1、第三章 三角函数、解三角形 第一节 任意角和弧度制及任意角的 三角函数【知识梳理】1.任意角的概念(1)我们把角的概念推广到任意角,任意角包括正角、负角、零角.正角:按_方向旋转形成的角;负角:按_方向旋转形成的角;逆时针 顺时针 零角:如果一条射线_,我们称它形成了一个零角.(2)终边相同角:与 终边相同的角可表示为:_.没有作任何旋转|=+2k,kZ 2.弧度与角度的互化(1)1弧度的角:长度等于_的弧所对的圆心角.(2)角 的弧度数公式:|=_.(3)角度与弧度的换算:360=_rad,1=_rad,1rad=(_)5718.半径长 rl2 180180(4)扇形的弧长及面积公式:弧长公
2、式:l=_.面积公式:S=_=.r 1r2 l21r2 3.任意角的三角函数(1)定义:设 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x,y),则sin=_,cos=_,tan=_.y x y(x0)x(2)几何表示:三角函数线可以看作是三角函数的几何 表示.正弦线的起点都在x轴上,余弦线的起点都是原点,正切线的起点都是(1,0).如图中有向线段MP,OM,AT分 别叫做角 的_线、_线和_线.正弦 余弦 正切 4.终边相同的角的三角函数 sin(+k2)=_,cos(+k2)=_,tan(+k2)=_(其中kZ),即终边相同的角的同一三角函数的值相等.sin cos tan 【特别提醒】1.
3、终边相同的角与对称性拓展(1),终边相同=+2k,kZ.(2),终边关于x轴对称=-+2k,kZ.(3),终边关于y轴对称=-+2k,kZ.(4),终边关于原点对称=+2k,kZ.2.各象限角三角函数值符号的记忆口诀:一全正,二正 弦,三正切,四余弦.3.任意角三角函数的定义 设P(x,y)是角 终边上异于顶点的任一点,其到原点O 的距离为r,则sin=,cos=,tan=(x0).yrxryx【小题快练】链接教材 练一练 1.(必修4P10习题1.1A组T10改编)单位圆中,200的圆 心角所对的弧长为()A.10 B.9 910C.D.109【解析】选D.单位圆的半径r=1,200的弧度数
4、是 由弧度数的定义得 10200,18091010,.9r9 所以ll2.(必修4P15练习T6改编)若角 满足tan 0,sin 0知,是一、三象限角,由sin 0,则()A.sin 0 B.cos 0 C.sin2 0 D.cos2 0【解析】选C.由tan 0可得:k k+(kZ),故2k 2 0.25.(2016滨州模拟)在平面直角坐标系中,点M(3,m)在 角 的终边上,若sin=则m=()A.-6或1 B.-1或6 C.6 D.1【解析】选C.由题意知 5m2=4m2+36,且m0,所以m=6.2 55，2m2,59m考向一 象限角及终边相同的角【典例1】(1)已知角 的终边在第二
5、象限,则 的终边在第 象限()A.一或二 B.二或三 C.一或三 D.二或四 2(2)(2016济宁模拟)与-2 015终边相同的最小正角是 .【解题导引】(1)根据象限角及不等式的性质求解.(2)将-2 015写成k360+(kZ,0360)的形式,进而确定最小正角.【规范解答】(1)选C.由角的终边在第二象限,所以 +k2+k2,kZ,所以 当k=2m,mZ时,所以 在第一象限;2kk22,kZ42222 ，m 2m 2,mZ422 ，2当k=2m+1,mZ时,所以 在第三象限.综上,的终边在第一或三象限.53m 2m 2,mZ422 ，22(2)因为-2 015=-6360+145,所以
6、145与-2 015终边相同,又终边相同的两个角相差360的整数倍,所以在0360中只有145与-2 015终边相同,所以与-2 015终边相同的最小正角是145.答案:145【母题变式】1.本例题(1)中,若把第二象限改为第三象限,则结果如何?【解析】由角终边在第三象限,可知+2k +2k,kZ,所以 323kk,kZ.224 当k=2m,mZ时,此时 在第二象限;当k=2m+1,mZ时,此时,在第四象限.综上可知,在第二或第四象限.32m2m,mZ,224 222372m2m,mZ,224 2.在本例题(1)中,条件不变,求 的终边所在的位置.【解析】由于角的终边在第二象限,所以 +k2+
7、k2,kZ,所以 当k=3m,mZ时,所以 在第一象限;32kk22,kZ63333，m 2m 2,mZ633，3当k=3m+1,mZ时,所以 在第二象限;当k=3m+2,mZ时,所以 在第四象限.综上,在第一、二或四象限.5m 2m 2,mZ,63 3335m 2m 2,mZ233，3【规律方法】1.终边相同角的表达式的应用 利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角,方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合,然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角.2.确定 (kN*)的终边位置的方法(1)讨论法 用终边相同角的形式表示出角 的范围.写出 的范围.根据k的可能取值讨论确定 的终边所在
8、位置.kkk(2)等分象限角的方法 已知角 是第m(m=1,2,3,4)象限角,求 是第几象限角.等分:将每个象限分成k等份.标注:从x轴正半轴开始,按照逆时针方向顺次循环标 上1,2,3,4,直至回到x轴正半轴.k选答:出现数字m的区域,即为 所在的象限.易错提醒:判断终边所在象限要注意分类讨论.k【变式训练】若角 的终边与 的终边相同,求在区间0，2)内终边与 的终边相同的角.673【解析】因为角的终边与 的终边相同,所以 所以 设 所以 所以所求的角为 676k 2,kZ,7 2k 2,kZ373 ，0 2)3，2222212377373 ，22034.72121，【加固训练】1.(20
9、16枣庄模拟)若角 与 的终边相同,则角-的终边()A.在x轴的正半轴上 B.在x轴的负半轴上 C.在y轴的负半轴上 D.在y轴的正半轴上【解析】选A.由于角与的终边相同,所以=k360+(kZ),从而-=k360(kZ),此时角-的终边在x轴正半轴上.2.给出下列命题:是第二象限角;是第三象限角;-400是第四象限角;-315是第一象限角.其中正确的命题有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3443【解析】选C.-是第三象限角,故错误.从而 是第三象限角,故正确.-400=-360-40,从而正确.-315=-360+45,从而正确.34433，433.设 是第三象限角,且 则 是(
10、)A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角|cos|cos22，2【解析】选B.由于是第三象限角,所以 又 所以cos 0,从而 综上可知 (kZ),即 是第二象限角.332k2k(kZ)kk(kZ)2224 ，；|cos|cos22，232k2k(kZ)222 ，32k2k224 2考向二 扇形弧长、面积公式的应用【典例2】(1)在半径为8cm的圆中,的圆心角所对的 弧长是()5340020A.cm B.cm3320040C.cm D.cm33(2)已知一扇形的周长为20cm,当这个扇形的面积最大时,半径R的值为()A.4cm B.5cm C.6cm D.7cm【解题导
11、引】(1)直接利用弧长公式即可计算求解.(2)首先根据扇形的弧长与半径的关系,建立等式,然后根据面积公式转化成关于R的二次函数,通过解二次函数最值求结果.【规范解答】(1)选D.扇形的弧长为l,圆心角大小为=,半径为r=8cm,则 53540r8cm.33 l(2)选B.因为l=20-2R,所以S=lR=(20-2R)R=-R2+10R=-(R-5)2+25,所以当半径R=5cm时,扇形的面积最大,为25cm2.1212【规律方法】弧度制下有关弧长面积问题的解题策略(1)熟练掌握两个公式:l=r,S=lr.(2)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧 长三个量中的任意两个.易错提醒:要把
12、角的单位统一为弧度,否则就会出错.12【变式训练】(2016太原模拟)已知2弧度的圆心角所对的弦长为2,那么这个圆心角所对的弧长是()A.2 B.sin2 C.D.2 sin1 2sin 1【解析】选C.如图:AOB=2弧度,过O点作OCAB于C,并延长OC交弧AB于D.则AOD=BOD=1弧度,且AC=AB=1,在RtAOC中,即r=,从而弧AB的长为l=r=12AC1AOsin AOCsin 1，1sin 12.sin 1【加固训练】1.已知扇形的周长是6,面积是2,则扇形的圆心角的弧度数是()A.1 B.4 C.1或4 D.2或4 【解析】选C.设此扇形的半径为r,弧长为l,2r6r1r
13、2142.r224241.r1r2 ，则解得或，从而或llllll2.已知半径为10的圆O中,弦AB的长为10,(1)求弦AB所对的圆心角 的大小.(2)求 所在的扇形弧长l及弧所在的弓形的面积S.【解析】(1)在AOB中,AB=OA=OB=10,所以AOB为等边三角形.因此弦AB所对的圆心角=.3(2)由扇形的弧长与扇形面积公式,得 所以弓形的面积S=S扇形-SAOB=AOB10150r10,Sr.33231SOA OB sin25 3.23 扇形又ll350.32()考向三 三角函数的定义【考情快递】命题方向命题视角三角函数定义的应用主要考查根据三角函数定义求角的三角函数值,判断三角函数的
14、符号或已知三角函数值求参数,属容易题三角函数线的应用主要考查根据三角函数线求解含有三角函数的定义域、解不等式、比较大小等问题 【考题例析】命题方向1:三角函数定义的应用【典例3】(2016青岛模拟)在平面直角坐标系中,角 的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边过点 =()P(31),sin 22，则()3311A.B.C.D.2222【解题导引】利用三角函数的定义确定,再代入计算即可.【规范解答】选D.因为角的终边过点 所以=+2k(kZ),所以 P(31)，76sin 2sin 4k2 ()(71.322)命题方向2:三角函数线的应用【典例4】(2016烟台模拟)函数y=lg(2s
15、inx-1)+的定义域为 .【解题导引】依据题意列出不等式组,通过画图作出三角函数线,找到边界角,从而求出各不等式的取值范围,最后求交集即可.12cos x【规范解答】要使原函数有意义,必须有:如图,在单位圆 中作出相应三角函数线,由图可知,原函数的定义域为 答案:1sin x,2sin x10,21 2cos x0,1cos x,2即52k,2k)(kZ).3652k,2k)(kZ)36【易错警示】解答本题易出现以下错误(1)不能准确作出三角函数线.(2)求定义域时不能正确列出不等式组.【技法感悟】1.三角函数定义的应用问题的解题思路(1)直接利用三角函数的定义,找到给定角的终边上一个点的坐
16、标,及这点到原点的距离,确定这个角的三角函数值.(2)已知角的某一个三角函数值,可以通过三角函数的定义列得参数的方程,求参数的值.2.三角函数线的应用问题的求解思路 确定单位圆与角的终边的交点,作出所需要的三角函数线,然后求解.【题组通关】1.(2016济宁模拟)已知角 的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边在直线y=2x上,则cos2=()4334A.B.C.D.5555【解析】选B.由题意,可在直线y=2x上取点(1,2)或(-1,-2),r=,所以由定义得cos=,cos2=2cos2-1=-.515352.(2016泰安模拟)如果角 的终边经过点P(sin780,cos(-33
17、0),则sin=()312A.B.C.D 1222【解析】选C.sin 780sin(236060)sin 60 cos(330)cos(36030)cos 30 又|OP|所以sin 32，32，62，322.2623.(2016菏泽模拟)在平面直角坐标系中,以x轴的非 负半轴为角的始边,角,的终边分别与单位圆交于 点 则sin cos 等于()12 53 4(,)(,)13 135 5和，363A.B.6513448C.D.1365【解析】选B.因为角,的终边分别与单位圆交于点 所以 所以sincos=12 53 4(,)(,)13 135 5和，53sin,cos,135 3.13【加固训练】(2016聊城模拟)点P从(2,0)出发,沿圆x2+y2=4逆时 针方向运动 弧度达到Q点,则Q的坐标为()143A.1,3 B.3,1C.1,3 D.1,3【解析】选A.因为 所以Q的横坐标为 2cos =-1,纵坐标为 142433，2322sin3.3