1、2014-2015学年湖北省荆州市公安三中高一（上）12月月考数学试卷（理科）一选择题：（共10小题，每题5分，共50分）1已知全集U=Z，A=1，0，1，2，B=x|x2=x，则AUB为( )A1，2B1，0C0，1D1，22cos24cos36sin24cos54=( )Acos12Bsin12CD3已知函数f（x）和g（x）分别是定义在10，10上的奇函数和偶函数，则函数F（x）=f（x）g（x）的图象关于( )Ax轴对称By轴对称C原点对称D直线y=x对称4下列函数中，在区间（，0）上是增函数的是( )Ay=x24x+8By=丨x1丨Cy=Dy=5下列四组函数：（1）f（x）=x，（2
2、）f（x）=x，（3）f（x）=1，g（x）=x0（4）f（x）=x22x1，g（t）=t22t1其中表示同一函数的是( )A（1）B（2）（3）C（2）（4）D（2）（3）（4）6若函数 为奇函数，则a=( )ABCD17函数的图象上相邻两条对称轴间的距离是，则的一个值为( )ABCD8给出下列三个等式：f（xy）=f（x）+f（y），f（x+y）=f（x）f（y），下列函数中不满足其中任何一个等式的是( )Af（x）=3xBf（x）=sinxCf（x）=log2xDf（x）=tanx9把函数y=（cos3xsin3x）的图象适当变化就可以得到y=sin3x的图象，这个变化可以是( )A沿x
3、轴方向向右平移B沿x轴方向向左平移C沿x轴方向向右平移D沿x轴方向向左平移10方程log2x+log2（x1）=1的解集为M，方程22x+192x+4=0的解集为N，那么M与N的关系是( )AM=NBMNCNMDMN=二、填空题：（共5个小题，每题5分，共25分）11计算（lg5）2+lg50lg2=_12若tanx=3，则1+sinxcosx的值为_13已知coscos（+）+sinsin（+）=，是第二象限角，则tan2=_14若关于x的方程cos2xsinx+a=0有解，则实数a的取值范是_15设函数的最小正周期为，且其图象关于直线对称，则下列四个结论中正确的编号为_（把你认为正确的结论
4、编号都填上）； 图象关于直线对称； 图象关于点对称；在上是减函数； 在上是增函数三、解答题：（共六个小题，75分）16设集合A=x|72x17，B=x|m1x3m2，R为实数集（1）当m=3时，求AB与A（RB）；（2）若AB=B，求实数m的取值范围17已知第四象限角的终边与单位圆交于点（1）写出sin，cos，tan的值；（2）求的值18已知函数f（x）的定义域是（0，+），当x1时f（x）0，且f（xy）=f（x）+f（y）；（1）求f（1）；（2）证明：f（x）在定义域上是增函数；（3）如果f（3）=1，解不等式f（x）+f（x2）219已知函数f（x）=2sin2（+x）cos2x，x
5、，（）求f（x）的最大值和最小值；（）若不等式|f（x）m|2在x，上恒成立，求实数m的取值范围20已知（1）设h（x）=f（x）g（x），求函数h（x）在0，上的单调递减区间；（2）若一动直线x=t与函数y=f（x），y=g（x）的图象分别交于M，N两点，求|MN|的最大值21已知函数f（x）=log9（9x+1）+kx（kR）是偶函数（1）求k的值；（2）若函数y=f（x）的图象与直线没有交点，求b的取值范围；（3）设，若函数f（x）与h（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围2014-2015学年湖北省荆州市公安三中高一（上）12月月考数学试卷（理科）一选择题：（共10小题，每
6、题5分，共50分）1已知全集U=Z，A=1，0，1，2，B=x|x2=x，则AUB为( )A1，2B1，0C0，1D1，2【考点】交、并、补集的混合运算 【分析】B为二次方程的解集，首先解出，再根据交集、补集意义直接求解【解答】解：由题设解得B=0，1，CUB=xZ|x0且x1，ACUB=1，2，故选A【点评】本题考查集合的基本运算，属容易题2cos24cos36sin24cos54=( )Acos12Bsin12CD【考点】两角和与差的正弦函数 【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值【分析】由条件利用诱导公式、两角和差的余弦公式求得所给式子的值【解答】解：cos24cos36sin24co
7、s54=cos24cos36sin24sin36=cos（24+36）=cos60=，故选：C【点评】本题主要考查诱导公式、两角和差的余弦公式的应用，属于基础题3已知函数f（x）和g（x）分别是定义在10，10上的奇函数和偶函数，则函数F（x）=f（x）g（x）的图象关于( )Ax轴对称By轴对称C原点对称D直线y=x对称【考点】函数奇偶性的性质 【专题】规律型；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用【分析】根据函数奇偶性的性质：奇偶=奇，可得函数F（x）=f（x）g（x）为奇函数，进而得到答案【解答】解：函数f（x）和g（x）分别是定义在10，10上的奇函数和偶函数，根据函数奇偶性的性质，可
8、得：函数F（x）=f（x）g（x）为奇函数，故函数F（x）的图象关于原点对称，故选：C【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，熟练掌握函数奇偶性的性质，是解答的关键4下列函数中，在区间（，0）上是增函数的是( )Ay=x24x+8By=丨x1丨Cy=Dy=【考点】函数单调性的判断与证明 【专题】计算题【分析】选项A，函数在（，2）上单调递减；选项B，去掉绝对值可得y=|x1|=，可知满足在（，0）上单调递减；选项C，y=在（，1）和（1，+）均单调递增；选项D，y=在定义域（，1单调递减，由此可得答案【解答】解：选项A，图象为开口向上的抛物线，对称轴为x=2，函数在（，2）上单调递减，故不
9、满足题意，错误；选项B，y=|x1|=，故函数在（，1）上单调递减，当然在（，0）上单调递减，故错误；选项C，y=在（，1）和（1，+）均单调递增，显然满足在（，0）上单调递增，故正确；选项D，y=在定义域（，1单调递减，故不满足题意故选C【点评】本题考查函数的单调性的判断，涉及分式函数和绝对值函数的单调性，属基础题5下列四组函数：（1）f（x）=x，（2）f（x）=x，（3）f（x）=1，g（x）=x0（4）f（x）=x22x1，g（t）=t22t1其中表示同一函数的是( )A（1）B（2）（3）C（2）（4）D（2）（3）（4）【考点】判断两个函数是否为同一函数 【专题】函数的性质及应用【
10、分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是相同函数【解答】解：对于（1），函数f（x）=x（xR），与=x（x0）的定义域不同，不是同一函数，对于（2），函数f（x）=x（xR），与=x（xR）的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；对于（3），函数f（x）=1（xR），与g（x）=x0（x0）的定义域不同，不是同一函数；对于（4），函数f（x）=x22x1（xR），与g（t）=t22t1（tR）的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数综上，表示同一函数的是（2）、（4）故选：C【点评】本题考查了判断两个函数为同一函数的应用问题，是基础题目6若函数 为奇函数，则a=( )
11、ABCD1【考点】函数奇偶性的性质 【专题】计算题【分析】利用奇函数的定义得到f（1）=f（1），列出方程求出a【解答】解：f（x）为奇函数f（1）=f（1）=1+a=3（1a）解得a=故选A【点评】本题考查利用奇函数的定义：对定义域内任意的自变量x都有f（x）=f（x）成立7函数的图象上相邻两条对称轴间的距离是，则的一个值为( )ABCD【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式 【专题】计算题【分析】利用两角差的余弦函数展开，然后利用两角和的正弦函数化为一个角的一个三角函数的形式，根据题意求出周期，然后求出【解答】解：=，故选C【点评】本题是基础题，考查三角函数的化简求值，三角函
12、数的周期的求法，考查计算能力8给出下列三个等式：f（xy）=f（x）+f（y），f（x+y）=f（x）f（y），下列函数中不满足其中任何一个等式的是( )Af（x）=3xBf（x）=sinxCf（x）=log2xDf（x）=tanx【考点】指数函数与对数函数的关系 【分析】依据指、对数函数的性质可以发现A，C满足其中的一个等式，而D满足，B不满足其中任何一个等式【解答】解：f（x）=3x是指数函数满足f（x+y）=f（x）f（y），排除Af（x）=log2x是对数函数满足f（xy）=f（x）+f（y），排除Cf（x）=tanx满足，排除D故选B【点评】本题主要考查指数函数和对数函数以及正切函数
13、的性质9把函数y=（cos3xsin3x）的图象适当变化就可以得到y=sin3x的图象，这个变化可以是( )A沿x轴方向向右平移B沿x轴方向向左平移C沿x轴方向向右平移D沿x轴方向向左平移【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换 【分析】先根据两角和与差的正弦公式进行化简为与y=sin3x同名的三角函数，再由左加右减的平移原则进行平移【解答】解：y=（cos3xsin3x）=sin（3x）=sin3（x）为得到y=sin3x可以将y=（cos3xsin3x）向左平移个单位故选D【点评】本题主要考查两角和与差的正弦公式和三角函数的图象变换一般先化简为形式相同即同名函数再进行平移或变换10方程l
14、og2x+log2（x1）=1的解集为M，方程22x+192x+4=0的解集为N，那么M与N的关系是( )AM=NBMNCNMDMN=【考点】函数的零点；集合的包含关系判断及应用 【专题】函数的性质及应用【分析】解对数方程log2（x2x）=1我们可以求出集合M，解指数方程22x+192x+4=0我们可以求出集合N，进而根据集合包含关系的判定方法，易判断出集合M，N的关系【解答】解：log2x+log2（x1）=1，log2（x2x）=1，即x2x=2，解得x=1，或x=2，又x0，x10，函数的定义域是x1，M=2；若22x+192x+4=0，2x=4，或2x=，解得x=2，x=1，即N=1
15、，2故MN，故选B【点评】本题考查的知识点是对数方程的解法，指数方程的解法，其中解对应的指数方程和对数方程，求出集合M，N是解答本题的关键二、填空题：（共5个小题，每题5分，共25分）11计算（lg5）2+lg50lg2=1【考点】对数的运算性质 【专题】计算题【分析】利用lg2+lg5=1和对数的运算法则即可得出【解答】解：原式=lg25+（1+lg5）lg2=lg5（lg5+lg2）+lg2=lg5+lg2=1故答案为：1【点评】本题考查了lg2+lg5=1和对数的运算法则，属于基础题12若tanx=3，则1+sinxcosx的值为【考点】同角三角函数基本关系的运用 【专题】三角函数的求值
16、【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，求得1+sinxcosx的值【解答】解：tanx=3，则1+sinxcosx=1+=1+=1+=，故答案为：【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题13已知coscos（+）+sinsin（+）=，是第二象限角，则tan2=【考点】两角和与差的余弦函数；二倍角的正切 【专题】计算题【分析】把已知的等式利用两角差的余弦函数公式化简，求出cos的值，由的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sin的值，进而求出tan的值，然后把所求的式子利用二倍角的正切函数公式化简后，把tan的值代入即可求出值【解答】解：coscos（+）+sinsin（+
17、）=cos（+）=cos（）=cos=，cos=，又是第二象限角，sin=，tan=，则tan2=故答案为：【点评】此题考查了两角和与差的余弦函数公式，二倍角的正切函数公式以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键14若关于x的方程cos2xsinx+a=0有解，则实数a的取值范是【考点】函数的零点 【专题】函数的性质及应用【分析】若方程cos2xsinx+a=0有实数解，cos2xsinx=a，实数a应该属于函数y=cos2xsinx的值域，结合同角公式，再结合二次函数在定区间上的值域求法，易得函数y=cos2xsinx的值域，进而得到实数a的取值范围【解答】解：cos2xsi
18、nx=1sin2xsinx=（sinx+）2+又1sinx11（sinx+）2+则关于x的方程cos2xsinx+a=0有解，1a，故实数a的取值范围：故答案为：【点评】本题主要考查方程根的问题转化为函数的值域求解，还涉及了三角函数，二次函数值域的求法15设函数的最小正周期为，且其图象关于直线对称，则下列四个结论中正确的编号为（把你认为正确的结论编号都填上）； 图象关于直线对称； 图象关于点对称；在上是减函数； 在上是增函数【考点】正弦函数的图象 【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质【分析】由周期求得，由y的图象关于直线对称，可得的值，可得函数的解析式为 y=3sin（4x+）再根据
19、函数y的解析式，判断各个选项是否正确，从而得出结论【解答】解：由题意可得=，=4再根据函数y的图象关于直线对称，可得4+=k+，即=k+，kZ，故=，故函数的解析式为 y=3sin（4x+）令x=，求得y=，不是最值，故函数的图象不关于直线对称，故不正确令x=，求得y=0，故函数的图象关于点对称，故正确在上，4x+，y=3sin（4x+）是减函数，故正确在上，4x+，y=3sin（4x+）不是减函数，故不正确，故答案为：【点评】本题主要考查正弦函数的周期性以及它的图象的对称性，正弦函数的单调性，属于中档题三、解答题：（共六个小题，75分）16设集合A=x|72x17，B=x|m1x3m2，R为
20、实数集（1）当m=3时，求AB与A（RB）；（2）若AB=B，求实数m的取值范围【考点】交集及其运算；交、并、补集的混合运算 【专题】计算题【分析】（1）求出集合A，集合B，再求出集合B的补集，进行交，并运算即可（2）根据集合A、B之间的包含关系，分两种情况分析求解【解答】解：A=3，4（1）当m=3时，B=2，7，CRB=（，2）（7，+），AB=2，4，A（CRB）=（，4（7，+）（2）AB=BBA，当B=时，m；当B时，即m时，m2综上m2【点评】本题考查集合的交、并、补集运算利用数形结合计算直观、形象17已知第四象限角的终边与单位圆交于点（1）写出sin，cos，tan的值；（2）求
21、的值【考点】任意角的三角函数的定义 【专题】三角函数的求值【分析】（1）由条件利用任意角的三角函数的定义，求得sin，cos，tan的值（2）由条件利用诱导公式化简所给的式子，求得结果【解答】解：（1）第四象限角的终边与单位圆交于点，m=，x=，y=，r=|OP|=1，故sin=，cos=，tan=（2）=tan1=（）1=【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题18已知函数f（x）的定义域是（0，+），当x1时f（x）0，且f（xy）=f（x）+f（y）；（1）求f（1）；（2）证明：f（x）在定义域上是增函数；（3）如果f（3）
22、=1，解不等式f（x）+f（x2）2【考点】抽象函数及其应用 【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用【分析】（1）利用赋值法令x=y=1，即可求f（1）的值；（2）根据抽象函数的关系结合函数单调性的定义即可证明：f（x）在定义域上是增函数；（3）根据函数的单调性即可解不等式f（x（x2）f（9），注意定义域的运用【解答】解：（1）对任意的x0，y0，f（xy）=f（x）+f（y），令x=y=1，结合f（1）=f（1）+f（1）=2f（1），f（1）=0；（2）证明：任取x1，x2（0，+），且x1x21，f（）0，即有f（x2）=f（x1）=f（x1）+f（），即f（x2）f（x1），函
23、数f（x）是定义在（0，+）上为增函数；（3）f（3）=1，即有f（9）=2f（3）=2，不等式f（x）+f（x2）2等价为f（x（x2）f（9），f（x）是定义在（0，+）上为增函数，即，解得x1+，即不等式的解集为1+，+）【点评】本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法是解决抽象函数的基本方法结合函数的单调性是解决本题的关键19已知函数f（x）=2sin2（+x）cos2x，x，（）求f（x）的最大值和最小值；（）若不等式|f（x）m|2在x，上恒成立，求实数m的取值范围【考点】正弦函数的定义域和值域；函数恒成立问题；三角函数的化简求值 【专题】计算题【分析】（）利用降幂公式将f（x）化简
24、为f（x）=1+2sin（2x），即可求得f（x）的最大值和最小值；（）|f（x）m|2f（x）2mf（x）+2，而x，可求得2x，从而可求得f（x）max=3，f（x）min=2，于是可求实数m的取值范围【解答】解：（）f（x）=1cos（+2x）cos2x=1+sin2xcos2x=1+2sin（2x），又x，2x，即21+2sin（2x）3，f（x）max=3，f（x）min=2（）|f（x）m|2f（x）2mf（x）+2，x，由（1）可知，f（x）max=3，f（x）min=2，mf（x）max2=1且mf（x）min+2=4，1m4，即m的取值范围是（1，4）【点评】本题考查三角函数
25、恒成立问题，着重考查正弦函数的定义域和值域，考查三角函数的化简求值与辅助角公式的应用，属于中档题20已知（1）设h（x）=f（x）g（x），求函数h（x）在0，上的单调递减区间；（2）若一动直线x=t与函数y=f（x），y=g（x）的图象分别交于M，N两点，求|MN|的最大值【考点】余弦函数的图象；正弦函数的图象 【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的图像与性质【分析】（1）由条件利用两角和差的正弦公式求得h（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数h（x）在0，上的单调递减区间（2）根据函数f（x）=sin2x 和g（x）=sin（2x+）的周期相同，把f（x）的图象向左平移个单
26、位，再把各点的纵坐标变为原来的倍，可得g（x）的图象，求得|MN|的最大值【解答】解：（1）已知，故h（x）=f（x）g（x）=sin2xcos+cos2xsin+sin2xcoscos2xsincos2x=sin2xcos2x=sin4x，令2k+4x2k+，求得 +x+，kZ，故函数h（x）的减区间为+，+，kZ再结合x0，可得h（x）的减区间为，、，（2）函数y=f（x）=sin（2x+）+sin（2x）=2sin2xcos=sin2x，y=g（x）=cos2x=sin（2x+），故f（x）和g（x）的周期相同，把f（x）的图象向左平移个单位，再把各点的纵坐标变为原来的倍，可得g（x）的
27、图象，若一动直线x=t与函数y=f（x），y=g（x）的图象分别交于M，N两点，则|MN|=|sin（2t+）sin2t|=|cos2xsin2t|=|2sin（2t）|2，则|MN|的最大值为 2【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式，正弦函数的单调性，属于中档题21已知函数f（x）=log9（9x+1）+kx（kR）是偶函数（1）求k的值；（2）若函数y=f（x）的图象与直线没有交点，求b的取值范围；（3）设，若函数f（x）与h（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围【考点】函数奇偶性的性质；函数与方程的综合运用 【专题】计算题【分析】（1）因为f（x）为偶函数所以f（x）=f（
28、x）代入求得k的值即可；（2）函数与直线没有交点即无解，即方程log9（9x+1）x=b无解令g（x）=log9（9x+1）x，则函数y=g（x）的图象与直线y=b无交点推出g（x）为减函数得到g（x）0，所以让b0就无解（3）函数f（x）与h（x）的图象有且只有一个公共点，即联立两个函数解析式得到方程，方程只有一个解即可【解答】解：（1）因为y=f（x）为偶函数，所以xR，f（x）=f（x），即log9（9x+1）kx=log9（9x+1）+kx对于xR恒成立即恒成立即（2k+1）x=0恒成立，而x不恒为零，所以（2）由题意知方程即方程log9（9x+1）x=b无解令g（x）=log9（9x+1）x，则函数y=g（x）的图象与直线y=b无交点因为任取x1、x2R，且x1x2，则，从而于是，即g（x1）g（x2），所以g（x）在（，+）是单调减函数因为，所以所以b的取值范围是（，0（3）由题意知方程有且只有一个实数根令3x=t0，则关于t的方程（记为（*）有且只有一个正根若a=1，则，不合，舍去；若a1，则方程（*）的两根异号或有两相等正根由或3；但，不合，舍去；而；方程（*）的两根异号（a1）（1）0，即a+10，解得：a1综上所述，实数a的取值范围3（1，+）【点评】考查学生运用函数奇偶性的能力，以及函数与方程的综合运用能力
