1、模块复习课 考点一：集合及其运算 1.题型为选择题和填空题，考查集合的交集、并集、补集运算，常与不等式等问题相结合，考查数形结合、分类讨论等数学思想.2.首先要明确集合中的元素，理解交、并、补集的含义，正确进行交集、并集、补集的运算，有时借助数轴或Venn图解题更直观、简捷，因此分类讨论及数形结合的思想方法是解决此类问题的常用方法.3.新定义下的试题在近几年高考中时有出现，本考向中采用新定义的形式使集合中元素满足新条件，从而“构造”出新的集合，题型多以选择题形式出现，难度不大.解决此类问题的关键是抓住新定义的本质，紧扣新定义进行推理论证.【典例1】(2016郑州高一检测)全集U=R，若集合 A
2、=x|3x10，B=x|2a，AC，求a的取值范围.UU【解析】(1)AB=x|3x10 x|2x7=x|3x7；AB=x|3x10 x|2x7=x|2x10；(A)(B)=x|x2，或x10.(2)A=x|3xa，要使AC，结合数轴分析可知a3，即a的取值范围是a|a3.UU【延伸探究】若将本题(1)中求“(A)(B)”改 为求“(A)(B)”，则结果又是什么？【解析】(A)(B)=x|x7=x|x7.UUUUUU【规律总结】1.求解集合间的基本关系问题的技巧(1)合理运用Venn图或数轴帮助分析和求解.(2)在解含参数的问题时，一般要对参数进行讨论，分类时要“不重不漏”，然后对每一类情况都
3、要给出问题的解答.2.集合运算中的注意事项(1)注重数形结合(数轴或Venn图)在集合运算中的应用.(2)集合的包含关系(AB)中端点的“=”取舍规律.a+1-1a+10.判断函数的奇偶性.若f(x)在区间1，+)上单调递增，求常数 的取 值范围.x【解析】(1)选C.要使函数f(x)=+lg(2x+1)有意 义，需 (2)显然函数定义域关于原点对称，又f(-x)=所以函数f(x)是奇函数.23x1 2x1 2x0,11x.2x 10.22 即(x)xf x,xx()任取1x1x2，f(x1)-f(x2)因为f(x)在区间1，+)上单调递增.所以f(x1)-f(x2)0对1x1x2恒成立，即0
4、，所以00，所以f(1)=2，由f(a)+f(1)=0 f(a)=-2.当a0时，f(a)=2a=-2，显然a不存在，这与a0条件发生矛盾；当a0时，有f(a)=a+1=-2，所以a=-3.2.设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是()A.|f(x)|-g(x)是奇函数 B.|f(x)|+g(x)是偶函数 C.f(x)-|g(x)|是奇函数 D.f(x)+|g(x)|是偶函数【解析】选D.根据题意有f(-x)=f(x)，g(-x)=-g(x)，所以f(-x)+|g(-x)|=f(x)+|-g(x)|=f(x)+|g(x)|，所以f(x)+|g(x)|是偶函数.
5、同理易知选项A，B中的函数既不是奇函数又不是偶函数，选项C中的函数是偶函数.3.已知函数f(x)=x2-2|x|.(1)判断并证明函数的奇偶性.(2)判断函数f(x)在(-1，0)上的单调性并加以证明.【解析】(1)f(x)是偶函数.证明如下：定义域是R，因为f(-x)=(-x)2-2|-x|=x2-2|x|=f(x)，所以函数f(x)是偶函数.(2)f(x)在(-1，0)上是增函数.当x(-1，0)时，f(x)=x2+2x，设-1x1x20，则x1-x2-2，即x1+x2+20，因为f(x1)-f(x2)=(x12-x22)+2(x1-x2)=(x1-x2)(x1+x2+2)0，所以f(x1
6、)0且a1).(1)求f(x)的定义域.(2)判断函数的奇偶性和单调性.x 1x 1【解析】(1)要使此函数有意义，则有 解得x1或x1时，f(x)=loga 在(-，-1)，(1，+)上递减.当0a1时，f(x)=loga 在(-，-1)，(1，+)上递增.2x 1x 1x 1x 1x 1【规律总结】1.判断函数的奇偶性，首先应求出定义域，看是否关于原点对称.2.求函数的单调区间有两种思路：(1)易得到单调区间的，可用定义法来求证；(2)利用复合函数的单调性求得单调区间.【巩固训练】1.函数f(x)=的图象大致是()2log x2【解析】选C.f(x)=即f(x)=其图象为C.22log x
7、log x2(x1),20 x1,x(x1),1 0 x1,x2.如果 那么()A.yx1 B.xy1 C.1xy D.1yx 1122log xlog y0,【解析】选D.由于对数函数 是(0，+)上的单 调递减函数，则由 可得1yf(-a)，则实数a 的取值范围是()A.(-1，0)(0，1)B.(-，-1)(1，+)C.(-1，0)(1，+)D.(-，-1)(0，1)212log x,x0,logx,x0,【解析】选C.若a0，则由f(a)f(-a)得 log2a a=-log2a，即log2a0，所以a1.若af(-a)得 (-a)log2(-a)，即-log2(-a)log2(-a)
8、，所以log2(-a)0，所以0-a1，即-1a0.综上可知，-1a1.12log12log考点四：函数与方程 函数与方程是历年高考命题的重点，命题主要有两个方面：一是考查函数零点个数和零点所在区间的判断；二是利用函数零点的个数或分布求参数取值范围.考题以选择题和填空题为主，考题渗透对数形结合和分类讨论数学思想的考查，难度不大.【典例4】判断函数f(x)=lnx+x2-3的零点的个数.【解析】方法一：函数对应的方程为lnx+x2-3=0，所以原函数零点的个数即为函数y=lnx与y=3-x2的图象交点个数.在同一坐标系下，作出两 函数的图象(如图).由图象知，函数y=3-x2与y=lnx的图象只
9、有一个交点，从而lnx+x2-3=0有一个根，即函数f(x)=lnx+x2-3有一个零点.方法二：由于f(1)=ln1+12-3=-20，所以f(1)f(2)0，又f(x)=lnx+x2-3的图象在(1，2)上是不间断的，所以f(x)在(1，2)上必有零点，又f(x)在(0，+)上是递增的，所以零点只有一个.【规律总结】判断函数零点个数的方法主要有：(1)对于一般函数的零点个数的判断问题，可以先确定零点存在，然后借助于函数的单调性判断零点的个数.(2)由f(x)=g(x)-h(x)=0，得g(x)=h(x)，在同一坐标系下作出y1=g(x)和y2=h(x)的图象，利用图象判定函数零点的个数.(
10、3)解方程，解得方程根的个数即为函数零点的个数.【巩固训练】1.函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数 为()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选B.令f(x)=2x|log0.5x|-1=0，可得|log0.5x|=.设g(x)=|log0.5x|，h(x)=，在同一坐标系下分别画出函数g(x)，h(x)的图象，可 以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数f(x)有 2个零点.x12()x12()2.在下列区间中，函数f(x)=ex+4x-3的零点所在的区间为()11A.,0B.0,441 11 3C.,D.,4 22 4()()()()【解析】选C.因为 所以零点在 上.
11、41fe20,4()111fe 10,ff0,242()所以()()1 14 2(，)3.已知二次函数f(x)=x2-2ax+4，求在下列条件下，实数a的取值范围.(1)零点均大于1.(2)一个零点大于1，一个零点小于1.(3)一个零点在(0，1)内，另一个零点在(6，8)内.【解析】(1)因为方程x2-2ax+4=0的两根均大于1，结合二次函数的单调性与零点存在定理，得 2(2a)160,5f 15 2a02a.2a2.，解得(2)因为方程x2-2ax+4=0的一个根大于1，一个根小于 1，结合二次函数的单调性与零点存在定理，得f(1)=5-2a .52(3)因为方程x2-2ax+4=0的一
12、个根在(0，1)内，另一个根在(6，8)内，结合二次函数的单调性与零点存在定理，得 f 040,f 15 2a0,1017a.34f 640 12a0,f 868 16a0,解得考点五：函数模型及其应用 1.函数模型的应用实例主要包括三个方面：(1)利用给定的函数模型解决实际问题.(2)建立确定性的函数模型解决实际问题.(3)建立拟合函数模型解决实际问题.2.在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求.3.在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母，列表，画图等使实际问题数
13、学符号化.【典例5】通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间.讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，分析结果和实验表明，用f(x)表示学生掌握和接受概念的能力(f(x)值越大，表示接受的能力越强)，x表示提出和讲授概念的时间(单位：min)，可有以下的公式：f(x)=(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？(2)开讲后5min与开讲后20min比较，学生的接受能力何时强一些？20.1x2.6x43,0 x10,59,10 x16,3x 107,16x30.(3)
14、一个数学难题，需要55的接受能力以及13min时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？【解析】(1)当0 x10时，f(x)=-0.1x2+2.6x+43=-0.1(x-13)2+59.9.故f(x)在(0，10上单调递增，最大值为f(10)=-0.1(-3)2+59.9=59；当16x30时，f(x)单调递减，f(x)-316+107=59.因此，开讲后10min，学生达到最强的接受能力(值为59)，并维持6min.(2)f(5)=-0.1(5-13)2+59.9=59.9-6.4=53.5，f(20)=-320+107=4753.5=f(5).因此，开讲后5mi
15、n学生的接受能力比开讲后20min强一些.(3)当0 x10时，令f(x)=55，则-0.1(x-13)2=-4.9，(x-13)2=49.所以x=20或x=6.但0 x10，故x=6.当16x30时，令f(x)=55，则-3x+107=55.所以x=17 .因此，学生达到(或超过)55的接受能力的时间为17 -6=11 13(min)，所以老师来不及在学生一直达到 所需接受能力的状态下讲授完这个难题.131313【规律总结】解决已给出函数模型的实际应用题，关键是考虑该题考查的是哪种函数，并要注意定义域，然后结合所给模型，列出函数关系式，最后结合其实际意义作出解答.解决此类型函数应用题的基本步
16、骤是：第一步：阅读理解，审清题意.读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景.在此基础上，分析出已知是什么，所求是什么，并从中提炼出相应的数学问题.第二步：根据所给模型，列出函数关系式.根据问题的已知条件和数量关系，建立函数关系式，在此基础上将实际问题转化为一个函数问题.第三步：利用数学的方法将得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答，求得结果.第四步：再将所得结论转译成具体问题的结果.【巩固训练】1.已知甲、乙两地相距150km，某人开汽车以60km/h的速度从甲地到达乙地，在乙地停留一小时后再以50km/h的速度返回甲地，把汽车与甲地的距离s表示为时间t的函数，则此函
17、数表达式为 .【解析】当0t2.5时，s=60t，当2.5t3.5时s=150，当3.5t6.5时s=150-50(t-3.5)=325-50t，综上所述，s=答案：s=60t,0t2.5,150,2.5t3.5,325 50t,3.5t6.5.60t,0t2.5,150,2.5t3.5,325 50t,3.5t6.5.2.某商店经销一种洗衣粉，年销售总量为6000包，每包进价为2.8元，销售价为3.4元，全年分若干次进货，每次进货均为x包，已知每次进货运输费为62.5元，全年保管费为1.5x元，求使利润最大的x的值，并求出最大利润？【解析】设获得利润为y元，则 y=(3.4-2.8)6000-62.5-1.5x=-1.5 +3600，(xN*，0 x6000).6 000 x400 625xx()由于函数g=x+在(0，500上递减，在 500，+)上递增，所以x=500时，gmin=1000.所以ymax=-1.51000+3600=2100(元).答：每次进货均为500包全年利润最大，最大利润 为2100元.400 625x