1、作业1空间向量与立体几何1在正方体中，是棱的中点则下列说法正确的是（ ）A异面直线与所成角的余弦值为B三棱锥的体积是三棱锥体积的倍C直线与平面所成角的正弦值等于D在棱上一定存在点，使得平面【答案】D【解析】设正方体的棱长为，如图所示，对于A中，在正方体中，可得，所以异面直线与所成角等于直线与所成的角，设，在直角中，可得，所以，所以不正确；对于B中，可得，所以，所以不正确；对于C中，在正方体中，可得平面，则点到平面的距离等于点到平面的距离，连接交于点，可得平面，且，即点到平面的距离为，设直线与平面所成角为，则，所以不正确；对于D中，当点与点重合时，连接，在中，由点分别为，的中点，可得，又由平面，
2、平面，所以平面，即在棱上一定存在点，使得平面，所以是正确的，故选D2如图，在多面体中，面为正方形，面和面为全等的矩形，且均与面垂直（1）求证：平面平面；（2）若直线和平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）证明：四边形为正方形，四边形为矩形，且，四边形为平行四边形，又平面，平面，平面，同理平面又，为平面内的两条相交直线，平面平面（2）四边形为矩形，又平面平面，且平面平面，平面又为正方形，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系设，则，故，设平面的法向量为，则有，即，令，则，；直线和平面所成角的正弦值为，即，解得，设平面的法向量为，则有，即，令，则，平面
3、平面，平面的一个法向量也为设二面角的大小为，则，又二面角为锐角，故其余弦值为一、单选题1已知，是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论一定正确的是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则2已知两条不同的直线，三个不重合的平面，下列命题正确的是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则3已知矩形，为平面外一点，且平面，分别为，上的点，且，则=（ ）ABCD4如果向量，共面，则实数的值是（ ）ABCD5已知四面体的四个面都为直角三角形，平面，=1，若该四面体的四个顶点都在球的表面上，则球的表面积为（ ）ABCD二、多选题6如图，正方体中，是线段上的两个动点，则下列结论正确的是（ ）A，始终在同一个
4、平面内B平面CD若正方体的棱长和线段的长均为定值，则三棱锥的体积为定值7如图，梯形中，将沿对角线折起设折起后点的位置为，并且平面平面给出下面四个命题（ ）AB三棱锥的体积为C平面D平面平面8长方体的底面是边长为3的正方形，高为4，是的中点，则下列说法正确的是（ ）A平面平面B在棱上存在点，使得C三棱锥的体积是D三棱锥的外接球表面积为三、填空题9已知下列命题：若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内：若三条直线，互相平行且分别交直线于，三点，则这四条直线共面：若直线与平面相交，则与平面内的任意直线都是异面直线：如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交则下述命题中所有真
5、命题的序号是_10如图，在三棱锥中，底面，底面为边长为1的等边三角形，则A与平面的距离为_11已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，平面，为棱上一点，且，过作平面分别与线段，交于点，且，则_，四边形的面积为_四、解答题12已知体积为的三棱锥的顶点都在球的表面上，且，（1）求球的半径；（2）求异面直线与所成角的余弦值13如图所示，在三棱锥中，侧棱平面，为线段中点，（1）证明：平面；（2）设是线段上一点，二面角的正弦值为，求的值一、单选题1【答案】D【解析】A选项中，若，有可能，故A错误；B选项中，若，则可能与平行，故B错误；C选项中，若，则，故C错误；D选项中，若，则，而，故，故D正确，故选D2【
6、答案】C【解析】对于A，当，时，有可能在平面内，所以A错误；对于B，当，时，平面，有可能相交，所以B错误；对于C，当，时，由线面垂直的性质可知，所以C正确；对于D，当，时，直线有可能在平面内，也有可能与不垂直，所以D错误，故选C3【答案】B【解析】因为，所以，所以，因为，所以，所以，故选B4【答案】A【解析】向量共面，即存在实数使，解之得，5【答案】C【解析】如图所示，可将四面体还原为正方体，则四面体的外接球即为正方体的外接球，因此球的半径，表面积，故选C二、多选题6【答案】BCD【解析】因为，同在平面上，而不在平面上，所以，不在同一个平面内，故A错误；因为，平面，平面，所以平面，故B正确；因
7、为平面，而平面，所以，连接，交于点，则，而，平面，平面，所以平面因为平面，所以，故C正确；不妨设正方体的棱长为，则由于平面，则平面，所以因为，为定值，所以三棱锥的体积为定值，故D正确，故选BCD7【答案】CD【解析】，平面平面，平面，平面，平面，故不成立，故A错误，C正确；由，可得，三棱锥的体积为三棱锥的体积，即为，故B错误；折叠前，在四边形中，为等腰直角三角形又，折叠后，平面平面，平面又平面，又，平面又平面，平面平面故D正确，故选CD8【答案】BCD【解析】如图：因为，平面，平面，所以平面，同理平面，又，所以平面平面，而平面平面，所以平面与平面不平行，故A不正确；连交于，因为为正方形，所以，
8、所以平面，所以为在平面内的射影，因为在棱上存在点使得垂直，所以在棱上存在点使得，故B正确；，故C正确；因为三棱锥的外接球就是长方体的外接球，其直径为长方体的对角线，所以外接球的半径，表面积为，故D正确三、填空题9【答案】【解析】对于，利用公理1可知，当一条线上有两个点在一个平面内时，则这条线在这个平面内，故正确；对于，由公理2可知，通过一组相交线或一组平行线有且仅有一个平面，所以为真命题；对于，假设直线与平面相交于点，则直线与平面内不过点的直线为异面直线，故为假命题；对于，当两条异面直线中的一条与一个平面平行时，另一条直线与这个平面有可能平行也有可能相交，故为假命题；所以为假，为真，为假，为真
9、，故答案为10【答案】【解析】因为底面，所以，又因为，所以，同理，又因为，所以，因为为边长为1的等边三角形，所以，设A与平面的距离为，则，故答案为11【答案】，【解析】如图，延伸平面，交平面于，平面平面，即，三点共线，又，由线面平行的性质可得，则，即，是的中点，过作，垂足为，则在中，；在中，即，解得，是中点，则是中点，则，平面，平面，平面，又，所以四边形的面积为，故答案为；四、解答题12【答案】（1）；（2）【解析】（1）由为球心，可得在底面的射影为的外心，可得为斜边的直角三角形，在底面的射影为斜边的中点，可得，解得，则，即（2）取中点，中点，连接，则，则（或其补角）为异面直线与所成角，在中，由，求得，则，即异面直线与所成角的余弦值为13【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）因为，为线段中点，所以因为平面，平面，所以又因为平面，平面，所以平面（2）在三棱锥中，在平面内作于，以为原点建立如图空间直角坐标系由题得，设，所以设，分别为平面，平面的一个法向量，则，即，不妨取，因为二面角的正弦值为，则余弦值为，所以，解得（舍）或，因此，的值为