1、3.3 导数在研究函数中的应用3.3.1 函数的单调性与导数内 容 标 准学 科 素 养1.了解导数与函数单调性的关系2.掌握利用导数判断函数单调性的方法3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间.利用数学抽象提升逻辑推理及数学运算01 课前 自主预习02 课堂 合作探究03 课后 讨论探究04 课时 跟踪训练基础认识知识点一 函数的单调性与其导数正负的关系预习教材P8992，思考并完成以下问题函数的单调性是怎么定义的？判断单调性的方法有哪些？提示：如果函数 f(x)在定义域内的某区间 D 上是增函数或减函数，那么就说该函数在区间 D 上具有单调性判断单调性的方法有定义法和图象法观察下面一
2、些函数的图象，探讨函数的单调性与其导函数正负的关系提示：对于(1)yx 在 R 上是增函数，而 y10；对于(2)yx2 在(，0)上是减函数，在(0，)上是增函数，而 y2x，当 x0时，y0 时 y0；对于(3)yx3 在 R 上是增函数，而 y3x20(x0)；对于(4)y1x在(，0)和(0，)上是减函数，而 y 1x20单调递f(x)0，则 f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的 x(a，b)都有 f(x)0 且在(a，b)内的任一非空子区间上 f(x)不恒为 0.知识点二 函数的变化快慢与导数的关系预习教材P93，思考并完成以下问题通过
3、函数图象，不仅可以看出函数的增或减，还可以看出其变化的快慢结合图象，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？观察下图，函数 f(x)在(0，a)和(a，)上都是单调递增的，但在(0，a)内的图象“陡峭”，在(a，)内的图象“平缓”，试比较 f(x)在(0，a)和(a，)内导数的大小有什么关系？提示：根据导数的几何意义，知 f(x)在(0，a)内的导数绝对值大于 f(x)在(a，)内的导数的绝对值 知识梳理 函数的变化快慢与导数的关系一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得，这时，函数的图象就比较“”(向上或向下)；反之，函数的图象就“”一些快陡峭平缓自我检测1
4、.函数 yf(x)的导函数 f(x)的图象如图所示，则下列判断中正确的是()Af(x)在(3,1)上单调递增Bf(x)在(1,3)上单调递减Cf(x)在(2,4)上单调递减Df(x)在(3，)上单调递增答案：C2函数 f(x)sin xx 在 R 上是_(填“增函数”或“减函数”)答案：减函数探究一 函数与导函数图象间的关系阅读教材 P91例 1已知导函数 f(x)的下列信息：当 1x0；当 x4，或 x1 时，f(x)0 得出 f(x)在该区间上是增函数由 f(x)0 得出 f(x)在该区间上是减函数，f(x)0 时为临界点由函数在某区间上的增减性作出 f(x)的图象例 1(1)设函数 f(
5、x)在定义域内可导，yf(x)的图象如图所示，则导函数 yf(x)的图象可能为()(2)已知 f(x)是 f(x)的导函数，f(x)的图象如图所示，则 f(x)的图象只可能是()解析(1)由函数的图象可知：当 x0 时，函数先增后减再增，即导数先正后负再正，对照选项，应选 D.(2)从 f(x)的图象可以看出，在区间a，ab2内，导数单调递增；在区间ab2，b 内，导数单调递减即函数 f(x)的图象在a，ab2内越来越陡，在ab2，b 内越来越平缓，由此可知，只有选项 D 符合答案(1)D(2)D方法技巧 研究函数与导函数图象之间关系的方法研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住
6、各自的关键要素，对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致跟踪探究 1.函数 yf(x)的图象如图所示，则导函数的图象大致是()解析：因为函数 f(x)在(0，)和(，0)上都是单调递减的，即 f(x)0；当 x(，2)(1,1)(3,4)时，f(x)0 得出 f(x)的增区间，解不等式 f(x)1，即 f(x)ex10.故函数 f(x)在(0，)内为增函数，当 x(，0)时，ex1，即 f(x)ex10，解得 x1 或 x13.因此 f(x)的单调递增区间是
7、，13，(1，)令 f(x)0，解得13x0，即 23x21x0，解得 33 x 33，又 x0，x 33；令 f(x)0，即 23x21x0，解得 x 33 或 0 x0，0 x0(或 f(x)0 得 x3f(x)的单调增区间是(，1)，(3，)答案：(，1)，(3，)4证明：函数 f(x)sin xx 在区间2，上单调递减证明：f(x)xcos xsin xx2，又 x2，则 cos x0，xcos xsin x0，f(x)0 时，令 3x2a0，得 x 3a3.当 x 3a3 或 x0；当 3a3 x 3a3 时，f(x)0 时，f(x)在，3a3，3a3，上为增函数，在 3a3，3a3
8、上为减函数方法技巧 讨论含有参数的函数的单调性，通常归结为求含参数不等式的解集问题，而对含有参数的不等式要针对具体情况进行讨论，但要始终注意定义域对单调性的影响以及分类讨论的标准延伸探究(1)本例中 f(x)不变，若 f(x)为单调递增函数，求实数 a 的取值范围解析：(1)由已知得 f(x)3x2a，因为 f(x)在(，)上是单调增函数，所以 f(x)3x2a0 在(，)上恒成立，即 a3x2 对 xR 恒成立因为 3x20，所以只需 a0.又因为 a0 时，f(x)3x20，f(x)x31 在 R 上是增函数，所以 a0.即实数 a 的取值范围为(，0(2)本例中 f(x)不变，若 f(x
9、)在区间(1，)内为增函数，求 a 的取值范围解析：(2)因为 f(x)3x2a，且 f(x)在区间(1，)上为增函数，所以 f(x)0 在(1，)恒成立，即 3x2a0 在(1，)恒成立，所以 a3x2在(1，)恒成立，即 a 的取值范围为(，3(3)本例中 f(x)不变，若 f(x)在区间(1,1)上为减函数，试求 a 的取值范围解析：由 f(x)3x2a0 在(1,1)上恒成立，得 a3x2 在 x(1,1)恒成立因为1x1，所以 3x23，所以 a3.即 a 的取值范围是3，)(4)本例中 f(x)不变，若 f(x)的单调递减区间为(1,1)，求 a 的取值范围解析：由例题可知，f(x
10、)的单调递减区间为 3a3，3a3，3a3 1，即 a3.(5)本例中 f(x)不变，若 f(x)在区间(1,1)上不单调，求 a 的取值范围解析：f(x)x3ax1，f(x)3x2a，由 f(x)0，得 x 3a3(a0)，f(x)在区间(1,1)上不单调，0 3a3 1，即 0a0(或 f(x)0 时，函数的单调递增区间为1k，单调递减区间为0，1k.答案：(1)1，)(2)见解析课后小结(1)导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度(2)利用导数求函数 f(x)的单调区间的一般步骤：确定函数 f(x)的定义域；求导数 f(x)；在函数 f(x)的定义域内解不等式 f(x)0 和 f(x)0 和 f(x)0，f(x)x1x，由 f(x)0 得 x1，由 f(x)0 得 0 x0 在 R 上恒成立，或 f(x)0，所以只能有 f(x)0 恒成立因此 412m0，故 m13.当 m13时，使 f(x)0 的点只有一个 x13，也符合题意故实数 m 的取值范围是13，.04 课时 跟踪训练