1、05限时规范特训A级基础达标1用数学归纳法证明1(nN*)成立，其初始值至少应取()A7 B8C9 D10解析：左边12，代入验证可知n的最小值是8.故选B.答案：B22014烟台高三模拟用数学归纳法证明123(2n1)(n1)(2n1)时，从nk到nk1，左边需增添的代数式是()A2k2 B2k3C2k1 D(2k2)(2k3)解析：当nk时，左边是共有2k1个连续自然数相加，即123(2k1)，所以当nk1时，左边是共有2k3个连续自然数相加，即123(2k1)(2k2)(2k3)，故选D.答案：D3某个命题与自然数n有关，若nk(kN*)时命题成立，那么可推得当nk1时该命题也成立，现已
2、知n5时，该命题不成立，那么可以推得()An6时该命题不成立 Bn6时该命题成立Cn4时该命题不成立 Dn4时该命题成立解析：假设n4时该命题成立，由题意可得n5时，该命题成立，而n5时，该命题不成立，所以n4时，该命题不成立，而n5，该命题不成立，不能推得n6该命题是否成立，故选C.答案：C42013上海闸北二模平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为()A. n1 B. 2nC. D. n2n1解析：1条直线将平面分成11个区域；2条直线最多可将平面分成1(12)4个区域；3条直线最多可将平面分成1(123)7个区域；，n条直线最多可将平面分成1(123n)1
3、个区域，选C.答案：C5用数学归纳法证明“n3(n1)3(n2)3(nN*)能被9整除”，要利用归纳假设证nk1时的情况，只需展开()A(k3)3 B(k2)3C(k1)3 D(k1)3(k2)3解析：假设当nk时，原式能被9整除，即k3(k1)3(k2)3能被9整除当nk1时，(k1)3(k2)3(k3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k3)3展开，让其出现k3即可答案：A62014龙岩高三模拟在数列an中，an1，则ak1等于()Aak BakCak Dak解析：由于a11，a21，ak1ak1ak.故选D.答案：D7若f(n)122232(2n)2，则f(k1)与f(k)的递推关系式是
4、_解析：f(k)1222(2k)2，f(k1)1222(2k)2(2k1)2(2k2)2；f(k1)f(k)(2k1)2(2k2)2.答案：f(k1)f(k)(2k1)2(2k2)28用数学归纳法证明不等式的过程中，由nk推导nk1时，不等式的左边增加的式子是_解析：不等式的左边增加的式子是，故填.答案：92014沈阳模拟已知f(n)1(nN*)，用数学归纳法证明f(2n)时，f(2k1)f(2k)等于_解析：f(2k1)1，f(2k)1，f(2k1)f(2k).答案：10用数学归纳法证明42n13n2能被13整除，其中nN*.证明：(1)当n1时，421131291能被13整除(2)假设当n
5、k时，42k13k2能被13整除，则当nk1时，42(k1)13k342k1423k2342k1342k1342k1133(42k13k2)42k113能被13整除，42k13k2能被13整除，当nk1时也成立由(1)(2)知，当nN*时，42n13n2能被13整除112014陕西模拟数列an的前n项和为Sn，且满足Sn2nan(nN*)(1)计算a1，a2，a3，a4；(2)猜想通项公式an，并用数学归纳法证明解：(1)a11，a2，a3，a4.(2)猜想an，证明：当n1时，a11猜想显然成立；假设当nk(n1且nN*)时，猜想成立，即ak，Ska1a2ak2kak，那么，nk1时，ak1
6、Sk1Sk2(k1)ak1(2kak)，ak1，当nk1时猜想成立；综合，当nN*时猜想成立12设数列an满足a13，an1a2nan2，n1,2,3，(1)求a2，a3，a4的值，并猜想数列an的通项公式(不需证明)；(2)记Sn为数列an的前n项和，试求使得Sn2n成立的最小正整数n，并给出证明解：(1)a25，a37，a49，猜想an2n1.(2)Snn22n，使得Snn22n.n6时，266226，即6448成立；假设nk(k6，kN*)时，2kk22k成立，那么2k122k2(k22k)k22kk22kk22k32k(k1)22(k1)，即nk1时，不等式成立；由、可得，对于所有的n
7、6(nN*)都有2nn22n成立B级知能提升1用数学归纳法证明123n2，则当nk1时左端应在nk的基础上加上()Ak21 B(k1)2C.D(k21)(k22)(k1)2解析：当nk时，左端123k2.当nk1时，左端123k2(k21)(k22)(k1)2，故当nk1时，左端应在nk的基础上加上(k21)(k22)(k1)2.故应选D.答案：D22014苏州模拟已知数列an满足a12，an1(nN*)，则a3_，a1a2a3a2014_.解析：(1)a23，a3.(2)求出a4，a52，可以发现a5a1，且a1a2a3a41，故a1a2a3a2014a1a22(3)6.答案：632014北京海淀模拟若不等式对一切正整数n都成立，猜想正整数a的最大值，并证明结论解：当n1时，即，所以a.当n1时，已证；假设当nk时，不等式成立，即.则当nk1时，有因为，所以0，所以当nk1时，不等式也成立由知，对一切正整数n，都有，所以a的最大值等于25.