1、第6讲 抛物线一、选择题1抛物线x2(2a1)y的准线方程是y1，则实数a()A. B. C D解析 根据分析把抛物线方程化为x22y，则焦参数pa，故抛物线的准线方程是y，则1，解得a.答案D2若抛物线y22px(p0)的焦点在圆x2y22x30上，则p()A. B1C2 D3解析 抛物线y22px(p0)的焦点为(，0)在圆x2y22x30上，p30，解得p2或p6(舍去)答案 C3已知抛物线C：y24x的焦点为F，直线y2x4与C交于A，B两点，则cosAFB()A. B. C D解析由得x25x40，x1或x4.不妨设A(4,4)，B(1，2)，则|5，|2，(3,4)(0，2)8，c
2、osAFB.故选D.答案D4已知双曲线C1：1(a0，b0)的离心率为2.若抛物线C2：x22py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为()Ax2y Bx2yCx28y Dx216y解析1的离心率为2，2，即4，.x22py的焦点坐标为，1的渐近线方程为yx，即yx.由题意，得2，p8.故C2：x216y，选D.答案D5已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|12，P为C的准线上一点，则ABP的面积为()A18 B24 C36 D48解析如图，设抛物线方程为y22px(p0)当x时，|y|p，p6.又P到AB的距离始终为p，SA
3、BP12636.答案C6已知P是抛物线y24x上一动点，则点P到直线l：2xy30和y轴的距离之和的最小值是()A. B. C2 D.1解析由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)设点P到直线l的距离为d，由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|1，所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d|PF|1.易知d|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d|PF|的最小值为，所以d|PF|1的最小值为1.答案D二、填空题7已知动圆过点(1,0)，且与直线x1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为_解析设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1,0)的距离与其到直线x1的距离相等，根据抛物线的定义易知动
4、圆的圆心的轨迹方程为y24x.答案y24x8已知抛物线y24x的焦点为F，准线与x轴的交点为M，N为抛物线上的一点，且满足|NF|MN|，则NMF_.解析 过N作准线的垂线，垂足是P，则有PNNF，PNMN，NMFMNP.又cosMNP，MNP，即NMF.答案 9如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米水位下降1米后，水面宽_米解析如图建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x22py.由题意A(2，2)代入x22py，得p1，故x22y.设B(x，3)，代入x22y中，得x，故水面宽为2米答案210过抛物线y22x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|，|AF|BF|，
5、则|AF|_.解析设过抛物线焦点的直线为yk，联立得，整理得，k2x2(k22)xk20，x1x2，x1x2.|AB|x1x211，得，k224，代入k2x2(k22)xk20得，12x213x30，解之得x1，x2，又|AF|b0)的离心率为，以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线yx2相切(1)求a与b；(2)设该椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，直线l1过F2且与x轴垂直，动直线l2与y轴垂直，l2交l1于点P.求线段PF1的垂直平分线与l2的交点M的轨迹方程，并指明曲线类型解(1)由e ，得.又由原点到直线yx2的距离等于椭圆短半轴的长，得b，则a.(2)法一由c1，得F1(1,0
6、)，F2(1,0)设M(x，y)，则P(1，y)由|MF1|MP|，得(x1)2y2(x1)2，即y24x，所以所求的M的轨迹方程为y24x，该曲线为抛物线法二因为点M在线段PF1的垂直平分线上，所以|MF1|MP|，即M到F1的距离等于M到l1的距离此轨迹是以F1(1,0)为焦点，l1：x1为准线的抛物线，轨迹方程为y24x.12已知抛物线C：y24x，过点A(1,0)的直线交抛物线C于P、Q两点，设.(1)若点P关于x轴的对称点为M，求证：直线MQ经过抛物线C的焦点F；(2)若，求|PQ|的最大值思维启迪：(1)可利用向量共线证明直线MQ过F；(2)建立|PQ|和的关系，然后求最值(1)证
7、明设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x1，y1)，x11(x21)，y1y2，y2y，y4x1，y4x2，x12x2，2x21(x21)，x2(1)1，1，x2，x1，又F(1,0)，(1x1，y1)(1，y2)，直线MQ经过抛物线C的焦点F.(2)由(1)知x2，x1，得x1x21，yy16x1x216，y1y20，y1y24，则|PQ|2(x1x2)2(y1y2)2xxyy2(x1x2y1y2)2412216，当，即时，|PQ|2有最大值，|PQ|的最大值为.13设抛物线C：x22py(p0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点(1)
8、若BFD90，ABD的面积为4 ，求p的值及圆F的方程；(2)若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值解(1)由已知可得BFD为等腰直角三角形，|BD|2p，圆F的半径|FA|p.由抛物线定义可知A到l的距离d|FA| p.因为ABD的面积为4 ，所以|BD|d4 ，即2p p4 ，解得p2(舍去)或p2.所以F(0,1)，圆F的方程为x2(y1)28.(2)因为A，B，F三点在同一直线m上，所以AB为圆F的直径，ADB90.由抛物线定义知|AD|FA|AB|.所以ABD30，m的斜率为或.当m的斜率为时，由已知可设n：yxb，代入x
9、22py得x2px2pb0.由于n与C只有一个公共点，故p28pb0，解得b.因为m的纵截距b1，3，所以坐标原点到m，n距离的比值为3.当m的斜率为时，由图形对称性可知，坐标原点到m，n距离的比值为3.综上，坐标原点到m，n距离的比值为3.14如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1y2的值及直线AB的斜率解(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y22px(p0)点P(1,2)在抛物线上，222p1，解得p2.故所求抛物线的方程是y24x，准线方程是x1.(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB，则kPA(x11)，kPB(x21)，PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，kPAkPB.由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得y4x1，y4x2，y12(y22)y1y24.由得，yy4(x1x2)，kAB1(x1x2)
