1、圆的标准方程A级基础巩固1.圆(x-2)2+(y+3)2=2的圆心和半径分别是()A.(-2,3),1B.(2,-3),3C.(-2,3),2D.(2,-3),2解析:由圆的标准方程可得,圆心坐标为(2,-3),半径为2.答案:D2.圆心为(0,4),且过点(3,0)的圆的标准方程为()A.x2+(y-4)2=25B.x2+(y+4)2=25C.(x-4)2+y2=25D.(x+4)2+y2=25解析:由题意,得两圆的半径r=(0-3)2+(4-0)2=5,故圆的标准方程为x2+(y-4)2=25.答案:A3.已知圆C:(x-6)2+(y-8)2=4,O为坐标原点,则以OC为直径的圆的标准方程
2、为()A.(x-3)2+(y+4)2=100B.(x+3)2+(y-4)2=100C.(x-3)2+(y-4)2=25D.(x+3)2+(y-4)2=25解析:由题意,得线段OC的中点坐标为(3,4),以OC为直径的圆的半径为32+42=5,所以以OC为直径的圆的标准方程为(x-3)2+(y-4)2=25.答案:C4.经过原点,圆心在x轴的负半轴上,半径为2的圆的标准方程是(x+2)2+y2=4.解析:由题意,得圆心是(-2,0).因为半径为2,所以圆的标准方程是(x+2)2+y2=4.5.若点(5a+1,a)在圆(x-1)2+y2=26内,则a的取值范围是0,1).解析:因为点(5a+1,a
3、)在圆内,所以(5a+1-1)2+(a)226,解得a1.因为a0,所以a的取值范围是0,1).6.求下列圆的标准方程:(1)圆心是(4,0),且过点(2,2);(2)圆心在y轴上,半径为5,且过点(3,-4).解:(1)由题意,得圆的半径r=(2-4)2+(2-0)2=22,所以圆的标准方程为(x-4)2+y2=8.(2)设圆心为C(0,b),则(3-0)2+(-4-b)2=52,解得b=0或b=-8,所以圆心为(0,0)或(0,-8).因为圆的半径r=5,所以圆的标准方程为x2+y2=25或x2+(y+8)2=25.B级拓展提高7.圆心为C(-1,2),且一条直径的两个端点落在两坐标轴上的
4、圆的标准方程是()A.(x-1)2+(y+2)2=5B.(x-1)2+(y+2)2=20C.(x+1)2+(y-2)2=5D.(x+1)2+(y-2)2=20解析:因为一条直径的两个端点在两坐标轴上,所以该圆一定过原点,所以半径r=(-1-0)2+(2-0)2=5.又因为圆心为C(-1,2),所以圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=5.答案:C8.直线x+y+2=0分别与x轴、y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=1上,则ABP面积的取值范围是()A.2,22B.2,4C.1,2D.1,3解析:由题意得A(-2,0),B(0,-2),圆心为(2,0),所以|AB|=2,圆心到直
5、线AB的距离为|2+0+2|12+12=2,所以点P到直线AB的最小距离为2-1=1,最大距离为2+1=3,所以ABP面积的最小值为1221=1,最大值为1223=3.所以ABP面积的取值范围为1,3.答案:D9.圆(x-1)2+(y-1)2=1上的点到直线x-y=2的距离的最大值是2+1.解析:由题意知圆心为(1,1),半径为1.因为圆心到直线x-y=2的距离d=|1-1-2|2=2,所以圆上的点到直线x-y=2的距离的最大值为2+1.10.在ABC中,边AB,AC,BC所在直线的方程分别为y=-1,x-3y-5=0,x+2y-5=0.(1)求BC边上的高所在直线的方程;(2)若圆E过直线x
6、-y-5=0上一点及点A,则当圆E面积最小时,求其标准方程.解:(1)联立y=-1,x-3y-5=0,解得x=2,y=-1,所以点A的坐标为(2,-1).因为直线BC的斜率为-12,所以BC边上的高所在直线的方程为y+1=2(x-2),即2x-y-5=0.(2)过点A向直线x-y-5=0作垂线,垂足记为D(图略),显然,当圆E以线段AD为直径时面积最小.易知直线AD的斜率为-1,则直线AD的方程为y+1=-(x-2).由x-y-5=0,y+1=-(x-2),解得x=3,y=-2,所以点D的坐标为(3,-2).所以圆E的圆心为52,-32,半径为3-522+-2+322=22,所以当圆E面积最小
7、时,其标准方程为x-522+y+322=12.11.如图,矩形ABCD的两条对角线交于M(3,0),边AB所在直线的方程为x-3y-7=0,点E(0,1)在边BC所在直线上.(1)求边AD所在直线的方程;(2)求点A的坐标以及矩形ABCD外接圆的标准方程.解:(1)设直线BC的方程为3x+y+s=0.因为直线BC过点E(0,1),所以30+1+s=0,解得s=-1.所以直线BC的方程为3x+y-1=0.设直线AD的方程为3x+y+t=0.因为M为矩形对角线的交点,所以|33+0+t|1+9=|33+0-1|1+9,解得t=-1(舍去)或t=-17.所以边AD所在直线的方程为3x+y-17=0.
8、(2)由3x+y-17=0,x-3y-7=0,得x=295,y=-25,所以点A的坐标为295,-25,所以|AM|=295-32+-25-02 =22,所以矩形ABCD的外接圆的标准方程为(x-3)2+y2=8.C级挑战创新12.多空题若圆经过A(2,5),B(-2,1)两点,并且圆心在直线y=12x上,则圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=16,圆上的点到直线3x-4y+23=0的最小距离为1.解析:由题意,得线段AB的中点为(0,3),因为经过A(2,5),B(-2,1)的直线的斜率为5-12+2=1,所以线段AB的垂直平分线的方程为y=-x+3,与直线方程y=12x联立,解得圆心
9、坐标为(2,1),所以圆的半径r=(2-2)2+(5-1)2=4,所以圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=16.因为圆心到直线3x-4y+23=0的距离d=|32-41+23|32+(-4)2=5,所以圆上的点到直线3x-4y+23=0的最小距离为d-r=1.13.多空题已知圆C1:(x+1)2+(y-3)2=25,圆C2与圆C1关于点(2,1)对称,则圆C2的圆心坐标为(5,-1),圆C2的标准方程为(x-5)2+(y+1)2=25.解析:由圆C1:(x+1)2+(y-3)2=25,可得圆心C1的坐标为(-1,3).设圆心C2(x,y),因为圆C2与圆C1关于点(2,1)对称,所以点C2与点C1关于点(2,1)对称,可得-1+x2=2,3+y2=1,解得x=5,y=-1.所以圆C2的半径为5,圆心为C2(5,-1),所以圆C2的标准方程为(x-5)2+(y+1)2=25.
