1、安徽省泗县第一中学2020-2021学年高二数学上学期第二次月考试题 理一、单项选择题（共计60分，共12题每题5分）：1下列说法中，正确的是( )A经过不同的三点有且只有一个平面B分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线C垂直于同一个平面的两条直线是平行直线D垂直于同一个平面的两个平面平行2已知水平放置的ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中BOCO1，AO，那么原ABC的面积是( )A. B2 C. D.3.已知直线、和平面，下列说法中不正确的有 个(1)若，则(2)若，则(3)若，则(4)直线平行于平面内的无数条直线，则A 1 B 2 C 3 D 44过球的一条半径的中点，作
2、垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为( )A. B. C. D.5如图，ABCDA1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是( )ABD平面CB1D1 BAC1BDCAC1平面CB1D1 D异面直线AD与CB1所成的角为606.在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面，如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E、F分别是棱B1B、B1C中点，点G是棱CC1的中点，则过线段AG且平行于平面A1EF的截面图形为（ ）A矩形B三角形C等腰梯形D正方形7在四面体ABCD中，下列条件不能得出ABCD的是( )AABBC且ABBDBADBC且ACBDCACAD且BCB
3、DDACBC且ADBD8经过平面外两点作与此平面垂直的平面，则这样的平面( )A只能作一个 B只能作两个C可以作无数个 D可作一个或无数个9将一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则所有小正方体的表面积为( )A6a2 B12a2 C18a2 D24a210某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. B C. D211如图，四棱锥中，底面是矩形，是等腰三角形，点是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）ABCD12、张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知三棱锥的每个顶点都在球的球面上，底面，且，利用张衡的结论可得球的
4、表面积为（ ）A30BC33D二填空题（共计20分，共4题每题5分）13.如图是正方体平面展开图,在这个正方体中：与平行；与是异面直线；与成角；与垂直以上四种说法中,正确说法的序号是_ 14将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角ABDC，则异面直线AB与CD所成的角等于_15.将表面积为的圆锥沿母线将其侧面展开,得到一个圆心角为的扇形,则该圆锥的轴截面的面积_,16直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,则此球的表面积等于_三解答题（共计70分，17,18每题10分，19,20每题12分，21,22每题13分）17（10分）将棱长为的正方体截去三棱锥后得到如图所示几何体，为的中点求证：平面；18
5、（10分）.已知四边形ABCD是矩形，PA平面ABCD，PAADa，M，N分别是AB，PC的中点，求证：平面MND平面PCD.19（12分）如图，四边形ABCD为梯形，求图中阴影部分绕AB旋转一周形成的几何体的表面积和体积. 20（12分）、如图所示，平面平面，点A，点C，点B，点D，点E，F分别在线段AB，CD上，且AEEBCFFD.(1)求证：EF平面；(2)若E，F分别是AB，CD的中点，AC4，BD6，且AC，BD所成的角为60，求EF的长21（13分）如图，在直三棱柱中，为上的一点，（1）若，求证：平面（2）平面将棱柱分割为两个几何体，记上面一个几何体的体积为，下面一个几何体的体积为
6、，求的值22（13分）如图，扇形的圆心角为，半径为2，四边形为正方形，平面平面；过直线作平面交于点，交于点（1）求证：；（2）求三棱锥体积的最大值参考答案1.C A中，可能有无数个平面；B中，两条直线还可能平行、相交；D中，两个平面可能相交2.A由题图可知，原ABC的高为AO，SABCBCOA2，故选A.3.D由直线、和平面，得：在中，若，则与相交、平行或异面，故错误；在中，若，则或，故错误；在中，若，则与平行或异面，故错误；在中，直线平行于平面内的无数条直线，则或，故错误4.A 如图所示，设球的半径为R，由题意知OO，OFR，rR.S截面r22R2.又S球4R2，.5.D 由于BDB1D1，
7、易知BD平面CB1D1；连接AC(图略)，易证BD平面ACC1，所以AC1BD；同理可证AC1B1C，因为BDB1D1，所以AC1B1D1，所以AC1平面CB1D1；对于选项D，BCAD，B1CB即为AD与CB1所成的角，此角为45，故D错6.C 取的中点，如图连接、，由题意得：，不在平面内，平面内，平面.不在平面内，平面内，平面.，平面，平面平面，过线段且平行于平面的截面图形为等腰梯形故选C答案：C7.DA项，ABBD，ABBC，BDBCB，AB平面BCD，CD平面BCD，ABCD.8.B项，设A在平面BCD内的射影为O，则AO平面BCD，ADBC，ACBD，O为BCD的垂心，连接BO，则B
8、OCD.又AOCD，AOBOO，CD平面ABO，AB平面ABO，ABCD.C项，取CD中点G，连接BG，AG.ACAD且BCBD，CDBG，CDAG，BGAGG，CD平面ABG，AB平面ABG，ABCD，故选D.当两点所在直线垂直于平面时，可作无数个；否则，有且仅有1个答案：D9.C 解析：每个小正方体的棱长为，表面积为62a2a2，27个小正方体的表面积为27a218a2.10.A 由三视图可知该几何体的直观图为一个圆柱内挖去两个与圆柱同底的半球，所以该几何体的体积VV柱2V半球122213，选A.11.B12.B 因为，所以，又底面，所以球的球心为侧棱的中点，从而球的直径为.利用张衡的结论
9、可得，则，所以球的表面积为.故选：B13.答案： 由正方体的平面展开图可得原正方体如图：由图可知，与异面，故错误；与平行，故错误；为与所成角,为，故错误；，且，与垂直，故正确。故答案为：.14.60如图所示，分别取BC，AC的中点G、F，连接EG，GF，EF，则EGCD，GFAB，EGF就是AB与CD所成的角由题意EGGFEF，EFG是等边三角形，EGF60.15.答案：；解析：设圆锥的母线长为,底面半径为,则有得,所以圆锥的高,所以该圆锥的轴截面面积16.设三角形BAC外接圆半径为r，则 球的半径等于 表面积等于17. 取中点为，连接、在正方形中，为的中点，为的中点在正方体中，且，四边形为平
10、行四边形，且，、分别为、的中点，且，所以，四边形为平行四边形，且，且，且，所以，四边形为平行四边形，且，为的中点，且，则四边形为平行四边形，又平面，平面，因此，平面；18. 证明：取PD的中点E，连接AE，NE，如图M，N分别是AB，PC的中点，ENCDABAM，且ENCDAB.四边形AMNE是平行四边形MNAE.在等腰直角三角形PAD中，AE是斜边上的中线，AEPD.又CDAD，CDPA，CD平面PAD.CDAE.又CDPDD，AE平面PCD.又MNAE，MN平面PCD.又MN平面MND，平面MND平面PCD.19. 解：圆中阴影部分是一个圆台，从上面挖出一个半球S半球=422=8 S圆台侧
11、=(2+5)5=35 S圆台底=25故所求几何体的表面积S表8+35+2568 V圆台= V半球=. 故所求几何体的体积VV圆台V半球=.20. (1)证明：当AB，CD在同一平面内时，由平面平面，平面平面ABDCAC，平面平面ABDCBD知，ACBD.AEEBCFFD，EFBD.又EF，BD，EF平面.当AB与CD异面时，如图所示，设平面ACD平面HD，且HDAC，平面平面，平面平面ACDHAC，ACHD，四边形ACDH是平行四边形在AH上取一点G，使AGGHCFFD，连接EG，FG，BH.AEEBCFFDAGGH，GFHD，EGBH.又EGGFG，BHHDH，平面EFG平面.又EF平面EF
12、G，EF平面.综合可知，EF平面.(2)如图所示，连接AD，取AD的中点M，连接ME，MF.E，F分别是AB，CD的中点，MEBD，MFAC，且MEBD3，MFAC2.EMF为AC与BD所成的角或其补角，EMF60或120.在EFM中，由余弦定理得EF ，即EF或EF.21. （1）证明见解析；（2）.（1）如图，取中点，连接，在直三棱柱中，且，四边形是平行四边形由题意为正三角形，侧棱，两两平行且都垂直于平面，平面，平面，又平面（2）正三棱柱的底面积，则体积下面一个几何体为四棱锥，底面积，因为平面平面，过点作边上的高线，如图，在平面与平面垂直的性质可得垂直于平面，故四棱锥的高等于则，从而22.（1）证明见解析；（2）.（1）因为，所以又平面，平面，所以（2）因为平面所以平面，平面平面，所以平面，即线段的长就是三棱锥的高：因为，所以设，则，所以三棱锥的体积为法一：所以，当时，法二：所以，当且仅当时，