1、高考中档题训练(四)1.(2014高考安徽卷)设ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,ABC的面积为,求cos A与a的值.解:由三角形面积公式,得31sin A=,故sin A=.因为sin2A+cos2A=1,所以cos A=.当cos A=时,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=32+12-231=8,所以a=2.当cos A=-时,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=32+12-231(-)=12.所以a=2.2.(2013江西南昌二模)如表所示是一个由正数组成的数表,数表中各行依次成等差数列,各列依次成等比数列,且公比都相等,已知
2、a1,1=1,a2,3=6,a3,2=8.a1,1a1,2a1,3a1,4a2,1a2,2a2,3a2,4a3,1a3,2a3,3a3,4a4,1a4,2a4,3a4,4(1)求数列an,2的通项公式;(2)设bn=+(-1)na1,n(nN*),求数列bn的前n项和Sn.解:(1)设第一行依次组成的等差数列的公差是d,各列依次组成的等比数列的公比是q(q0),则a2,3=qa1,3=q(1+2d)q(1+2d)=6,a3,2=q2a1,2=q2(1+d)q2(1+d)=8,解得d=1,q=2,所以a1,2=2,an,2=22n-1=2n.(2)由(1)得a1,n=n,所以bn=+(-1)nn
3、,Sn=(+)+-1+2-3+(-1)nn,记Tn=+,则Tn=+,两式相减得,Tn=+-=1-,所以Tn=2-,所以n为偶数时,Sn=+2-,n为奇数时,Sn=-+2-.3.(2014浙江高考模拟冲刺卷)如图,ABC中,ACB=90,AB=2BC=2,P为平面ABC外一个动点,且PC=,PBC=60.(1)问当PA的长为多少时,ACPB;(2)当PAB的面积取得最大值时,求直线BC与平面PAB所成角的大小.解:(1)因为ACB=90,所以ACBC,当ACPC时,AC平面PBC,而PB平面PBC,所以ACPB,此时,PA=,即当PA=时,ACPB.(2)在PBC中,因为PC=,PBC=60,BC=1,所以BCPC,又ACBC,所以BC平面APC.当PAB的面积取得最大值时,PBA=90,取AP的中点D(如图),则CDPA,BDPA,所以PA平面BCD.在RtPBA中,因为AB=PB=2,由此可求得BD=,又在RtBCD中,BC=1,所以CD=1,由于PA平面BCD,所以平面BCD平面PBA,所以CBD就是直线BC与平面PAB所成的角,在RtBCD中,因为BC=CD=1,所以CBD=45,所以直线BC与平面PAB所成角的大小为45.
