1、3.4 生活中的优化问题举例内 容 标 准学 科 素 养1.了解导数在解决实际问题中的作用2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题.利用数据分析提升数学建模及逻辑推理01 课前 自主预习02 课堂 合作探究03 课后 讨论探究04 课时 跟踪训练基础认识知识点 生活中的优化问题预习教材P101103，思考并完成以下问题生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大(小)值的有力工具本节我们运用导数，解决一些生活中的优化问题某厂家计划用一种材料生产一种盛 500 mL 溶液的圆柱形易拉罐(1)生产这种易拉罐，如何计算材
2、料用的多少呢？(2)如何制作使用材料才能最省？提示：(1)计算出圆柱的表面积即可(2)要使用料最省，只需圆柱的表面积最小可设圆柱的底面半径为 x，列出圆柱表面积 S2x21 000 x(x0)，求 S 最小时，圆柱的半径、高即可 知识梳理(1)利用导数解决生活中优化问题的基本思路(2)解决优化问题的基本步骤分析实际问题中各变量之间的关系，根据实际问题建立数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系 yf(x)；求导函数 f(x)，解方程 f(x)0；比较函数在区间端点和极值点处的函数值的大小，最大者为最大值，最小者为最小值；依据实际问题的意义给出答案自我检测1已知某厂家生产某种产品的年利润 y(
3、单位：万元)与年产量 x(单位：万件)的函数关系式为 y13x336x126，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A11 万件 B9 万件 C7 万件 D6 万件答案：D2用长为 18 m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为 21，则该长方体的最大体积为()A2 m3 B3 m3C4 m3D5 m3答案：B探究一 几何中的最值问题阅读教材 P101 例 1学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为 128 dm2，上、下两边各空 2 dm，左、右两边各空 1 dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？题
4、型：几何中的最值问题方法步骤：设出版心的高为 x，得出版心的宽为128x.建立目标函数 Sf(x)利用导数求出函数的最小值例 1 请你设计一个包装盒如图所示，ABCD 是边长为 60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 ABCD 四个点重合于图中的点 P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F 在 AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设 AEFBx cm.(1)若广告商要求包装盒侧面积 S 最大，则 x 应取何值？(2)若广告商要求包装盒容积 V 最大，则 x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值解析(1)由题意知包装盒
5、的底面边长为 2x cm，高为 2(30 x)cm,0 x30，所以包装盒侧面积为S4 2x 2(30 x)8x(30 x)8x30 x228225，当且仅当 x30 x，即 x15 时，等号成立，所以若广告商要求包装盒侧面积 S 最大，则 x15.(2)包装盒容积 V2x2 2(30 x)2 2x360 2x2(0 x0，得 0 x20；令 V0，得 20 x30.所以当 x20 时，包装盒容积 V 取得最大值，此时包装盒的底面边长为 20 2 cm，高为 10 2 cm，包装盒的高与底面边长的比值为 12.方法技巧 面积、体积(容积)最大，周长最短，距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当
6、的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验特别注意：在列函数关系式时，要注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域跟踪探究 1.某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场如图，圆形广场的圆心为 O，半径为 100 m，并与北京路一边所在直线 l 相切于点 M.点 A 为上半圆弧上一点，过点 A 作 l 的垂线，垂足为点 B.市园林局计划在ABM 内进行绿化设ABM的面积为 S(单位：m2)，AON(单位：弧度)(1)将 S 表示为 的函数；(2)当绿化面积 S 最大时，试确定点 A 的位置，并求最大面积解析：(1)BMAOsin 100sin，ABMOAO
7、cos 100100cos，(0，)则 S12MBAB12100sin(100100cos)5 000(sin sin cos)，(0，)(2)S5 000(2cos2cos 1)5 000(2cos 1)(cos 1)令 S0，得 cos 12或 cos 1(舍去)，此时 3.当 变化时，S，S 的变化情况如下表：0，333，S0S 极大值 所以，当 3时，S 取得最大值 Smax3 750 3m2，此时 AB150 m，即点 A 到北京路一边 l 的距离为 150 m.探究二 实际生活中的最值问题教材 P104习题 3.4A 组 6题已知某商品生产成本 C 与产量 q 的函数关系为 C10
8、04q，单价 p 与产量 q 的函数关系式为 p2518q.求产量 q 为何值时，利润 L 最大？解析：利润 LpqC2518q q(1004q)18q221q100(0q0；当 q(84,200)时，L0.当产量 q 为 84 时，利润 L 最大产量为 84 时，利润 L 最大例 2 某产品每件成本 9 元，售价 30 元，每星期卖出 432 件如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值 x(单位：元，0 x21)的平方成正比已知商品单价降低 2 元时，一星期多卖出 24 件(1)将一个星期的商品销售利润表示成 x 的函数；(2)如何定价才能使一个星期的商品销售
9、利润最大？解析(1)若商品降低 x 元，则一个星期多卖的商品为 kx2 件由已知条件，得 k2224，解得 k6.若记一个星期的商品销售利润为 f(x)，则有 f(x)(30 x9)(4326x2)6x3126x2432x9 072，x0,21(2)对(1)中函数求导得 f(x)18x2252x43218(x2)(x12)当 x 变化时，f(x)，f(x)随 x 的变化情况如下表：x0(0,2)2(2，12)12(12，21)21f(x)00f(x)9 072 极小值 极大值 0 x12 时，f(x)取得极大值f(0)9 072，f(12)11 664，定价为 301218(元)时，能使一个星
10、期的商品销售利润最大方法技巧 利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润收入成本”建立函数关系式，再利用导数求最大值解此类问题需注意两点：价格要大于或等于成本，否则就会亏本；销量要大于 0，否则不会获利跟踪探究 2.某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销经调查，每年投入广告费 t(百万元)，可增加销售额t25t(百万元)(0t3)(1)若该公司将当年的广告费控制在 3 百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？(2)现该公司准备共投入 3 百万元，分别用于广告促销和技术改造，经预测，每投入技术改造费 x 百万元，可增加的销售额为13x3x23x
11、(百万元)请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大(收益销售额投入)解析：(1)设投入 t(百万元)的广告费后增加的收益为 f(t)(百万元)，则有 f(t)(t25t)tt24t(t2)24(0t3)，当 t2 时，f(t)取得最大值 4，即投入 2 百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大(2)设用于技术改造的资金为 x(百万元)，则用于广告促销的资金为(3x)(百万元)，又设由此获得的收益是 g(x)(百万元)，则 g(x)13x3x23x(3x)25(3x)313x34x3(0 x3)，g(x)x24，令 g(x)0，解得 x2(舍去)或 x2.又当 0 x0；当 2x3
12、时，g(x)0)，固定部分为 a 元(1)把全程运输成本 y(元)表示为速度 v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？易错分析 解决实际应用问题时，要注意问题中某些关键量的实际限制条件或隐含条件若忽视这些限制条件或隐含条件导致最值错误考查数据分析及数学运算自我纠正(1)依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为sv，全程运输成本为yasvbv2svsavbv，故所求函数及其定义域为 ysavbv，v(0，c(2)由题意知 s，a，b，v 均为正数由 ysb av2 0，得 vab，v(0，c若abc，则 vab是极值点，即当 vab时，全程运输成本 y 最小若abc 因为 v(0，c，此时 yc 时，行驶速度 vc.04 课时 跟踪训练
