1、3.3.3 函数的最大(小)值与导数内 容 标 准学 科 素 养1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系2.会求某闭区间上函数的最值.利用直观抽象提升数学运算和逻辑推理01 课前 自主预习02 课堂 合作探究03 课后 讨论探究04 课时 跟踪训练基础认识知识点一 函数 f(x)在闭区间a，b上的最值预习教材P9698，思考并完成以下问题极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质也就是说，如果 x0 是 f(x)的极大(小)值点，那么在点 x0 附近找不到比 f(x0)更大(或更小)的值但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们往往更关心函数在某个区间
2、上，哪个值最大，哪个值最小如何求函数的最值呢？如图为 yf(x)，xa，b的图象(1)观察a，b上函数 yf(x)的图象，试找出它的极大值、极小值(2)结合图象判断，函数 yf(x)在区间a，b上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？(3)函数 yf(x)在a，b上的最大(小)值一定是某极值吗？提示：(1)极大值为 f(x1)，f(x3)，极小值为 f(x2)，f(x4)(2)存在，f(x)minf(a)，f(x)maxf(x3)(3)不一定，也可能是区间端点的函数值 知识梳理 函数 f(x)在闭区间a，b上的最值函数 f(x)在闭区间a，b上的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在a，b
3、上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在处或处取得知识点二 求函数 yf(x)在a，b上的最值的步骤知识梳理(1)求函数 yf(x)在(a，b)内的(2)求函数 yf(x)的各极值与的函数值 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是，最小的一个是端点极值点极值端点处最大值最小值知识点三 最值与极值的区别与联系思考并完成以下问题(1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言(2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有)(3)函数 f(x)的极值点为定义域中的内点，而最值点可以是区间的端点(4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在
4、极大(小)值点或区间端点处取得如图是 yf(x)在区间a，b上的函数图象求函数 f(x)的极大(小)值，最大(小)值在什么位置取到？提示：显然 f(x1)，f(x3)，f(x5)为极大值，f(x2)，f(x4)，f(x6)为极小值最大值 yMf(x3)f(b)分别在 xx3 及 xb 处取得，最小值 ymf(x4)在 xx4 处取得 自我检测1函数 f(x)exx 在区间1,1上的最大值是()A11e B1Ce1 De1答案：C2函数 f(x)x33x(|x|1)()A有最大值，但无最小值B有最大值，也有最小值C无最大值，但有最小值D既无最大值，也无最小值答案：D探究一 求函数的最值阅读教材
5、P97例 5求函数 f(x)13x34x4 在0,3上的最大值与最小值题型：利用导数求函数的最值方法步骤：先求导求函数在(0,3)上的极值将函数的极值和端点处的函数值比较，得出最大值与最小值例 1 求下列各函数的最值：(1)f(x)x33x，x 3，3；(2)f(x)x254x(x0)解析(1)f(x)33x23(1x)(1x)令 f(x)0，得 x1 或 x1，当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x 3(3，1)1(1,1)1(1,3)3f(x)00f(x)0 极小值极大值18所以 x1 和 x1 是函数在 3，3上的两个极点，且 f(1)2，f(1)2.又因为 f(x)在区
6、间端点处的取值为f(3)0，f(3)18.所以 f(x)max2，f(x)min18.(2)f(x)2x54x2.令 f(x)0 得 x3.当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，3)3(3,0)f(x)0f(x)极小值 所以 x3 时，f(x)取得极小值，也就是最小值，故 f(x)的最小值为 f(3)27，无最大值方法技巧 1.求函数的最值，显然求极值是关键的一步若仅仅是求最值，可用下面简化的方法求得：(1)求出导数为零的点(2)比较这些点与端点处函数值的大小，就可求出函数的最大值和最小值2若函数在闭区间a，b上连续且单调，则最大、最小值在端点处取得跟踪探究 1.求下列各函
7、数的最值：(1)f(x)2x36x23，x2,4；(2)f(x)x33x26x2，x1,1解析：(1)f(x)6x212x6x(x2)令 f(x)0，得 x0 或 x2.当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表x2(2,0)0(0,2)2(2,4)4f(x)00f(x)37 极大值 3极小值5 35当 x4 时，f(x)取最大值 35.当 x2 时，f(x)取最小值37，即 f(x)的最大值为 35，最小值为37.(2)f(x)3x26x63(x22x2)3(x1)23，f(x)在1,1内恒大于 0，f(x)在1,1上为增函数故 x1 时，f(x)min12；x1 时，f(x)max
8、2；即 f(x)的最小值为12，最大值为 2.探究二 含参数的函数的最值问题例 2 已知函数 f(x)x33x29xa.(1)求 f(x)的单调递减区间；(2)若 f(x)在区间2,2上的最大值为 20，求它在该区间上的最小值解析(1)f(x)3x26x93(x1)(x3)令 f(x)0，得 x3，故函数 f(x)的单调递减区间为(，1)，(3，)(2)因为 f(2)81218a2a，f(2)81218a22a，所以 f(2)f(2)因为在1,3上 f(x)0，所以 f(x)在1,2上单调递增，所以 f(1)是 f(x)的最小值，且 f(1)a5，所以 f(2)和 f(1)分别是 f(x)在区
9、间2,2上的最大值和最小值，于是有 22a20，解得 a2.所以 f(1)257，即函数 f(x)在区间2,2上的最小值为7.例 3 已知函数 f(x)(xk)ex.(1)求 f(x)的单调区间；(2)求 f(x)在区间0,1上的最小值解析(1)由 f(x)(xk)ex，得 f(x)(xk1)ex，令 f(x)0，得 xk1.当 x 变化时，f(x)与 f(x)的变化情况如下表：x(，k1)k1(k1，)f(x)0f(x)ek1 所以，f(x)的单调递减区间是(，k1)；单调递增区间是(k1，)(2)当 k10，即 k1 时，函数 f(x)在0,1上单调递增所以 f(x)在区间0,1上的最小值
10、为 f(0)k，当 0k11，即 1k2 时，由(1)知 f(x)在0，k1上单调递减，在(k1,1上单调递增，所以 f(x)在区间0,1上的最小值为 f(k1)ek1.当 k11，即 k2 时，函数 f(x)在0,1上单调递减所以 f(x)在区间0,1上的最小值为 f(1)(1k)e.综上可知，当 k1 时，f(x)mink；当 1k0)，求 f(x)在0，)内的最小值解析：f(x)aex 1aex，令 f(x)0，得 xln a.当 xln a 时，f(x)0；当 xln a 时，f(x)0.当 0a0，所以 f(x)在(0，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增，从而 f(x)
11、在0，)内的最小值为 f(ln a)2b；当 a1 时，ln a0，所以 f(x)在0，)上单调递增，从而 f(x)在0，)内的最小值为 f(0)a1ab.探究三 函数最值的应用教材 P99习题 3.3B 组 1(4)题证明不等式 ln xx0)证明：令 f(x)ln xx(x0)，g(x)xex(x0)，f(x)1x11xx，g(x)1ex，令 f(x)0，g(x)0，得 x1，x0，当 0 x0，x1 时 f(x)0，f(x)在(0,1)上是增函数，在(1，)上是减函数，f(x)f(1)10，ln x0 时 g(x)0，g(x)在(0，)是减函数，g(x)g(0)10，x0 时，ln xx
12、ex.例 4 已知 f(x)xln x，g(x)x2ax3.(1)求函数 f(x)的最小值；(2)对一切 x(0，)，2f(x)g(x)恒成立，求实数 a 的取值范围解析(1)已知函数 f(x)的定义域为(0，)，f(x)ln x1，当 x0，1e 时，f(x)0，f(x)单调递增所以 f(x)minf1e 1e.(2)2xln xx2ax3，则 a2ln xx3x，设 h(x)2ln xx3x(x0)，则 h(x)x3x1x2，x(0,1)，h(x)0，h(x)单调递增；所以 h(x)minh(1)4，对一切 x(0，)，2f(x)g(x)恒成立，所以 ah(x)min4，即 a 的取值范围
13、是(，4方法技巧 1.利用函数的最值证明不等式的基本步骤(1)将不等式转化成 f(x)0(或0)的形式；(2)利用导数求出函数 yf(x)在所给区间上的最小值(或最大值)；(3)证明函数 yf(x)的最小值(或最大值)大于零(或小于零)即可证得原不等式成立2不等式恒成立求参数问题的求解策略对于根据不等式恒成立求参数的问题，可采用分离参数法，即将参数移至不等式的一端，化成 mf(x)或 mf(x)的形式，然后利用导数求出函数 f(x)的最值，则由结论mf(x)max 或 mf(x)min，即可求出参数 m 的取值范围跟踪探究 3.设 f(x)x1x2ln x.求证：当 x1 时，f(x)0 恒成
14、立证明：f(x)x1x2ln x 的定义域为(0，)，f(x)1 1x22xx22x1x2x12x20，f(x)在1，)上单调递增，f(x)f(1)112ln 10 对于 x1，)恒成立4设函数 f(x)xexxa2x1 2.(1)若 a1，求 f(x)的单调区间；(2)当 x0 时，f(x)x2x2 恒成立，求 a 的取值范围解析：(1)a1，f(x)xexx12x1 2xex12x2x2，f(x)(ex1)(x1)，当1x0 时，f(x)0；当 x0 时，f(x)0，f(x)在(1,0)上单调递减，在(，1)，(0，)上单调递增(2)由 f(x)x2x2，得 xexa22 x 0，当 x0
15、 时，显然成立；当 x0 时，即exxa22 恒成立记 g(x)exx，则 g(x)exx1x2，当 0 x1 时，g(x)1 时，g(x)0，g(x)是增函数g(x)的最小值为 g(1)e，a22 e，得 a2e2.即 a 的取值范围是(，2e2课后小结(1)求函数的最值时，应注意以下几点：函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念，而函数的最值是对整个定义域而言，是在整体范围内讨论问题，是一个整体性的概念闭区间a，b上的连续函数一定有最值开区间(a，b)内的可导函数不一定有最值，但若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个，而函数的极值则可能不
16、止一个，也可能没有极值，并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值)(2)求含参数的函数最值，可分类讨论求解(3)“恒成立”问题可转化为函数最值问题素养培优1把极值当做最值致误已知函数 f(x)x3ax2bx5，在 x2 和 x23处取得极值(1)求函数 f(x)的解析式(2)求函数 f(x)在4,1上的最值易错分析 没有比较端点函数值与极值的大小，错误地认为极值就是最值考查逻辑推理及数学运算的学科素养自我纠正(1)因为 f(x)x3ax2bx5，所以 f(x)3x22axb，因为在 x2 和 x23处取得极值，所以f20，f23 0，解得 a2，b4.所以 f(x)x32x24x5.(2)
17、因为 f(x)3x24x4，所以由 f(x)0，解得 x2 或 x23，所以 f(x)在4，2)上单调递增，在2，23 上单调递减，在23，1 上单调递增因为 f(4)11，f(2)13，f23 9527，f(1)4，所以 f(x)maxf(2)13，f(x)minf(4)11.2忽视定义域致误求函数 g(x)ex2axb 在0,1上的最小值易错分析 由 g(x)ex2a0 得 xln(2a)所以 g(x)在(，ln(2a)上是减函数，在(ln(2a)，)上是增函数，从而 g(x)的最小值为 g(ln(2a)2a2aln(2a)b，忽视了定义域0,1致误，考查数学运算及逻辑推理的学科素养自我纠正 g(x)ex2a，x0,1，ex1，e，所以(1)a12时 2a1，g(x)0，g(x)在0,1上是增函数，g(x)ming(0)1b.(2)若12ae2，则 12ae，当 0 xln(2a)时 g(x)0；当 ln(2a)x0，所以 g(x)在0，ln(2a)上是减函数，在ln(2a)，1上是增函数，g(x)mingln(2a)2a2aln(2a)b.(3)若 ae2则 2ae，g(x)0，所以 g(x)在0,1上是减函数，g(x)ming(1)e2ab.04 课时 跟踪训练
