1、四川省成都20232024高三上学期期中考试理科数学试题考试 时间：120分钟满分：150分注意事项：l答题前务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上2本试 卷分选择题和非选择题两部分3答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号4答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔将答案书写在答题卡规定位置上5 所有题目 必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效6考试结束后，只将答题卡交回第1卷（选择题，共60分）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的）l已知集合A=xlx2 2
2、x 1，则（）A.Bc:;AB.Ac:;BC.AUB=RD.AnB=03+4i 2.复数z=，则lzl=()2+i A.迈B.5c.3D./53执行如图所示程序框图，则输出结果是（）A.热B.爱c.生D.活4某公司一种型号的产品近期销售情况如表：销售：二兀）1 15 2 l I 16 3 3 1 17 4。I 17 5 2 1 18 6 4 根据上表可得到回归直线方程y=0.75x+a,据此估计，该公司7月份这种型号产品的销售额为（）A.18.85万元B.19.3万元C.19.25万元D.19.05万元5.已知空间 两不同直线m、n,两不同平面a、/3，下列命题正确的是()A.若ml/a且n/
3、a,则ml InB若ml_/J且m上n,则n/1/JC.若m上a且ml/J，则a l_/J D.若m不垂直千a,且nca,则m不垂直千n6 如图，在MBC中，LBAC=120,AB=2,A C=I,D是BC边一点，DC=2BD,则 AI5 权三等千（）A.:8-3 B 2 3 cD.2-3 A B D C 冗7将函数f(x)=cos2x的图象向左平移个单位得到函数g(x)的图象，则关千函数y=g(x)以下说法2 正确的是（）第1页共4页冗3冗A.最大值为1,图象关千直线x=对称B.周期为兀，图象关千点(-,0)对称2.8 C.在（3冗冗,)上单调递增，为偶函数冗D在（0,)上单调递减，为奇函数
4、8 8 4 8如图，平面四边形ABCD 中，AB=AD=CD=1,BD忒，BD.lCD,将其沿对角线 BD折成四面体A-BCD，使平面A BDl_平面BCD,四面体A-BCD的顶点在同 一个球面上，则该球的 体积为（）A A.4元4 C.冗3 B.冗2 五D.冗BD 9.已知双曲线C的两个顶点分别为AI4，若C的渐近线上存在点P,使IPA,|忒订PA2|，则C的离心率范围是（）A.(1,3 B.3,+oo)C.(1,2 D.2,+oo)X 10.已知函数f(x)=kxln.x 一-kx(kE R)，在(0,e2)有且只有一个极值点，则k的取值范围是（）2 A.O,e)e 2 B.(-oo,O)
5、u,OO）ue2 e 2 C.(-oo,O)u,OO）2 D.(O,e 1 11.已知数列忨满足al=-,a2=1,an-5an-l+4an-2=O(n 3)，贝扣1013=()2 A.22023-l B.22024-l c.22026-l D.21013-l12.已知a O,b 0,则在下列关系(D a2+b2:;2 b:;el-aa 1 cos 之2-3-b ea-ea=eh-eb中，能作为a+b:;2”的必要不充分条件的个数是A.1个B.2个C.3个D.4个().第 II 卷（非选择题，共 90 分）二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5分，共 20分）13.曲线y=x2-2x-l
6、nx+2 在点(1,1)处的切线的倾斜角为 4 1 14.已知n=Jo1xdx,则二项式(x3+)n(x 0)展开式中的常数项为0 x 15.数列亿满足：a,=a2=l,a2n+I-a2n-l=2,=2数列区的前n项和记为Sn 则S23=.a2n x2 v2 16.F;,F2分别是椭圆+?,=l(a b 0)的左、右焦点，点P在椭圆 上，6PF;F2的内切圆的圆心矿b21 1为I，设直线IF;,IF2的斜率分别为,一，则椭圆的离心率为 2 3 第2页共4页三、解答题：（本题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分12分）在 MBC 中，内角A、B、C 所对的
7、边分别为a、b、C其外接圆半径为 1b=4,sin A+sin C=1.l cosB(1)求cosB;(2)求MBC的面积18.（本小题满分12分）一个多面体的三视图和直观图如图所示，其中正视图和俯视图均为矩形，侧视图为直角三 角形，M是AB的中点(1)求证：CM_l_平面FDM;(2)若N为线段FC上一 点，且压三江t:石二面角F DM N的余弦值为-，求A的值a 2a.哪a、_-A、Ir 一-云M 19.（本小题满分12分）体育强国是新时期我国体育工作改革和发展的目标和任务，我国要力争实现体育大国向体育强国的转变。2019年9月2日，国务院办公厅印发体育强国建设纲要，纲要提出，到2035年
8、，国民体质测定标准合格率超过92%.2023年9月23日至10月8日，第19届亚运会在我国杭州成功举办，中国代表队以201枚金牌，383枚奖牌夺得金牌榜和奖牌榜第一。这是新时期中国体育工作改革和发展过程中取得的优异成绩。某校将学生的立定跳远作为体育健康监测项目，若该校初三年级上期开始时要掌握全年级学生立定跳远情况，随机抽取了100名学生进行测试，得到右边频率分布直方图，且规定计分规则如下表：频率组距o 034r-o.030 尸一一0 012e-袒二二二1二二仁二1二二十一一跳远c诅155 165 175 185 195 205 215 跳远距离(cm)155,165)I 165,175)I 1
9、75,185)I 185,+00)得分1 17 1 18 1 19 1 20（l)现从样本的100名学生中，任意选取2 人，求两人得分之和不大千35 分的概率；(Il)若该校初三年级所有学生的跳远距离X（单位：cm)服从正态分布N(,o勹，用样本数据的平均值和方差估计总体的期望和方差，已知样本方差s2=153（各组数据用中点值代替）根据往年经验，该校初三年级学生经过 一年训练后，每人跳远距离都有明显进步，假设初三结束进行跳远测试时每人跳远比初三 上学期开始时距离增加10cm,现利用所得正态分布模型：(i)若全年级恰好有2000名学生，预估初三结束进行测试时，跳远距离在182.63cm以上的人数
10、；（结果四舍五入到整数）(ii)若在全年级所有学生中任意选取3 人，记初三结束进行测试时，跳远距离在195cm以上的人数为求随机变量口的分布列和期望附：若随机变晕X服从正态分布N(,o勹，则P(aX+a)=0.6826,P(2(JX+2a)=0.9544,P(3(JX +3a)=0.997 4.参考数据：12.372;:;153;2.372;:;5.62 第3页共4页20.（本小题满分12分）已知抛物线：广 4x 的焦点为 F,过抛物线上除原点外任一点P作抛物线准线的垂线，垂足为 M,直线l是LMPF的角平分线(1)求直线l与抛物线r交点的个数；(2)直线l与抛物线的 准线相交千点N,过 N作
11、抛物线的切线，切点为 Q（不与 P点重合），求t:,.NPQ面积的最小值21.（本小题满分12分）已知函数J(x)=x2 2x a In x,g(x)=ax.(1)求函数F(x)=f(x)+g(x)的极值；smx(2)若不等式:;g(x)对x 习 0 恒成立，求 a 的取值范围2+cosx 请考生在第22,23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目所对应的标号涂黑2 2.选修4 4:坐标系与参数方程（本小题满分10分）x=I+2t 已知呾线c,t:12+2:(I为参数），以直角坐标系的原点0为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标y=2+t 系，仙
12、线c2 的极坐标方程为 p=6sin0.(1)求仙线C 的普通方程和 c2 的直角坐标方程；(2)若仙线C 与 c2交千两点A,B，点P 是仙线c2 上异千点A,B的任意一点，求t:,.PAE的面积S的最大值23.选修4 5:坐标系与参数方程（本小题满分10分）已知函数f(x)=Ix l(1)解不等式：f(x)+f(x+4)习 8;(2)若al l,lbl lalf().第4页共4页数学参考答案（理科）一、选择题日百口赵万l选项 IB 二、填空题13.135 2-D3-C4-D5-C6-A7-A8-B9-Ao-cl 11_A 12-B14.2815.21915一76 l解答题：b 2si nB
13、 1 7(I)=4,根据正弦定理得4,即 si nB=2(1 cosB)，代入 si n2 B+cos 2 B=I,l cosB I cosB 即4(1 cosB)2=I cos2 B=(I cosBXI+cosB)，由千 l cosB动，即4(1 cosB)=l+cosB,3 解得 cosB=.5 分a c 8(II)根据正弦定理得 si nA+si n C=+=I,即 a+c=2,由(I)知b=由余弦定理得2 2 5 2 16 16 9 b2=a2+c2 2accosB=(a+c)ac=4 ac,解得 ac=10 分5 5 20.3 4 又因为cosB=，所以 si nB=S1.5 5.S
14、MBC=acsi nB=-12 分2 50 18.解：（1)由条件知 FD _l_ DC,FD _l_ AD,AD nDC=D,:.FD _l_平面ABCD,.FD _l_ CM.2 分:AD=AM=MB=BC=a，二DAM=二CBM=90,:.DM=MC迈a,CD=2a,:.DM 2+CM 2=CD2,:.CM _l_DM.4 分:.CM _l_DM,F归 DM=D,:.CM _l_平面FDM.5 分(2)以 D 为原点，五、压三b为x、y、z轴的非负方向建立空间直角坐标系M(a,a,O),F(O,O,a),C(0,2a,O)，厅（0,2a,a)，瓜（a,a,O),芦（0,2加，;La)五正
15、面：十百（0,2.-1a,(l.-1)a).6 分设平面 DMN 的法向量为五（x,y,z),由i 宣ax+ay=0得，取 z=2入，则 y=Al,x=1 入五丽2.-1ay+(l .-1)az=0 巧（I 入，入 1,2入），户勹.B E.8分由（1)知，平面 FDM 的法向晕为 MC=（a,a,O)_ CM几由题意 cos182.63)=1-=O.8413,:.o.8413X2000=1682.6=1683.（人）7分2(ii)由正态分布模型，全年级所有学生中任取l人，跳远距离在195cm以上的概率为0.5,即 s B(3,0.5),:.P(s=O)=ci(l-0.5)3=0.125,P(
16、s=1)=C0.5(1-0.5)2=0.375,P(s=2)=c;o.52-(1-0.5)=0.375,Pc s=3)=c:o.53=0.125,10分:.s 的分布列为：gp EC)=3X0.5=1.5 I。:25 1。:75 1。:75 1。:25 1 12分20.C 1)设p(t气2t),(t*0)，则M坐标为(-1,2t),.MF中点坐标为(0,t),kMF=t又:IPMl=IPF|，欧MF为等腰三角形，乙MPF的角平分线即为MF中垂线1:.l的方程为y=x+t2分f,y=!x+t 联立4 y t，得y2 4ty+4t2=O 3分LY=4x =16t2-16t2=0.4分.l与抛物线只
17、有一个交点.5分(2)设点 N(-1,m)，由题意可知，NP,NQ为抛物线 y2=4x的两条切线先证过抛物线上 一 点 K(xo,yo)且与抛物线相切的方程为yyo=2(x+xo),1 证明：因为K(xo,yo)在抛物线 上，所以y庐4xo,不妨设yoO,y=2五：，因此 y-，所以切线方程为 l 2 y-y尸(x-xo)，所以y-yo=(x-xo)，化简得：Y.Yo=2(x+xo).石y。因此，设P(x1,y小Q(x2,y2),则根据上述结论可知：NP:yy1=2(x+x1),NQ:yyz=2(x+x办f,my1=2(x1 1)因为NP,NQ都过点N(1,m)，带入上式得：t,所以可知点P,
18、Q都在直线 my=2(x 1)I my2=2(x21).7分上，因此直线 PQ的方程为my=2(x 1).8分联立r,my=2(x-1)1，得y2-2my-4=O,=4m2+16 0 9分y2=4xIPQ|尸忱叫尸歹飞4+m2点N到直线PQ距离d旷4|扛言;11分4，卢l 2.SANPQ=（4+m2)2,.当m=O时，丛PQ面积有最小值4.12分2 第2页共4页21 解：（1)F(x)=x22x aln x+ax,F(x)=2x2+(a 2)x a(2x+a)(x 1)=.1分X X:F(x)的定义域为(0,+oo).$20 即 a习0 时，F(x)在(0,1)上递减，F(x)在(1,+oo）
19、上递增，2 F(x)极小 a I,F(x)无极大值2分0-%1 即 2aO时，F(x)在(0,%）和(1,+oo）上递增，在(%,1)上递减，F(x)（a a a 极大 F 飞）a 了 aln 三），F(x)极J,=F(l)=a I.3 分-=l 即 a=2时，F(x)在（O，OO）上递增，F(x)没有极值 4分2 三 l 即 a2时，F(x)在(0,1)和尸OO)上递增，F(x)在(l,%）上递减，:.F(x)极大 F(l)=a I,F(x)极 F（%）=a :aln(%).5 分综上可知：a?O 时，F(x)极小 a I,F(x)无极大值；2aO时，F(x)极大 F（%)=a :aln(%
20、)，F(x)极J,=F(l)=a I;a=2 时，F(x)没有极值；a2时，F(x)极大 F(l)=a I,F(x)极 F(子）a :aln(%）.6分(2)设 h(x)=axsmx(x习0),h(x)=a I+2cosx2+COSX(2+cosx)I+2t2(t+2)(t 1)2(t 1)设 t=cos.x则 tE1,1,rp(t)=,rp(t)=?O,(2+t)（2+t)4(2+t)3:.(t)1,I 上递增，o(t)的值域为畔，8 分当 a?时，h(x)?O,h(x)为O,+oo上的增函数，h(x)?h(O)=0,适合条件 9分当年0 时，:h（勹 a 卫上 0,不适合条件 10分2 J
21、2 2 l 当Oa 时，对千 Ox 三，h(x)ax sinx 3 2 3,令T(x)=ax 气:,T(x)=a CO3sx，存在xe(0，：），使得 XE(0,X。)时，T(x)O,:.T(x)在(o,x。)上单调递减，:.T(x。)T(O)=O,即在XE(0,X。)时，h(x)O,不适合条件 l 综上，a 的取值范围为i,+oo).12分第3页共4页l 22.解：（1)消去参数，得仙线Cl 的直角坐标方程为y2=(x I)，即 X2y+3=0.把 x=pcosO 代入矿 6psin0,仙线C2的直角坐标方程为x2+y2 6y=05 分y=psin0(2)圆心到直线AB的距离为d=102x3
22、+31 3 汇圆上动点P到弦AB的距离的最大值为d+r=+33 解法 1：弦长 IABl2汇了=2/=：l l l2 3 18:.c,.PAB 的面积 s 的最大值为IABld=x x(+3 (1飞）10 分2 2 石5解法 2:设圆c2上动点P(3cos 0,3+3sin 0),P 到直线C 的距离d=l3cos02(3+3 sin 0)+31|6sin0+3cos0 31|咕sin(0 份）33 石石石1 勹3 了,2 x=l+t化C 的参数方程为？代入x2+y2 6y=O得，2.2 t+t 7=0 y=2+7:t 2 则t 飞 2 2 矿仁 7 则 AB=t 飞 如言了飞勹勹;4x(7)
23、:l 1._ I.1 12/3:.PAR 的面积 s 的最大值为IABll=X x(+3厂18 2 2 石5 尸）2x2,X 1 当 x l 时，2x+2?:8,解得x?:3 综上，原不等式的解集为(OO,5 U 3,+oo)-5 分b b(2)因为Ia I 1,I b I 1,所以 J(ab)=labl I=1ab,lalf()|a|l l=lbal a a b 令 m=f(ab)|alf()1ab|b a I,-7 分a 若 b a,则m=lab|baI=(1a)(l+b),b 因为Ia I 1,I b IO,所以 J(ab)la If()；9 分若 ba，则m=lab|baI=(1+a)
24、(lb),a b b 因为Ia I 1,I b IO,所以 J(ab)la If()综上所述，J(ab)la If()10 分a a 第4页共4页20232024 学年度高 2024 届半期考试数学参考答案（理科）一、选择题日百口赵万l 选项 IB 二、填空题13.135 2-D3-C4-D5-C6-A7-A8-B9-Ao-cl 11_A 12-B14.2815.21915一76 l解答题：b 2si nB 1 7(I)=4,根据正弦定理得4,即 si nB=2(1 cosB)，代入 si n2 B+cos 2 B=I,l cosB I cosB 即4(1 cosB)2=I cos2 B=(I
25、 cosBXI+cosB)，由千 l cosB动，即4(1 cosB)=l+cosB,3 解得 cosB=.5 分a c 8(II)根据正弦定理得 si nA+si n C=+=I,即 a+c=2,由(I)知b=由余弦定理得2 2 5 2 16 16 9 b2=a2+c2 2accosB=(a+c)ac=4 ac,解得 ac=10 分5 5 20.3 4 又因为cosB=，所以 si nB=S1.5 5.SMBC=acsi nB=-12 分2 50 18.解：（1)由条件知 FD _l_ DC,FD _l_ AD,AD nDC=D,:.FD _l_平面ABCD,.FD _l_ CM.2 分:A
26、D=AM=MB=BC=a，二DAM=二CBM=90,:.DM=MC迈a,CD=2a,:.DM 2+CM 2=CD2,:.CM _l_DM.4 分:.CM _l_DM,F归 DM=D,:.CM _l_平面FDM.5 分(2)以 D 为原点，五、压三b为x、y、z轴的非负方向建立空间直角坐标系M(a,a,O),F(O,O,a),C(0,2a,O)，厅（0,2a,a)，瓜（a,a,O),芦（0,2加，;La)五正面：十百（0,2.-1a,(l.-1)a).6 分设平面 DMN 的法向量为五（x,y,z),由i 宣ax+ay=0得，取 z=2入，则 y=Al,x=1 入五丽2.-1ay+(l .-1)
27、az=0 巧（I 入，入 1,2入），户勹.B E.8分由（1)知，平面 FDM 的法向晕为 MC=（a,a,O)_ CM几由题意 cos182.63)=1-=O.8413,:.o.8413X2000=1682.6=1683.（人）7分2(ii)由正态分布模型，全年级所有学生中任取l人，跳远距离在195cm以上的概率为0.5,即 s B(3,0.5),:.P(s=O)=ci(l-0.5)3=0.125,P(s=1)=C0.5(1-0.5)2=0.375,P(s=2)=c;o.52-(1-0.5)=0.375,Pc s=3)=c:o.53=0.125,10分:.s 的分布列为：gp EC)=3X
28、0.5=1.5 I。:25 1。:75 1。:75 1。:25 1 12分20.C 1)设p(t气2t),(t*0)，则M坐标为(-1,2t),.MF中点坐标为(0,t),kMF=t又:IPMl=IPF|，欧MF为等腰三角形，乙MPF的角平分线即为MF中垂线1:.l的方程为y=x+t2分f,y=!x+t 联立4 y t，得y2 4ty+4t2=O 3分LY=4x =16t2-16t2=0.4分.l与抛物线只有一个交点.5分(2)设点 N(-1,m)，由题意可知，NP,NQ为抛物线 y2=4x的两条切线先证过抛物线上 一 点 K(xo,yo)且与抛物线相切的方程为yyo=2(x+xo),1 证明
29、：因为K(xo,yo)在抛物线 上，所以y庐4xo,不妨设yoO,y=2五：，因此 y-，所以切线方程为 l 2 y-y尸(x-xo)，所以y-yo=(x-xo)，化简得：Y.Yo=2(x+xo).石y。因此，设P(x1,y小Q(x2,y2),则根据上述结论可知：NP:yy1=2(x+x1),NQ:yyz=2(x+x办f,my1=2(x1 1)因为NP,NQ都过点N(1,m)，带入上式得：t,所以可知点P,Q都在直线 my=2(x 1)I my2=2(x21).7分上，因此直线 PQ的方程为my=2(x 1).8分联立r,my=2(x-1)1，得y2-2my-4=O,=4m2+16 0 9分y
30、2=4xIPQ|尸忱叫尸歹飞4+m2点N到直线PQ距离d旷4|扛言;11分4，卢l 2.SANPQ=（4+m2)2,.当m=O时，丛PQ面积有最小值4.12分2 第2页共4页21 解：（1)F(x)=x22x aln x+ax,F(x)=2x2+(a 2)x a(2x+a)(x 1)=.1分X X:F(x)的定义域为(0,+oo).$20 即 a习0 时，F(x)在(0,1)上递减，F(x)在(1,+oo）上递增，2 F(x)极小 a I,F(x)无极大值2分0-%1 即 2aO时，F(x)在(0,%）和(1,+oo）上递增，在(%,1)上递减，F(x)（a a a 极大 F 飞）a 了 al
31、n 三），F(x)极J,=F(l)=a I.3 分-=l 即 a=2时，F(x)在（O，OO）上递增，F(x)没有极值 4分2 三 l 即 a2时，F(x)在(0,1)和尸OO)上递增，F(x)在(l,%）上递减，:.F(x)极大 F(l)=a I,F(x)极 F（%）=a :aln(%).5 分综上可知：a?O 时，F(x)极小 a I,F(x)无极大值；2aO时，F(x)极大 F（%)=a :aln(%)，F(x)极J,=F(l)=a I;a=2 时，F(x)没有极值；a2时，F(x)极大 F(l)=a I,F(x)极 F(子）a :aln(%）.6分(2)设 h(x)=axsmx(x习0
32、),h(x)=a I+2cosx2+COSX(2+cosx)I+2t2(t+2)(t 1)2(t 1)设 t=cos.x则 tE1,1,rp(t)=,rp(t)=?O,(2+t)（2+t)4(2+t)3:.(t)1,I 上递增，o(t)的值域为畔，8 分当 a?时，h(x)?O,h(x)为O,+oo上的增函数，h(x)?h(O)=0,适合条件 9分当年0 时，:h（勹 a 卫上 0,不适合条件 10分2 J2 2 l 当Oa 时，对千 Ox 三，h(x)ax sinx 3 2 3,令T(x)=ax 气:,T(x)=a CO3sx，存在xe(0，：），使得 XE(0,X。)时，T(x)O,:.T
33、(x)在(o,x。)上单调递减，:.T(x。)T(O)=O,即在XE(0,X。)时，h(x)O,不适合条件 l 综上，a 的取值范围为i,+oo).12分第3页共4页l 22.解：（1)消去参数，得仙线Cl 的直角坐标方程为y2=(x I)，即 X2y+3=0.把 x=pcosO 代入矿 6psin0,仙线C2的直角坐标方程为x2+y2 6y=05 分y=psin0(2)圆心到直线AB的距离为d=102x3+31 3 汇圆上动点P到弦AB的距离的最大值为d+r=+33 解法 1：弦长 IABl2汇了=2/=：l l l2 3 18:.c,.PAB 的面积 s 的最大值为IABld=x x(+3
34、 (1飞）10 分2 2 石5解法 2:设圆c2上动点P(3cos 0,3+3sin 0),P 到直线C 的距离d=l3cos02(3+3 sin 0)+31|6sin0+3cos0 31|咕sin(0 份）33 石石石1 勹3 了,2 x=l+t化C 的参数方程为？代入x2+y2 6y=O得，2.2 t+t 7=0 y=2+7:t 2 则t 飞 2 2 矿仁 7 则 AB=t 飞 如言了飞勹勹;4x(7):l 1._ I.1 12/3:.PAR 的面积 s 的最大值为IABll=X x(+3厂18 2 2 石5 尸）2x2,X 1 当 x l 时，2x+2?:8,解得x?:3 综上，原不等式的解集为(OO,5 U 3,+oo)-5 分b b(2)因为Ia I 1,I b I 1,所以 J(ab)=labl I=1ab,lalf()|a|l l=lbal a a b 令 m=f(ab)|alf()1ab|b a I,-7 分a 若 b a,则m=lab|baI=(1a)(l+b),b 因为Ia I 1,I b IO,所以 J(ab)la If()；9 分若 ba，则m=lab|baI=(1+a)(lb),a b b 因为Ia I 1,I b IO,所以 J(ab)la If()综上所述，J(ab)la If()10 分a a 第4页共4页
