的通项公式；(2)设，表示数列的前项和，求证：.20.（本小题满分14分）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且经过点. 直线交椭圆于不同的两点.(1)求椭圆的方程；(2)求的取值范围；(3)若直线不过点，求证：直
5、线与轴围成一个等腰三角形.21.（本小题满分14分）已知，函数(1)求的单调区间；(2)证明：当时，长沙同升湖实验学校2015届文科数学沙盘演习（三）答卷班级： 姓名： 学号： 成绩： 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求题号12345678910答案二、填空题11、 12、 13、 14(15)、 三、解答题16、（本题12分）17、（本题12分）18、（本题14分）ABCDA1B1C119、（本题14分）20、（本题14分）21、（本题14分）一、 选择题号12345678910答案BACDBCBADB1B 【解析】试题分析：由
6、题根据集合，不难求得A,B的交集；由题2A 【解析】试题分析：根据互为反函数的两个函数间的关系，原函数中时，故反函数中当时，即3C 【解析】试题分析：根据A、B两点的坐标可得（3，1），解得4D 【解析】试题分析：， 5B 【解析】试题分析：由于周期为，故排除C,D；又由于是偶函数，而选项A，函数，故排除A，又选项B，是偶函数6C 解析:由三视图易知，该几何体是底面积为，高为3的三棱锥，由锥体的体积公式得7B 【解析】， 8A 【解析】由题意可知，第一次循环S=5，n=2，T=2，不满足TS；第二次循环，S=10，n=4，T=2+4=6，不满足TS；第三次循环，S=15，n=6，T=12，不满
7、足TS；第四次循环，S=20，n=8，T=20，不满足TS；第五次循环，S=25，n=10，T=30，满足TS；结束，此时T=30，故选A9D 【解析】作出不等式组对应的平面图象如下图的阴影部分，表示斜率为的直线系， 表示直线在轴上的截距，由图象可知当直线过点时取得最大值，最大值为 10B 【解析】根据题意可知只须作出函数的图象关于原点对称的图象，确定它与函数交点个数即可,由图象可知，只有一个交点二填空题11 12 13 14 15 11【解析】 因为.12【解析】 由得：，列表得：极大值极小值所以在处取得极小值.13【解析】 由题意知，又，所以，所以的最小值为.14【解析】 如下图: .15
8、. 【解析】 如下图:，得.三解答题16. （本小题满分12分）解：(1)依题意得， 2分由，得，即，, 4分 5分(2) 由，得，即， 6分又， 7分由，得，即， 9分又， 10分 12分17解：（）由频率分布直方图知，百米测试成绩的平均值为 5分（）由频率分布直方图知，成绩在的人数为人，设为、；成绩在 的人数为人，设为、 6分若时，有种情况； 7分若时，有种情况； 8分若分别在和内时，ABCDxxAxBxCxDyyAyByCyDzzAzBzCzD共有种情况. 10分所以基本事件总数为种，事件“”所包含的基本事件个数有种。（）。 12分18、(本题满分14分)ABCDA1B1C1E解：(1)
9、连结，设与交于点，1分则点是的中点，连结，2分因为点为的中点，所以是的中位线， 所以， 4分因为平面，面，5分所以平面. 6分(2)取线段中点，连结， 7分 ，点为线段中点， . 9分又平面即平面，平面 ， 11分， 平面，则是四棱锥的高 12分. 14分19（本小题满分14分）解:(1)因为点在曲线上,所以. 1分 由得. 3分且所以数列是以为首项,1为公差的等差数列 4分所以, 即 5分当时， 6分当时，也成立 7分所以， 8分(2) 因为,所以, 9分 12分 14分20.（本小题满分14分） (1) （2） （3）见解析 (1) 由已知椭圆焦点在轴上可设椭圆的方程为，（）因为，所以，
10、又因为过点，所以， 联立解得，故椭圆方程为. 4分(2) 将代入并整理得，因为直线与椭圆有两个交点，所以，解得. 8分(3) 设直线的斜率分别为和，只要证明即可.设，则. 10分所以所以，所以直线与轴围成一个等腰三角形 14分21.（本小题满分14分）解：（1）由题意得 1分当时，恒成立，此时的单调递增区间为 2分当时， 4分此时函数的单调递增区间为 (， ，) 5分的单调递减区间为 ， 6分(2)证明：由于0x1，故当a2时，f(x)|a2|4x32ax24x34x2 8分当a2时，f(x)|a2|4x32a(1x)24x34(1x)24x34x2 10分设g(x)2x32x1， ，则g(x)6x226(x)(x)， 11分x0(0，)(，1)1g(x)0g(x)1减极小值增1于是12分所以，g(x)ming()10 当时， 13分故 当时， 14分 （注：此问还可以按分类讨论的思想，令，证明当时，成立，请参照给分)