1、2015-2016学年湖北省黄石市有色一中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知向量，若，则实数的值为（）A4B3C2D12设集合S=x|x2，T=x|x2+3x40，则（RS）T=（）A（2，1B（，4C（，1D1，+）3已知命题p：xR，2x3x；命题q：xR，x3=1x2，则下列命题中为真命题的是（）ApqBpqCpqDpq4某中学为了研究学生的视力和座位（有关和无关）的关系，运用22列联表进行独立性研究，经计算K2=7.069，则至少有（）的把握认为“学生的视力与座位有关”附：P（K2k
2、0）0.1000.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828A95%B99%C97.5%D90%5由不等式组确定的平面区域记为1，不等式组确定的平面区域记为2，在1中随机取一点，则该点恰好在2内的概率为（）ABCD6将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003这600名学生分住在三个营区，从001到300在第营区，从301到495住在第营区，从496到600在第营区，三个营区被抽中的人数依次为（）A26，16，8，B25，17，8C25，16，9D24，17，97某
3、班有50名学生，一次考试的成绩（N）服从正态分布N已知P（90100）=0.3，估计该班数学成绩在110分以上的人数为（）A10B20C30D408在ABC，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，casinBcosC+csinBcosA=b，且ab，则B=（）ABCD9某几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该几何体的各侧面中最大的侧面的面积为（）A4B8C2D210执行程序框图，如果输入的t1，3，则输出的s属于（）A3，4B5，2C4，3D2，511抛物线y2=2px（p0）的焦点为F，准线为l，A、B为抛物线上的两个动点，且满足AFB=，设线段AB的中点M在l上的投影为N，则的最大值为（）A
4、1B2C3D412设函数f（x）满足x2f（x）+2xf（x）=，f（2）=，则x0时，f（x）（）A有极大值，无极小值B有极小值，无极大值C既有极大值又有极小值D既无极大值也无极小值二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡中横线上（注意：在试卷上作答无效）13（x）6的二项展开式中的常数项为（用数字作答）14已知函数f（x）=f（）cosx+sinx，则f（）的值为15将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是16已知F1、F2为双曲线的两个焦点，P为双曲线右支上异于顶点的任意一点，O为坐
5、标原点，下列四个命题：PF1F2的内切圆的圆心必在直线x=3上；PF1F2的内切圆的圆心必在直线x=2上；PF1F2的内切圆的圆心必在直线OP上；PF1F2的内切圆必过（3，0）其中真命题的序号是三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知函数（）求f（x）的最小正周期：（）求f（x）在区间上的最大值和最小值18已知各项均为正数的等比数列an的首项a1=2，Sn为其前n项和，若5S1，S3，3S2成等差数列（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=log2an，记数列cn的前n项和Tn若对nN*，Tnk（n+4）恒成立，求实数k的取值范围19如图，在直三棱
6、柱ABCA1B1C1中，底面ABC是直角三角形，AB=AC=1，AA1=2，点P是棱BB1上一点，满足=（01）（1）若，求直线PC与平面A1BC所成角的正弦值；（2）若二面角PA1CB的正弦值为，求的值20某煤矿发生透水事故时，作业区有若干人员被困救援队从入口进入之后有L1，L2两条巷道通往作业区（如图），L1巷道有A1，A2，A3三个易堵塞点，各点被堵塞的概率都是；L2巷道有B1，B2两个易堵塞点，被堵塞的概率分别为，（）求L1巷道中，三个易堵塞点最多有一个被堵塞的概率；（）若L2巷道中堵塞点个数为X，求X的分布列及数学期望EX，并按照“平均堵塞点少的巷道是较好的抢险路线“的标准，请你帮助
7、救援队选择一条抢险路线，并说明理由21已知椭圆（ab0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切（）求椭圆C的方程；（）设P（4，0），A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于定点Q；（）在（）的条件下，过点Q的直线与椭圆C交于M，N两点，求的取值范围22已知函数（）函数f（x）在区间（0，+）上是增函数还是减函数？证明你的结论；（）当x0时，恒成立，求整数k的最大值；（）试证明：（1+12）（1+23）（1+34）（1+n（n+1）e2n32015-2016学年湖北省黄石市有色一中高二（下）期中数学试卷（理科）参考
8、答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知向量，若，则实数的值为（）A4B3C2D1【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系【分析】直接利用向量的垂直的充要条件列出方程求解即可【解答】解：向量，若， =（2+3，3），=（1，1）则：（2+3）（1）+3（1）=0，解得=3故选：B2设集合S=x|x2，T=x|x2+3x40，则（RS）T=（）A（2，1B（，4C（，1D1，+）【考点】交、并、补集的混合运算；全集及其运算【分析】先根据一元二次不等式求出集合T，然后求得RS，再利用并集的定义求出结果【解答】解：集合
9、S=x|x2，RS=x|x2，T=x|x2+3x40=x|4x1，故（RS）T=x|x1故选C3已知命题p：xR，2x3x；命题q：xR，x3=1x2，则下列命题中为真命题的是（）ApqBpqCpqDpq【考点】复合命题的真假【分析】举反例说明命题p为假命题，则p为真命题引入辅助函数f（x）=x3+x21，由函数零点的存在性定理得到该函数有零点，从而得到命题q为真命题，由复合命题的真假得到答案【解答】解：因为x=1时，2131，所以命题p：xR，2x3x为假命题，则p为真命题令f（x）=x3+x21，因为f（0）=10，f（1）=10所以函数f（x）=x3+x21在（0，1）上存在零点，即命题
10、q：xR，x3=1x2为真命题则pq为真命题故选B4某中学为了研究学生的视力和座位（有关和无关）的关系，运用22列联表进行独立性研究，经计算K2=7.069，则至少有（）的把握认为“学生的视力与座位有关”附：P（K2k0）0.1000.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828A95%B99%C97.5%D90%【考点】独立性检验的应用【分析】把观测值同临界值进行比较得到有99%的把握说学生性别与支持该活动有关系【解答】解：K2=7.0696.635，对照表格：P（K2k0）0.1000.0500.0250.0100.001k02.7063.8
11、415.0246.63510.828有99%的把握说学生性别与支持该活动有关系故选B5由不等式组确定的平面区域记为1，不等式组确定的平面区域记为2，在1中随机取一点，则该点恰好在2内的概率为（）ABCD【考点】几何概型；简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，求出对应的面积，利用几何槪型的概率公式即可得到结论【解答】解：平面区域1，为三角形AOB，面积为，平面区域2，为AOB内的四边形BDCO，其中C（0，1），由，解得，即D（，），则三角形ACD的面积S=，则四边形BDCO的面积S=，则在1中随机取一点，则该点恰好在2内的概率为，故选：D6将参加夏令营的600名学生编号为：001，0
12、02，600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003这600名学生分住在三个营区，从001到300在第营区，从301到495住在第营区，从496到600在第营区，三个营区被抽中的人数依次为（）A26，16，8，B25，17，8C25，16，9D24，17，9【考点】等差数列的性质；等差数列的通项公式【分析】根据系统抽样的方法的要求，先随机抽取第一数，再确定间隔【解答】解：依题意可知，在随机抽样中，首次抽到003号，以后每隔12个号抽到一个人，则分别是003、015、027、039构成以3为首项，12为公差的等差数列，故可分别求出在001到300中有25人，在301至
13、495号中共有17人，则496到600中有8人故选B7某班有50名学生，一次考试的成绩（N）服从正态分布N已知P（90100）=0.3，估计该班数学成绩在110分以上的人数为（）A10B20C30D40【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【分析】根据考试的成绩服从正态分布N得到考试的成绩关于=100对称，根据P（90100）=0.3，得到P=0.3，从而得到P=0.2，根据频率乘以样本容量得到这个分数段上的人数【解答】解：考试的成绩服从正态分布N考试的成绩关于=100对称，P（90100）=0.3，P=0.3，P=0.2，该班数学成绩在110分以上的人数为0.250=10故选A8在AB
14、C，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，casinBcosC+csinBcosA=b，且ab，则B=（）ABCD【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数【分析】利用正弦定理化简已知的等式，根据sinB不为0，两边除以sinB，再利用两角和与差的正弦函数公式化简求出sinB的值，即可确定出B的度数【解答】解：利用正弦定理化简已知等式得：sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=sinB，sinB0，sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB=，ab，AB，即B为锐角，则B=故选A9某几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该几何体的各侧面中最大的侧面的面积为（）A4B8C
15、2D2【考点】由三视图求面积、体积【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为菱形，且侧棱垂直于底面的四棱锥，结合图中数据求出面积最大的侧面面积【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是如图所示四棱锥，且四棱锥的底面是菱形，侧棱PC底面ABCD，则该几何体的各侧面中最大的侧面是PAB与PAD，其面积相等；PAB中，PA=2，AB=2，PB=2；PA2=AB2+PB2，PAB为直角三角形；SPAB=PBAB=22=2故选：D10执行程序框图，如果输入的t1，3，则输出的s属于（）A3，4B5，2C4，3D2，5【考点】程序框图；分段函数的解析式求法及其图象的作法【分析】本题考查的知识点是
16、程序框图，分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算一个分段函数的函数值，由条件为t1我们可得，分段函数的分类标准，由分支结构中是否两条分支上对应的语句行，我们易得函数的解析式【解答】解：由判断框中的条件为t1，可得：函数分为两段，即t1与t1，又由满足条件时函数的解析式为：s=3t；不满足条件时，即t1时，函数的解析式为：s=4tt2故分段函数的解析式为：s=，如果输入的t1，3，画出此分段函数在t1，3时的图象，则输出的s属于3，4故选A11抛物线y2=2px（p0）的焦点为F，准线为l，A、B为抛物线上的两个动点，且满足AFB=，设线段AB的中点M在
17、l上的投影为N，则的最大值为（）A1B2C3D4【考点】抛物线的简单性质【分析】设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF由抛物线定义得2|MN|=a+b，由余弦定理可得|AB|2=（a+b）23ab，进而根据基本不等式，求得|AB|的取值范围，从而得到本题答案【解答】解：设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF，由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|，在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b由余弦定理得，|AB|2=a2+b22abcos60=a2+b2ab，配方得，|AB|2=（a+b）23ab，又ab，（a+b）23ab（a+b）2（a+b）2=（a
18、+b）2得到|AB|（a+b）1，即的最大值为1故选：A12设函数f（x）满足x2f（x）+2xf（x）=，f（2）=，则x0时，f（x）（）A有极大值，无极小值B有极小值，无极大值C既有极大值又有极小值D既无极大值也无极小值【考点】函数在某点取得极值的条件；导数的运算【分析】令F（x）=x2f（x），利用导数的运算法则，确定f（x）=，再构造新函数，确定函数的单调性，即可求得结论【解答】解：函数f（x）满足，令F（x）=x2f（x），则F（x）=，F（2）=4f（2）=由，得f（x）=，令（x）=ex2F（x），则（x）=ex2F（x）=（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+）上单调递增，
19、（x）的最小值为（2）=e22F（2）=0（x）0又x0，f（x）0f（x）在（0，+）单调递增f（x）既无极大值也无极小值故选D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡中横线上（注意：在试卷上作答无效）13（x）6的二项展开式中的常数项为20（用数字作答）【考点】二项式系数的性质【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项【解答】解：（x）6的二项展开式的通项公式为Tr+1=（1）rx62r，令62r=0，求得r=3，可得（x）6的二项展开式中的常数项为=20，故答案为：2014已知函数f（x）=f（）cosx+sinx，则f（）的
20、值为1【考点】导数的运算；函数的值【分析】利用求导法则：（sinx）=cosx及（cosx）=sinx，求出f（x），然后把x等于代入到f（x）中，利用特殊角的三角函数值即可求出f（）的值，把f（）的值代入到f（x）后，把x=代入到f（x）中，利用特殊角的三角函数值即可求出f（）的值【解答】解：因为f（x）=f（）sinx+cosx所以f（）=f（）sin+cos解得f（）=1故f（）=f（）cos+sin=（1）+=1故答案为115将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是96【考点】排列、组合及简单计数问题【分
21、析】求出5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号的组数，然后分给4人排列即可【解答】解：5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观券连号，方法数为：1和2，2和3，3和4，4和5，四种连号，其它号码各为一组，分给4人，共有4=96种故答案为：9616已知F1、F2为双曲线的两个焦点，P为双曲线右支上异于顶点的任意一点，O为坐标原点，下列四个命题：PF1F2的内切圆的圆心必在直线x=3上；PF1F2的内切圆的圆心必在直线x=2上；PF1F2的内切圆的圆心必在直线OP上；PF1F2的内切圆必过（3，0）其中真命题的序号是【考点】双曲线的简单性质【分析】设PF1F2的内
22、切圆分别与PF1、PF2切于点A、B，与F1F2切于点M，则可知|PA|=|PB|，|F1A|=|F1M|，|F2B|=|F2M|，点P在双曲线右支上，根据双曲线的定义可得|PF1|PF2|=2a，因此|F1M|F2M|=2a，设M点坐标为（x，0），代入即可求得x，判断正确【解答】解：设PF1F2的内切圆分别与PF1、PF2切于点A、B，与F1F2切于点M，则可知|PA|=|PB|，|F1A|=|F1M|，|F2B|=|F2M|，点P在双曲线右支上，所以|PF1|PF2|=2a=6，故|F1M|F2M|=6，而|F1M|+|F2M|=2，设M点坐标为（x，0），则由|PF1|PF2|=2a=
23、6，可得（x+）（x）=6，解得x=3，显然内切圆的圆心与点M的连线垂直于x轴，故答案为三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知函数（）求f（x）的最小正周期：（）求f（x）在区间上的最大值和最小值【考点】三角函数的周期性及其求法；两角和与差的余弦函数；三角函数的最值【分析】（）利用两角和公式和二倍角公式对函数的解析式进行化简整理后，利用正弦函数的性质求得函数的最小正周期（）利用x的范围确定2x+的范围，进而利用正弦函数的单调性求得函数的最大和最小值【解答】解：（），=4cosx（）1=sin2x+2cos2x1=sin2x+cos2x=2sin（2x
24、+），所以函数的最小正周期为；（）x，2x+，当2x+=，即x=时，f（x）取最大值2，当2x+=时，即x=时，f（x）取得最小值118已知各项均为正数的等比数列an的首项a1=2，Sn为其前n项和，若5S1，S3，3S2成等差数列（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=log2an，记数列cn的前n项和Tn若对nN*，Tnk（n+4）恒成立，求实数k的取值范围【考点】等差数列与等比数列的综合【分析】（1）由 5S1，S3，3S2成等差数列，依题意，可化简求得q=2，首项a1=2，从而可求得数列an的通项公式；（2）依题意，可求得cn=，从而可得Tn=，由k（n+4）可求得k，利用基本不等式
25、即可求得k的取值范围【解答】解：（1）5S1，S3，3S2成等差数列，2S3=5S1+3S2即2（a1+a1q+a1q2）=5a1+3（a1+a1q），化简得 2q2q6=0解得：q=2或q=因为数列an的各项均为正数，所以q=不合题意所以an的通项公式为：an=2n（2）由bn=log2an得bn=ncn=Tn=1+=k（n+4）k=n+52+5=9，当且仅当n=，即n=2时等号成立k的取值范围，+）19如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC是直角三角形，AB=AC=1，AA1=2，点P是棱BB1上一点，满足=（01）（1）若，求直线PC与平面A1BC所成角的正弦值；（2）若二面角
26、PA1CB的正弦值为，求的值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面所成的角【分析】（1）如图所示，建立空间直角坐标系，设平面A1BC的法向量为=（x，y，z），则，可得设直线PC与平面A1BC所成角为，则sin=（2）设二面角PA1CB的平面角为，由图可知为锐角，由于sin=，可得cos=由于=（01），可得P（1，0，2）设平面A1CP的法向量为=（x0，y0，z0），=，即可得出【解答】解：（1）如图所示，建立空间直角坐标系，A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），A1（0，0，2），P=（1，0，2），=（1，1，0），=设平面A1BC的法向量为=（x，y，z），则，即，
27、取=（2，2，1），设直线PC与平面A1BC所成角为，则sin=（2）设二面角PA1CB的平面角为，由图可知为锐角，sin=，cos=（01），P（1，0，2）=（1，1，2），=（1，0，22）设平面A1CP的法向量为=（x0，y0，z0），则，即，取=（22，2，1），=化简解得：2+89=0，01，解得=120某煤矿发生透水事故时，作业区有若干人员被困救援队从入口进入之后有L1，L2两条巷道通往作业区（如图），L1巷道有A1，A2，A3三个易堵塞点，各点被堵塞的概率都是；L2巷道有B1，B2两个易堵塞点，被堵塞的概率分别为，（）求L1巷道中，三个易堵塞点最多有一个被堵塞的概率；（）若L2
28、巷道中堵塞点个数为X，求X的分布列及数学期望EX，并按照“平均堵塞点少的巷道是较好的抢险路线“的标准，请你帮助救援队选择一条抢险路线，并说明理由【考点】离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式【分析】（）利用互独立事件的概率计算公式即可得出；（）比较走两条路的数学期望的大小，即可得出要选择的路线【解答】解：（）设”L1巷道中，三个易堵塞点最多有一个被堵塞”为事件A则（）依题意，X的可能取值为0，1，2所以，随机变量X的分布列为：X012P设L1巷道中堵塞点个数为Y，则Y的可能取值为0，1，2，3，所以，随机变量Y的分布列为：Y0123P因为EXEY，所以选择L2巷道为抢险路线为好21
29、已知椭圆（ab0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切（）求椭圆C的方程；（）设P（4，0），A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于定点Q；（）在（）的条件下，过点Q的直线与椭圆C交于M，N两点，求的取值范围【考点】椭圆的应用；椭圆的标准方程【分析】（）由题意知，能够导出再由可以导出椭圆C的方程为（）由题意知直线PB的斜率存在，设直线PB的方程为y=k（x4）由得（4k2+3）x232k2x+64k212=0，再由根与系数的关系证明直线AE与x轴相交于定点Q（1，0）（）分MN的斜率存在与不存在两种情况讨论，当
30、过点Q直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y=m（x1），且M（xM，yM），N（xN，yN）在椭圆C上由得（4m2+3）x28m2x+4m212=0再由根据判别式和根与系数的关系求解的取值范围；当过点Q直线MN的斜率不存在时，其方程为x=1，易得M、N的坐标，进而可得的取值范围，综合可得答案【解答】解：（）由题意知，所以即又因为，所以a2=4，b2=3故椭圆C的方程为（）由题意知直线PB的斜率存在，设直线PB的方程为y=k（x4）由得（4k2+3）x232k2x+64k212=0设点B（x1，y1），E（x2，y2），则A（x1，y1）直线AE的方程为令y=0，得将y1=k（x14），y
31、2=k（x24）代入，整理，得由得，代入整理，得x=1所以直线AE与x轴相交于定点Q（1，0）（）当过点Q直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y=m（x1），且M（xM，yM），N（xN，yN）在椭圆C上由得（4m2+3）x28m2x+4m212=0易知0所以，则=因为m20，所以所以当过点Q直线MN的斜率不存在时，其方程为x=1解得，N（1，）或M（1，）、N（1，）此时所以的取值范围是22已知函数（）函数f（x）在区间（0，+）上是增函数还是减函数？证明你的结论；（）当x0时，恒成立，求整数k的最大值；（）试证明：（1+12）（1+23）（1+34）（1+n（n+1）e2n3【考点】利
32、用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用；不等式的证明【分析】（）求导函数，确定导数的符号，即可得到结论；（）当x0时，恒成立，即在（0，+）上恒成立，构造函数，求出函数的最小值，即可求整数k的最大值；（）由（）知：，从而令，即可证得结论【解答】（）解：由题，故f（x）在区间（0，+）上是减函数；（）解：当x0时，恒成立，即在（0，+）上恒成立，取，则，再取g（x）=x1ln（x+1），则，故g（x）在（0，+）上单调递增，而g（1）=ln20，g（2）=1ln30，g（3）=22ln20，故g（x）=0在（0，+）上存在唯一实数根a（2，3），a1ln（a+1）=0，故x（0，a）时，g（x）0；x（a，+）时，g（x）0，故，故kmax=3（）证明：由（）知：，令，又ln（1+12）（1+23）（1+34）（1+n（n+1）=ln（1+12）+ln（1+23）+ln（1+n（n+1）=即：（1+12）（1+23）（1+34）1+n（n+1）e2n32016年6月6日