1、 理科数学试题及答案第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数是实数，则实数（ ）A B1 C D2 2.若变量满足约束条件，则的最大值是（ ）A B0 C D3.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统和，系统和系统在任意时刻发生故障的概率分别为和若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为，则（ ）A B C D4.已知双曲线，点为其两个焦点，点为双曲线上一点，若，则的值为（ ）A2 B C D5.设，则（ ）A B C D6.执行如图所示的程序框图，若输中的值为8，则判断框内可填入的条件是（ ）A B
2、C D7. 的展开式中，的系数为（ ）A100 B120 C130 D150 8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A12 B18 C24 D309.动点在圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周已知时间时，点的坐标是，则当时，动点的纵坐标关于（单位：秒）的函数的单调递增区间是（ ）A B C D和10.已知命题设函数，且，则在上必有零点；设，则“”是“”的充分不必要条件则在命题和中，真命题是（ ）A B C D 11.在中，是的中点，若，则（ ）A B C D12.设直线与抛物线相交于两点，与圆相切于点，且为线段的中点，若这样的直线恰有4条，则的取值范围是（ ）A
3、B C D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13.若向量满足：，则_14.已知，则_15.已知直三棱柱的各项点都在同一球面上，若，则该球的表面积等于_16.已知函数（为常数），曲线在点处的切线与轴平行，则的单调递减区间为_三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）设数列的前项和为，已知（1）证明：数列是等比数列；（2）求数列的前项和18.（本小题满分12分）某公司招收大学毕业生，经过综合测试录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分）公司规定：成绩在180分以上者到甲部门工作，在180分以
4、下者到乙部门工作，另外只有成绩高于180分的男生才能担任助理工作（1）现用分层抽样的方法从甲、乙两部门中选取8人若从这8人中再选3人，求至少有一人来自甲部门的概率；（2）若从甲部门中随机选取3人，用表示所选人员中能担任助理工作的人数，求的分布列及数学期望19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面，为棱上的一点，平面平面（1）证明：；（2）求二面角的大小20.（本小题满分12分）已知是椭圆的两个顶点，过其右焦点的直线与椭圆交于两点，与轴交于点（异于两点），直线与直线交于点（1）当时，求直线的方程；（2）求证：为定值21.（本小题满分12分）（1）证明：当时，；（2）若不等式对恒成立，求实数
5、的取值范围请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，和相交于两点，过作两圆的切线分别交两圆于两点，连结并延长交于点，已知（1）求的值；（2）求线段的长23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为（1）把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明它表示什么曲线；（2）若是直线上的一点，是曲线上的一点，当取得最小值时，求的直角坐标24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知，函数的最小
6、值为2（1）求的值；（2）证明：与不可能同时成立参考答案一、选择题题号123456789101112答案二、填空题13. 14. 15. 16. 三、解答题17. 解：（1）由，及，得，整理，得，又，是以1为首项，2为公比的等比数列6分（2）由（1），得，由-，得12分18. 解：（1）根据茎叶图可知，甲、乙两部门各有10人，用分层抽样的方法，应从甲、乙两部门中各选取人记“至少有一人来自甲部门”为事件，则故至少有一人来自甲部门的概率为5分（2）由题意可知，的可能取值为0，1，2，3，的分布列为012312分19. 解：（1）以为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，则，设平面的法向量为，由，得，
7、设平面的法向量，由，得，取由平面平面，得，即故6分（2）由（1），知，取的中点，则，向量与的夹角等于二面角的平面角而，故二面角的大小为12012分20. 解：（1）由题设条件可知，直线的斜率一定存在，设直线的方程为，由，消去并整理，得设，则，由已知，得，解得故直线的方程为或，即或5分（2）由，得直线的方程为，直线的方程为，联立两条直线方程并消去，得由（1），知，又，故为定值12分21. 解：（1）记，则当时，在上是增函数；当时，在上是减函数，当时，即记，则当时，在上是减函数，即综上，4分（2）当时， 当时，不等式，对恒成立下面证明：当时，不等式对不恒成立存在（例如取和中的较小者）满足，即当时，不等式对不恒成立综上，实数的取值范围是12分22. 解：（1）切于，同理，即，5分（2）切于，又，即，由（1）可知，10分23. 解：（1）由，得，从而有，曲线是圆心为，半径为的圆5分（2）由题设条件知，当且仅当三点共线时，等号成立，即，设，又，则当时，取得最小值，从而也取得最小值，此时，点的直角坐标为 10分24. 解：（1），由题设条件知，5分（2）由（1）及基本不等式，得，假设与同时成立，则由及，得同理，这与矛盾故与不可能同时成立10分