1、福建省2020届高三数学毕业班质量检查测试试题（B卷）理（含解析）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先利用一元二次不等式的解法化简集合A，再利用交集的定义求
2、解.【详解】因为集合或，又，所以.故选：C【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及一元二次不等式不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2.已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】复数满足复数在复平面内对应的点位于第四象限故选D.3.“，为正实数”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】可以取特殊值讨论充分与必要性都不成立【详解】解：,为正实数,取,则,则“,为正实数” 不是“”的充分条件；若,取,则不是正实数,则“”
3、不是 “,为正实数的必要条件；则“a,b为正实数”是“”的既不充分也不必要条件,故选：D【点睛】本题考查命题充分条件与必要条件的定义,以及不等式的性质,属于基础题4.平面直角坐标系中，若角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，其终边上一点绕原点顺时针旋转到达点的位置，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】依题意可知在角的终边上，根据三角函数的定义计算可得；【详解】解：依题意可知在角的终边上，所以，故选：D.【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义的应用，属于基础题.5.若单位向量满足，向量满足，且向量的夹角为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由向
4、量垂直得其数量积为0，从而由向量数量积的运算律可求得，再由数量积的定义可得模【详解】因为，所以，因为，所以，所以，故选：B.【点睛】本题考查向量的数量积，考查数量积的运算律，数量积与垂直的关系，掌握数量积的定义是解题关键6.已知，则的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用指数函数的单调性，对数函数性质并借助中间值1比较大小【详解】因为，从而在单调递增，因为，所以，即；又，所以，故，故选：B.【点睛】本题考查幂和对数的大小比较，掌握指数函数与对数函数的单调性是解题关键7.小王于2015年底贷款购置了一套房子，根据家庭收入情况，小王选择了10年期每月还款数额相同的还
5、贷方式，且截止2019年底，他没有再购买第二套房子.下图是2016年和2019年小王的家庭收入用于各项支出的比例分配图，根据以上信息，判断下列结论中正确的是（ ）A. 小王一家2019年用于饮食的支出费用跟2016年相同B. 小王一家2019年用于其他方面的支出费用是2016年的3倍C. 小王一家2019年的家庭收入比2016年增加了1倍D. 小王一家2019年用于房贷的支出费用比2016年减少了【答案】B【解析】【分析】因为小王每月还款数额相同，2016年占比60%，2019年占比40%，说明2019年收入大于2016年收入，设2016年收入为，2019年收入为，即，根据这两年的收入的关系，
6、判断选项.【详解】因为小王每月还款数额相同，2016年占比60%，2019年占比40%，说明2019年收入大于2016年收入，设2016年收入为，2019年收入为，即 A.2016年和2019年，虽然饮食占比都是25%，但收入不同，所以支出费用不同，所以A不正确；B.2016年的其他方面的支出费用是，2019年其他方面的支出费用是，所以B正确；C.因为 ，所以小王一家2019年的家庭收入比2016年增加了1.5倍，所以C不正确；D.房贷占收入的比例减少了，但支出费用是不变的，所以D不正确.故选：B【点睛】本题考查数据分析的实际问题，重点考查读题，根据图象分析信息，解决问题，属于基础题型，本题的
7、关键是根据每月还款相同，计算两年收入的关系.8.已知函数在上恰有个零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由正弦的二倍角公式，及切化弦后直接解方程，通过方程的个数确定的范围【详解】令，则，所以.因为当时方程成立，所以为方程的一个解，所以在有两个解，所以在有两个解，因此，所以在有两个解，所以，所以，故选：A.【点睛】本题考查三角方程解的个数问题，考查二倍角的正弦公式及商数关系，解题方法是直接法，通过直接解方程确定解的个数，得参数取值范围，本题属于中档题9.已知定义在上函数的对称中心为，且当时，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】
8、【分析】利用对称性作出函数的图象，得其单调性，然后求出的解，再由图象得不等式的解集【详解】依题意知图象关于点对称，作出图象如图，可知在上为减函数，由图象可得时，由或(舍去)，由图象可知的解为，故选：D.【点睛】本题考查函数的对称性，考查解函数不等式，解题关键是作出函数图象，由对称性得出函数的单调性，然后可解函数不等式10.如图，是一种碳原子簇，它是由60个碳原子构成的，其结构是以正五边形和正六边形面组成的凸32面体，这60个原子在空间进行排列时，形成一个化学键最稳定的空间排列位置，恰好与足球表面格的排列一致，因此也叫足球烯.根据杂化轨道的正交归一条件，两个等性杂化轨道的最大值之间的夹角（）满足
9、，式中分别为杂化轨道中轨道所占的百分数. 中的杂化轨道为等性杂化轨道，且无轨道参与杂化，碳原子杂化轨道理论计算值为，它表示参与杂化的轨道数之比为，由此可计算得一个中的凸32面体结构中的六边形个数和两个等性杂化轨道的最大值之间的夹角的正弦值分别为（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】分析】设一个中的凸32面体结构中共有个五边形，个六边形，由题意得，由此可解出，由题意得，代入数据即可求出答案【详解】解：设一个中的凸32面体结构中共有个五边形，个六边形，每个顶点都是三个面的公共点，又，解得，共有20个六边形；又由题意得，解得，故选：A【点睛】本题主要考查同角的三角函数关系的应用，考
10、查三角函数的实际应用，考查分析能力与计算能力，属于中档题11.在正方体中，为棱上的动点，分别为线段，上的动点，且，给出以下四个结论：平面；平面平面；三棱锥的体积为定值；其中所有正确结论的编号是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】在上取点，可证明平面平面，判断；让点无限靠近点时，点无限靠近点，由极限位置平面与平面的关系可判断；正方体中证明平面，可判断；由线线平行及线面平行得面积不变，由线面平行得到平面的距离不变，从而判断【详解】在上取点，使得.所以，平面，所以平面，平面，所以平面平面，所以平面，所以正确；因为当点无限靠近点时，点无限靠近点，此时平面无限趋近于平面，显然平面与平
11、面不垂直，所以错误，因为四边形是正方形，所以，又因为平面，所以，所以平面，因为平面，所以，所以正确；因为，所以点到的距离是一个定值，所以的面积是定值，又因为平面，所以点到平面的距离为定值，即点到平面的距离为定值，所以三棱锥的体积为定值，所以正确；所以共有3个结论正确，故选：B.【点睛】本题考查立体几何中的命题的真假判断，通过证明线面平行，线线平行，线面垂直等结论判断题中线面间的位置关系，考查学生的空间想象能力，逻辑推理能力，本题属于中档题12.已知为椭圆的左、右焦点，为的短轴端点，的延长线交于点，关于轴的对称点为，若，则的离心率是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】写出方程
12、，与椭圆方程联立求得点坐标，由对称性得点坐标，由，其斜率乘积为得的等式，变形后可求得离心率【详解】依题意得，设，直线的方程为，代入得，解得或，时，所以，所以，因，又因为，所以，联立得，又，代入解得，故选：D.【点睛】本题考查求椭圆的离心率，解题关键是列出关于的等式，正好题中两直线垂直得斜率乘积为，只要得出点坐标即可列式二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若双曲线的一个焦点为，且渐近线方程为，则该双曲线的方程是_.【答案】【解析】【分析】根据题意可得，结合，求出即可.【详解】因为双曲线的渐近线方程为，且一个焦点为，所以可设双曲线方程为，因为，所以，又因为，解得，所以双曲线方程为
13、.故答案为：【点睛】本题考查了双曲线的简单几何性质，熟记渐近线的求法，属于基础题.14.已知随机变量服从正态分布，若，则_.【答案】【解析】【分析】根据正态曲线的性质计算可得；【详解】解:因为服从正态分布，所以，所以，由正态曲线的对称性知对称轴为，所以.故答案为：2【点睛】本题考查正态曲线的性质，属于基础题.15.设的内角的对边分别为，若，则的面积为_.【答案】【解析】【分析】切化弦通分后应用两角和正弦公式化简，结合正弦定理得，再由余弦定理可求得，即得，从而可得三角形面积【详解】由，得，即，所以，即，又，所以，即，解得或（舍去），所以，又，所以的面积为.故答案为：【点睛】本题考查同角间的三角函
14、数关系，两角和的正弦公式，正弦定理与余弦定理、三角形面积公式，选用公式较多，本题属于中档题16.在边长为2的正方形内（含边界）取一点，在边上分别取点，使得能拼成一个三棱锥，这样的三棱锥有_个，当三棱锥表面积取得最大值时，其外接球体积记为，设，则关于的函数表达式为_.【答案】 (1). 无数 (2). 【解析】【分析】由题意，可取点与点重合，由此可得第一空的答案；当三棱锥表面积取得最大值时，点与点重合，此时，拼接后的三棱锥如图，点重合于点，结合条件可得，三棱锥的外接球与以为棱长的长方体的外接球相同，由此可求出答案【详解】解：如图，取点与点重合，当时，能拼成一个三棱锥，这样三棱锥就有无数个；当三棱
15、锥表面积取得最大值时，点与点重合，此时，拼接后的三棱锥如图，点重合于点，三棱锥的外接球与以为棱长的长方体的外接球相同，长方体的对角线长即外接球的直径，外接球体积，故答案为：无数；，【点睛】本题主要考查几何体的体积的求法，考查想象能力与计算能力，属于中档题三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.数列和分别是各项都为正数的等差数列和等比数列，满足，.（1）求数列和的通项公式；（2）令，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】由已知条件求出等差数列的
16、公差和等比数列的公比，写出通项公式即可；（2）利用公式法及分组求和法直接计算即可.【详解】解：（1）设数列的公差为，数列的公比为.由题意得解得或（舍去）.所以.（2）设的前项和为，则，设的前项和为，则，所以.【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式、求和公式及分组求和法，属于基础题.18.如图，边长为的正方形中，分别为的中点，将沿折起，使点到达点的位置，且为等边三角形.（1）证明：；（2）点是棱上一点，且平面，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）可通过证明，证明平面，得证；（2）由（1）得平面平面，作于点，可得平面，过点作交于，得三线垂直，然后分别以为轴
17、， 轴， 轴正方向建立空间直角坐标系.写出各点坐标，利用线面平行证明是中点，得点坐标，然后求出平面和平面的法向量，由法向量夹角余弦值得二面角余弦值【详解】（1）连接，由于为等边三角形且为的中点，所以，又因为四边形为正方形，且分别为的中点，所以，因为且平面，所以平面，.因为平面，所以.（2）由（1）知平面，因为平面，所以平面平面，作于点，因为平面平面，所以平面，过点作交于，所以，如图，以为原点，分别以为轴， 轴， 轴正方向建立空间直角坐标系.在中，因为，所以，所以，,所以，设直线与直线确定平面，设平面与直线交于点，连结，因为，平面，平面，所以平面，因为，平面，所以，又因为平面，平面，所以，所以四
18、边形为平行四边形，所以，又因为，所以，且，所以点是棱的中点，所以. 所以，设平面的法向量为，所以即令，则，所以平面的一个法向量，因为平面，所以平面的一个法向量，所以，因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.【点睛】本题考查线面垂直的性质定理，考查用空间向量法求二面角，解题关键是建立空间直角坐标系，解题中未知的垂直关系需要证明，未知的点的位置需要确定不能随便想象出一个结论就加以应用19.已知定点，为轴上方的动点，线段的中点为，点在轴上的射影分别为，是的平分线，动点的轨迹为.（1）求的方程；（2）设上点满足，在轴上的射影为，求的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）解法一：根据三角形
19、角平分线的几何性质，以及平行线性质，得到，得到点的轨迹是顶点在原点，焦点为的抛物线（原点除外），得到曲线的方程；（2）设点，所以点，根据，求得，利用基本不等式求最值；解法二：设点，所以点，所以，根据角平分线的性质可得点到的距离，建立等式，再化简求点的轨迹方程，（2）根据，且，表示直线的方程，与抛物线方程联立，求得，利用基本不等式求最值.【详解】解法一：（1）设坐标原点为，因为，所以，因为是的平分线，所以，所以，所以，因为为线段的中点，所以，因为，所以，因为为轴上方的动点，所以点到点的距离等于点到直线的距离，所以动点的轨迹是顶点在原点，焦点为的抛物线（原点除外），设的方程为，则，所以，所以的方程
20、为.（2）设点，所以点，所以，因为，且，所以，所以，所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为解法二：（1）设点，所以点，所以，因为是的平分线，所以点到直线的距离，因为直线的方程为，整理得，所以，所以，整理得，所以动点的轨迹的方程为（2）设点，所以点，所以，因为，所以直线的方程为，即，代入的方程得：，所以，即，所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为.【点睛】本题考查直接法求轨迹方程，以及基本不等式求最值，重点考查转化与化归的思想，数形结合分析问题的能力，计算,变形能力，属于中档题型.20.某种疾病可分为、两种类型.为了解该疾病类型与性别的关系，在某地区随机抽取了患该疾病的病人进行调查，
21、其中女性是男性的2倍，男性患型病的人数占男性病人的，女性患型病的人数占女性病人的.（1）若在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有关，求男性患者至少有多少人?（2）某药品研发公司欲安排甲乙两个研发团队来研发此疾病的治疗药物.两个团队各至多安排2个接种周期进行试验.甲团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为，每人每次接种花费元，每个周期至多接种3次，第一个周期连续2次出现抗体则终止本接种周期进入第二个接种周期，否则需依次接种至第一周期结束，再进入第二周期；第二接种周期连续2次出现抗体则终止试验，否则需依次接种至至试验结束；乙团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为，
22、每人每次花费元，每个周期接种3次，每个周期必须完成3次接种，若一个周期内至少出现2次抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个接种周期.假设两个研发团队每次接种后产生抗体与否均相互独立.若甲团队的试验平均花费大于乙团队的试验平均花费，求、满足的关系式；若，从两个团队试验的平均花费考虑，该公司应选择哪个团队进行药品研发？附：，0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）12人；（2）；见解析【解析】【分析】（1）设男性患者有人，则女性患者有人，得出列联表，根据公式解不等式，由此可得答案；（2）设甲研发团队试验总花费为元，乙研发团
23、队试验总花费为元，根据离散型随机变量的分布列及其数学期望的定义即可求出答案；有条件作差得，然后分、和三种情况讨论即可求出答案【详解】解：（1）设男性患者有人，则女性患者有人，列联表如下：型病型病合计男女合计要使在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有关，则，解得，的最小整数值为12，男性患者至少有12人；（2）设甲研发团队试验总花费为元，则的可能取值为，设乙研发团队试验总花费为元，则的可能取值为，甲团队的平均花费大于乙团队的平均花费，；，当时，乙团队试验的平均花费较少，选择乙团队进行研发；当时，甲团队试验的平均花费较少，选择甲团队进行研发；当时，选择甲团队或乙团队
24、进行研发均可；综上：当时，选择乙团队进行研发；当时，选择甲团队进行研发；当时，选择甲团队或乙团队进行研发均可【点睛】本题主要考查独立性检验的实际应用，考查离散型随机变量的均值（数学期望）的求法及应用，考查计算能力，属于中档题21.已知函数，.（1）讨论函数的单调性；（2）求证：函数有唯一的零点.【答案】（1）当时，在单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先求出的定义域，求导，再构造函数，利用二次函数的判别式进行分类讨论，即可得解；（2）利用函数的单调性及零点存在性定理，即可得解.【详解】（1）的定义域为，令， 当，即时，故，所以在单调递增.当，即当
25、时，有两个实根，注意到，且对称轴，故，所以当或时，所以在上单调递增；当时，所以在上单调递减.综上所述，当时，在单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减.（2）当时，由（1）知，在单调递增，注意到，所以有唯一的零点. 当时，由（1）知，在和上单调递增，在上单调递减.由于，注意到，于是我们只要证明即可.因为，所以，又因为，所以，所以，记，则，所以单调递增，所以，所以，综上所述，函数只有一个零点.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性及函数的零点问题，考查学生的转化与化归能力，分析问题和解决问题的能力，难度较大.构造函数是求解导数问题的常用方法.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两
26、题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系中，圆的方程为.以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求与的交点的极坐标；（2）设是的一条直径，且不在轴上，直线交于两点，直线交于两点，求四边形的面积的最小值.【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）圆的方程化为极坐标方程为，然后联立、的极坐标方程求解即可；（2）设，则，由对称性知，利用利用极坐标方程转化为三角函数解决即可.【详解】（1）圆的方程化为极坐标方程为，联立的极坐标方程得：，由题意易得，解得或（舍去），所以或（舍去），所以，或，所以与的交点的极坐标为或.（2）如图，因为是的一条
27、直径，且过原点，所以，即，不妨设点在第一象限，设，则，由对称性知，所以， 当且仅当，即时等号成立，所以，所以四边形的面积的最小值为【点睛】本题主要考查的是直角坐标和极坐标的互化以及极坐标方程的应用，考查了学生的分析能力和计算能力，属于中档题.23.已知函数.（1）当时，解不等式；（2）对任意，若不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）代入，化简可得，表示为，即得解；（2）转化为，分，讨论，将根据绝对值的分界点表示为分段函数，可分别求得，即得解【详解】（1）当时，不等式即，即，解得或（舍去）. 由，解得或.所以，不等式的解集是.（2）由题意知，只需满足即可.因为，所以依题意，当时，得.由，得，即.所以，. 当时，得.由，得，即.所以，综上，实数的取值范围是.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法和恒成立问题，考查了学生综合分析，转化划归，分类讨论，数学运算能力，属于中档题- 26 -
