1、数 学 (本试卷分第卷和第卷两部分，满分100分，考试时间90分钟)注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2. 答案一律写在答题卡上，写在本试卷上无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。3. 回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。参考公式：球的表面积公式（其中R为球的半径）。一、 选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合，则( )A.B. C. D. 2.已知命题，那么是( )A. B. C. D. 3.
2、 是的( )A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件4.函数的定义域为( )A. B.C. D. 5.甲,乙,丙三名学生随机站成一排,则甲站在中间的概率为( )A. B. C. D. 6.如果,那么下列不等式一定成立的是( )A. B.C. D.7.某校数学教研组为了解学生学习数学的情况,采用分层抽样的方法从高一600人、高二780人、高三人中,抽取35人进行问卷调查.已知高二被抽取的人数为13人,则等于( )A. 660 B. 720 C.780 D. 8008.已知,是第三象限的角,则的值为( )A. B. C. D. 9.函数的零点个数
3、为( )A. 0 B. 1 C. 2 D. 310.设是边的中点，若,则的值为( )A. B. C. 1 D. 211.如果棱长为的正方体的八个顶点都在同一个球面上，那么这个球的表面积是( )A. B. C. D. 12.如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图,用下列哪个函数模型拟合红豆生长时间与枝数的关系最好( )A. 指数函数:B. 对数函数:C. 幂函数: D. 二次函数:二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分。13.计算:= .14.已知向量，则= .15.在平面直角坐标系中,角与角均以为始边,它们的终边关于轴对称.若,则= .16.设为正数，则的最小值为 .三
4、、解答题：本大题共5小题，共52分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17. (本小题满分10分)已知向量（）若，求实数的值；（）若，求实数的值.18. (本小题满分10分)在中,角的对边分别为，且，.（）求角的大小;（）若,求.19. (本小题满分10分)如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，与交于点，为的中点.（）求证：平面;（）求证：.20. (本小题满分10分)某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间(单位:分钟),并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图) .已知上学所需时间的范围是0,100,样本数据分组为0,20),20,40),40,60),60,80),80,100 .（
5、）求直方图中的值;（）如果上学所需时间在60 ,100的学生可申请在学校住宿,请估计该校800名新生中有多少名学生可以申请住宿.21. (本小题满分12分)如图,某市拟在长为8的道路的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一部分为曲线段,该曲线段为函数,的图象,且图象的最高点为;赛道的后一部分为折线段.为保证参赛运动员的安全,限定.（）求点的坐标;（）应如何设计,才能使折线段赛道最长?数 学（三）答案一、选择题BCACBDBABCDA二、填空题13.1 14.2 15. 16.9三、解答题17.解：（）因为，所以，所以.5分（）因为，所以，所以，解得.10分18.解：（） 因为c-2bsinC=0,所
6、以sinC-2sinBsinC=0.因为0C,所以sinC0,所以sinB=.因为0Bbc,所以B=.5分（）因为b=,a=2,所以由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得()2= c 2+4-2 c2,即c 2-2 c +1=0.所以 c=1.10分19.（）证明：，点分别是，中点，平面，平面，EO平面.5分（）证明：四边形是正方形，又底面，底面，平面，平面，平面，.10分20.解：（）由直方图可得到20+0.02520+0.006520+0.003220=1.所以=0.0125.5分（）由直方图可知,新生上学所需时间在60 ,100的频率为0.003220=0.12.所以估计全校新生
7、上学所需时间在60 ,100的概率为0.12.因为8000.12=96.所以800名新生中估计有96名学生可以申请住宿. 10分21.解：（）由题意知A=2,=3,T=,=,y=2sinx.当x=4时,y=2sin=3,M(4,3). 6分（）连接MP,如图所示. 又P(8,0),MP=5. 解法一:在MNP中,MNP=120,MP=5.设PMN=,则060,.NP=sin,MN=sin(60-).NP+MN=sin+sin(60-)=sin(+60).060,60+60120,5sin(+60) .当=30时,折线段赛道MNP最长.所以将PMN设计为30时,折线段赛道MNP最长. 12分解法二:.在MNP中,MNP=120,MP=5,由余弦定理知cosMNP=,即MN2+NP2+MNNP=25.所以(MN+NP)2-25=MNNP,所以(MN+NP)225,即MN+NP,当且仅当MN=NP时取等号.所以将赛道设计为MN=NP时,折线段赛道MNP最长. 12分
