1、第二节 随 机 抽 样 【知识梳理】1.简单随机抽样(1)定义:设一个总体含有N个个体.从中_ _n个个体作为样本(nN),如果每次抽取时总体内 各个个体被抽到的机会都_,就把这种抽样方法叫 做简单随机抽样.(2)常用方法:_和_.逐个不放回地 抽取 相等 抽签法 随机数法 2.系统抽样(1)定义:在抽样时,将总体分成_的几个部分,然后按照预先定出的规则,从每一部分抽取一个个体,得到所需要的样本,这种抽样叫做系统抽样(也称为机械抽样).(2)适用范围:适用于_时.均衡 总体中的个数较多 3.分层抽样(1)定义:在抽样时,将总体分成_的层,然后按 照一定的比例,从各层独立地抽取一定数量的个体,将
2、 各层取出的个体合在一起作为样本,这种抽样方法是一 种分层抽样.(2)适用范围:适用于总体_成时.互不交叉 由差异明显的几部分组【特别提醒】1.随机数法编号要求:应保证各号数的位数相同,而抽签法则无限制.2.不论哪种抽样方法,总体中的每一个个体入样的概率是相同的.3.系统抽样是等距抽样,入样个体的编号相差 的整数倍.4.分层抽样是按比例抽样,每一层入样的个体数为该层的个体数乘以抽样比.Nn【小题快练】链接教材 练一练 1.(必修3P100A组T1改编)2016年2月,为确保食品安全,北京市质检部门检查一箱装有1000袋方便面的质量,抽查总量的2%.在这个问题中下列说法正确的是()A.总体是指这
3、箱1000袋方便面 B.个体是一袋方便面 C.样本是按2%抽取的20袋方便面 D.样本容量为20【解析】选D.总体是指这箱1000袋方便面的质量;个体是一袋方便面的质量;样本为20袋方便面的质量;样本容量为20.2.(必修3P100A组T2(2)改编)某工厂生产A,B,C三种不同型号的产品,产品的数量之比依次为347,现在用分层抽样的方法抽出容量为n的样本,样本中A型号产品有15件,那么样本容量n为()A.50 B.60 C.70 D.80【解析】选C.由分层抽样方法得 =15,解之 得n=70.3n347 感悟考题 试一试 3.(2015四川高考)某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年
4、级之间的学生视力是否存在显著差异,拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查,则最合理的抽样方法是()A.抽签法 B.系统抽样法 C.分层抽样法 D.随机数法【解析】选C.因为题干中总体是由差异明显的三个部分组成的,所以选择分层抽样法.4.(2016青岛模拟)为了解1000名学生的学习情况,采用系统抽样的方法,从中抽取容量为40的样本,则分段的间隔为()A.50 B.40 C.25 D.20【解析】选C.分段的间隔为100040=25.5.(2015北京高考)某校老年、中年和青年教师的人数见下表,采用分层抽样的方法调查教师的身体状况,在抽取样本中,青年教师有320人,则该样本的老年教师人数
5、为()A.90 B.100 C.180 D.300【解析】选C.设样本中老年教师人数为n人,解得n=180.类别人数老年教师900中年教师1 800青年教师1 600合计4 300320n1 600900，考向一 简单随机抽样【典例1】(1)下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数为()从无限多个个体中抽取100个个体作为样本;盒子里共有80个零件,从中选出5个零件进行质量检验.在抽样操作时,从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里;从20件玩具中一次性抽3件进行质量检查;某班有56名同学,指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛.A.0 B.1 C.2 D.3(2)(2016泰安
6、模拟)假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标,现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验,利用随机数表抽取样本时,先将800袋牛奶按000,001,799进行编号,如果从随机数表第8行第7列的数开始向右读,请你依次写出最先检测的5袋牛奶的编号_.(下面摘取了随机数表第7行至第9行)【解题导引】(1)根据简单随机抽样的特点逐一判断.(2)根据随机数表的读数规律依次找出各个体编号.【规范解答】(1)选A.不是简单随机抽样.因为被抽取样本的总体的个体数是无限的,而不是有限的.不是简单随机抽样.因为它是放回抽样.不是简单随机抽样.因为这是“一次性”抽取,而不是“逐个”抽取.不是简单随机抽样.因
7、为指定个子最高的5名同学是56名中特指的,不存在随机性,不是等可能的抽样.(2)找到第8行第7列的数开始向右读,第一个符合条件的是785;第二个数916799,舍去;第三个数955799,舍去;第四个数567符合题意,这样再依次读出结果为199,507,175.答案:785,567,199,507,175【规律方法】1.简单随机抽样的特点(1)抽取的个体数较少.(2)是逐个抽取.(3)是不放回抽取.(4)是等可能抽取.只有四个特点都满足的抽样才是简单随机抽样.2.抽签法与随机数法的适用情况(1)抽签法适用于总体中个体数较少的情况,随机数法适用于总体中个体数较多的情况.(2)一个抽样试验能否用抽
8、签法,关键看两点:一是抽签是否方便;二是号签是否易搅匀.一般地,当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法.【变式训练】利用简单随机抽样,从n个个体中抽取一 个容量为10的样本.若第二次抽取时,余下的每个个体 被抽到的概率为 则在整个抽样过程中,每个个体被 抽到的概率为()13，11510A.B.C.D.431427【解析】选C.根据题意,解得n=28.故每个 个体被抽到的概率为 91n 13，105.2814【加固训练】1.下面的抽样方法是简单随机抽样的是()A.在某年明信片销售活动中,规定每100万张为一个开奖组,通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709的为三等奖 B.某车间包装一种产品,
9、在自动包装的传送带上,每隔30分钟抽一包产品,称其重量是否合格 C.某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解学校机构改革的意见 D.用抽签方法从10件产品中选取3件进行质量检验【解析】选D.A,B不是简单随机抽样,因为抽取的个体间的间隔是固定的;C不是简单随机抽样,因为总体的个体有明显的层次;D是简单随机抽样.2.下列抽样试验中,适合用抽签法的是()A.从某厂生产的5000件产品中抽取600件进行质量检验 B.从某厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质 量检验 C.从甲、乙两厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件 进行质量检验 D.从某厂生产的5000件产品中
10、抽取10件进行质量检验【解析】选B.因为A,D中总体的个体数较大,不适合用抽签法;C中甲、乙两厂生产的产品质量可能差别较大,因此未达到搅拌均匀的条件,也不适合用抽签法;B中总体容量和样本容量都较小,且同厂生产的产品可视为搅拌均匀了.3.大、中、小三个盒子中分别装有同一种产品120个、60个、20个,现在需从这三个盒子中抽取一个样本容量为25的样本,较为恰当的抽样方法为_.【解析】因为三个盒子中装的是同一种产品,且按比例抽取每盒中抽取的不是整数,所以将三盒中的产品放在一起搅匀按简单随机抽样法(抽签法)抽样较为适合.答案:简单随机抽样 考向二 系统抽样【典例2】(1)(2016滨州模拟)采用系统抽
11、样方法从 960人中抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号为 1,2,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法 抽到的号码为9.抽到的32人中,编号落入区间1,450 的人做问卷A,编号落入区间451,750的人做问卷B,其余的人做问卷C.则抽到的人中,做问卷B的人数为 ()A.7 B.9 C.10 D.15(2)一个总体中有100个个体,随机编号为0,1,2,99,依编号顺序平均分成10个小组,组号依次为1,2,3,10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本,规定如果在第1组随机抽取的号码为m,那么在第k小组中抽取的号码个位数字与m+k的个位数字相同.若m=6,则在第7组中抽取的号
12、码是_.【解题导引】(1)写出第n(nN*)组抽中的号码,构造不等式求解.(2)第7组抽取的号码十位数字是6,再根据规定求出个位数字即可.【规范解答】(1)选C.从960人中用系统抽样方法抽取 32人,则将整体分成32组,每组30人,因为第一组抽到的 号码为9,则第二组抽到的号码为39,第n组抽到的号码 为an=9+30(n-1)=30n-21,由45130n-21750,得 所以n=16,17,25,共有25-16+1=10(人).236257n1510，(2)因为m=6,k=7,m+k=13,所以在第7小组中抽取的号码是63.答案:63【母题变式】1.若本例题(1)中条件不变,则做问卷A的
13、人数有多少?【解析】由130n-21450,得 所以n=1,2,15,共有15人.11157n1510，2.若本例题(1)中条件变为“若第5组抽到的号码为129”,求第1组抽到的号码.【解析】设第1组抽到的号码为x,则第5组抽到的号码为x+(5-1)30,由x+(5-1)30=129,解得x=9,因此第1组抽到的号码为9.【易错警示】在本例题(2)中会出现以下错误:第一组的号码为6,样本间隔为10,故第7组的号码为6+60=66.导致该错误的原因是,忽视了题中的抽样规则不再是等距抽样.【规律方法】系统抽样的三个关注点(1)若不改变抽样规则,则所抽取的号码构成一个等差数列,其首项为第一组所抽取的
14、号码,公差为样本间隔.故问题可转化为等差数列问题解决.(2)抽样规则改变,应注意每组抽取一个个体这一特性不变.(3)如果总体容量N不能被样本容量n整除,可随机地从总体中剔除余数,然后再按系统抽样的方法抽样.【变式训练】为规范学校办学,某省教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查.抽到的班级一共有52名学生,现将该班学生随机编号,用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本,已知7号、33号、46号同学在样本中,那么样本中还有一位同学的编号应是()A.13 B.19 C.20 D.51【解析】选C.由系统抽样的原理知抽样的间隔为=13,故抽取的样本的编号分别为7,7+13,7+132,7+133,从而可知
15、选C.524【加固训练】1.从2007名学生中选取50名学生参加全国数学联赛,若采用下面的方法选取:先用简单随机抽样从2007人中剔除7人,剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取,则每人入选的概率()A.不全相等 B.均不相等 C.都相等,且为 D.都相等,且为【解析】选C.从N个个体中抽取M个个体,则每个个体 被抽到的概率都等于 502 007140M.N2.某班级有50名学生,现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生,将这50名学生随机编号150号,并分组,第一组15号,第二组610号,第十组4650号,若在第四组中抽得号码为16的学生,则在第八组中抽得号码为_的学生.【解析】
16、易知组距为5,因为在第四组中抽得号码为16,所以在第八组中抽得号码为16+(8-4)5=36.答案:36 考向三 分层抽样【典例3】(1)(2015湖北高考)我国 古代数学名著数书九章有“米谷 粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534石,验得米内 夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米 内夹谷约为()A.134石 B.169石 C.338石 D.1 365石(真题溯源:本题源自A版必修3P60探究)(2)(2015福建高考)某校高一年级有900名学生,其中女生400名.按男女比例用分层抽样的方法,从该年级学生中抽取一个容量为45的样本,则应抽取的男生人数为_.【解题导引】(1
17、)根据分层抽样的特点构造方程求解.(2)首先计算出男生人数,再计算出男女比例,从而确定抽取男生人数.【规范解答】(1)选B.设这批米内夹谷x石,则由题意知,即x=(2)由题意知,男生人数=900-400=500,所以抽取比例为 男生女生=500400=54,样本容量为45,所以抽取 的男生人数为45 =25.答案:25 28x,2541 534281 534169.254 59【规律方法】分层抽样问题类型及解题思路(1)求某层应抽个体数量:按该层所占总体的比例计算.(2)已知某层个体数量,求总体容量或反之:根据分层抽 样就是按比例抽样,列比例式进行计算.(3)分层抽样的计算应根据抽样比构造方程
18、求解,其中“抽样比=样本容量各层样本数量总体容量各层个体数量易错提醒:分层抽样时,每层抽取的个体可以不一样多,但必须满足抽取ni=n (i=1,2,k)个个体(其中i 是层数,n是抽取的样本容量,Ni是第i层中个体的个数,N是总体容量).iNN【变式训练】某校共有学生2000名,各年级男、女学生人数如表.已知在全校学生中随机抽取1名,抽到二年级女生的概率是0.19,现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生,则在三年级抽取的学生应有_名.一年级二年级三年级女生373xy男生377370 x【解析】根据题意可知,二年级女生的人数应为 20000.19=380(人),故一年级共有人数750人,二年 级
19、共有750人,这两个年级均应抽取64 =24(人).则应在三年级抽取的学生人数为64-242=16(人).答案:16 7502 000【加固训练】1.(2014重庆高考)某中学有高中生3500人,初中生1500人.为了解学生的学习情况,用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本,已知从高中生中抽取70人,则n为()A.100 B.150 C.200 D.250【解析】选A.由分层抽样的定义可知 解得n=100.703 500,n3 500 1 5002.(2014天津高考)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为3
20、00的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4556,则应从一年级本科生中抽取_名学生.【解析】根据题意知300 =60.故应抽取60人.答案:60 44556 3.(2016长沙模拟)某地区有小学150所,中学75所,大学25所,现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查,应从小学中抽取_所学校,中学中抽取_所学校.【解析】因为分层抽样也叫按比例抽样,所以应从小学 中抽取 =18(所),同理可得从中学 中抽取 =9(所).答案：18 9 150330301507525575330301507525104.(2016太原模拟)一汽车厂生产A,B,C三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表(单位:辆):轿车A轿车B轿车C舒适型100150z标准型300450600按类型用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取 50辆,其中有A类轿车10辆.则z的值为_.【解析】设该厂本月生产轿车为n辆,由题意得,所以n=2000.z=2000-100-300-150-450-600=400.答案:400 5010,n100300