1、第2讲空间向量与立体几何1(仿2011北京,16)长方体ABCDA1B1C1D1中,ABAA12,AD1,E为CC1的中点,则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为_解析建立坐标系如图所示则A(1,0,0),E(0,2,1),B(1,2,0),C1(0,2,2),(1,0,2),(1,2,1)cos,.所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为.答案2(仿2011江苏,22)如图所示,在空间直角坐标系中,有一棱长为a的正方体ABCOABCD,AC的中点E与AB的中点F的距离为_解析由图易知A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),A(a,0,a),F,E.|EF|a.答案a3(仿201
2、2陕西,5)如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,ACB90,AA12,ACBC1,则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是_解析以C为坐标原点,CA、CB、CC1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系,A1(1,0,2),B(0,1,0),A(1,0,0),C(0,0,0),则(1,1,2),(1,0,0),cos,.答案4(仿2013安徽,10)在三棱柱ABCA1B1C1中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,点D是侧面BB1C1C的中心,则AD与平面BB1C1C所成角的大小是_解析取BC中点E,连接AE,则AE平面BCC1B1,故ADE为直线AD与平面BB1C1C所成的角,设各棱长为a,则A
3、Ea,DEa.tanADE.ADE60.答案605(仿2011辽宁,8)如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F且EF,则下列四个结论其中错误的是_ACBE,EF平面ABCD,三棱锥ABEF的体积为定值,异面直线AE,BF所成的角为定值,解析AC平面BB1D1D,又BE平面BB1,D1D.ACBE,故正确B1D1平面ABCD,又E、F在直线D1B1上运动,EF平面ABCD,故正确中由于点B到直线B1D1的距离不变,故BEF的面积为定值,又点A到平面BEF的距离为,故VABEF为定值a.当点E在D1处,点F为D1B1的中点时,建立空间直角坐标系,如图所示
4、,可得A(1,1,0),B(0,1,0),E(1,0,1),F,(0,1,1),.又|,|,cos,.此时异面直线AE与BF成30角b当点E为D1B1的中点,点F在B1处时,此时E,F(0,1,1),(0,0,1),1,|,cos,.答案6(仿2011辽宁,8)如图,在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,M和N分别是A1B1和BB1的中点,那么直线AM与CN所成角的余弦值为_解析以D为坐标原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),M,C(0,1,0),N.则,cos,.答案.7(仿2013山东,4)正四棱锥SABCD中,O为顶点在底面上的射影,P
5、为侧棱SD的中点,且SOOD,则直线BC与平面PAC所成的角是_解析如图所示,以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.设ODSOOAOBOCa(a0),则A(a,0,0),B(0,a,0),C(a,0,0),P.则(2a,0,0),(a,a,0)设平面PAC的法向量为n可求得n(0,1,1),则cos,n.,n60,直线BC与平面PAC所成的角为906030.答案308(仿2012辽宁,18)如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a,M、N分别为A1B和AC上的点,A1MANa,则MN与平面BB1C1C的位置关系是_解析分别以C1B1、C1D1、C1C所在直线为x,y,z轴,建立空间直
6、角坐标系,如图所示A1MANa,M,N,.又C1(0,0,0),D1(0,a,0),(0,a,0),0,.是平面BB1C1C的法向量,且MN平面BB1C1C,MN平面BB1C1C.答案平行9(仿2013广东,18)如图所示的长方体ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD是边长为2的正方形,O为AC与BD的交点,BB1,M是线段B1D1的中点(1)求证:BM平面D1AC;(2)求证:D1O平面AB1C;(3)求二面角BAB1C的大小(1)证明建立如图所示的空间直角坐标系,则点O(1,1,0)、D1(0,0,),(1,1,),又点B(2,2,0),M(1,1,),(1,1,),又OD1与BM不共线
7、,OD1BM.又OD1平面D1AC,BM平面D1AC,BM平面D1AC.(2)证明连接OB1.(1,1,)(1,1,)0,(1,1,)(2,2,0)0,即OD1OB1,OD1AC,又OB1ACO,D1O平面AB1C.(3)解CBAB,CBBB1,CB平面ABB1,(2,0,0)为平面ABB1的一个法向量由(2)知为平面AB1C的一个法向量cos,与的夹角为60,即二面角BAB1C的大小为60. 10.(仿2013北京,17)如图,ABCD是边长为3的正方形,DE平面ABCD,AFDE,DE3AF,BE与平面ABCD所成的角为60.(1)求证:AC平面BDE;(2)求二面角FBED的余弦值;(3
8、)设点M是线段BD上一个动点,试确定点M的位置,使得AM平面BEF,并证明你的结论(1)证明DE平面ABCD,DEAC,四边形ABCD是正方形,ACBD,又DEBDD,AC平面BDE.(2)解DE平面ABCD,EBD就是BE与平面ABCD所成的角,即EBD60.由AD3,得BD3,DE3,AF.如图,分别以DA,DC,DE所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则A(3,0,0),F(3,0,),E(0,0,3),B(3,3,0),C(0,3,0)(0,3,),(3,0,2)设平面BEF的法向量为n(x,y,z),则即令z,则n(4,2,)AC平面BDE,(3,3,0)为平面BDE的一个法向量,cosn,结合图形知二面角FBED的余弦值为.(3)解依题意,设M(t,t,0)(0t3),则(t3,t,0),AM平面BEF,n0,即4(t3)2t0,解得t2.点M的坐标为(2,2,0),此时,点M是线段BD上靠近B点的三等分点