1、32 导数的计算3.2.1 几个常用函数的导数32.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)内 容 标 准学 科 素 养1.能根据定义求函数 yc，yx，yx2，y1x，y x的导数2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.应用数学抽象提高数学运算01 课前 自主预习02 课堂 合作探究03 课后 讨论探究04 课时 跟踪训练基础认识知识点一 几个常用函数的导数预习教材P8183，思考并完成以下问题导数的几何意义是曲线在某一点处的切线的斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度那么，对于函数 yf(x)，如何求它的导数呢？下列函数的导数是什么？(1)f(x)c；(2)f
2、(x)x；(3)f(x)x2；(4)f(x)1x；(5)f(x)x.提示：由导数的定义得(1)f(x)lim x0fxxfxxlim x0ccx lim x000；(2)f(x)lim x0fxxfxxlim x0 xxxx1；(3)f(x)lim x0fxxfxxlim x0 xx2x2xlim x0(x2x)2x；(4)f(x)lim x0fxxfxxlim x01xx1xxlim x0 1xxx 1x2；(5)f(x)lim x0fxxfxxlim x0 xx xxlim x0 xx xx xlim x01xx x 12 x.知识梳理 几个常用函数的导数原函数导函数f(x)cf(x)f(
3、x)xf(x)f(x)x2f(x)f(x)1xf(x)f(x)xf(x)012x 1x212 x知识点二 基本初等函数的导数公式知识梳理 为了方便，今后我们可以直接使用下面的基本初等函数的导数公式表.原函数导函数f(x)c(c 为常数)f(x)f(x)x(Q*)f(x)f(x)sin xf(x)f(x)cos xf(x)f(x)axf(x)(a0)0 x1 cos xsin xaxln a原函数导函数f(x)exf(x)f(x)logaxf(x)(a0，且 a1)f(x)ln xf(x)ex1xln a1x自我检测求下列函数的导数：(1)f(x)4 x5；(2)g(x)cos4；(3)h(x)
4、3x.答案：(2)g(x)cos 4 22，g(x)0；(3)h(x)3xln 3.探究一 利用导数公式求函数的导数阅读教材 P83例 1假设某国家在 20 年期间的年均通货膨胀率为 5%，物价 p(单位：元)与时间 t(单位：年)有如下函数关系 p(t)p0(15%)t，其中 p0 为 t0 时的物价假定某种商品的 p01，那么在第 10 个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到 0.01)?题型：基本初等函数的导数方法步骤：根据导数的几何意义，上涨速度就是导数利用导数公式表求出 p(t)再求出 p(10)就是第 10 个年头的上涨速度例 1 求下列函数的导数：(1)y10 x；(
5、2)ylg x；(4)y4 x3；(5)ysinx2cosx221.解析(1)y(10 x)10 xln 10.(2)y(lg x)1xln 10.(5)ysin x2cos x221sin2x22sin x2cos x2cos2x21sin x，y(sin x)cos x.方法技巧 1.若给出的函数解析式符合基本初等函数的导数公式，则直接利用公式求导2若给出的函数解析式不符合导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式要化成指数幂的形式求导跟踪探究 1.(1)y1ex；(2)y110 x；(3)ylg 5；(4)y3lg3 x；(5)y2cos2x21.解析：(1)y1ex
6、1exln1e1exex.(2)y110 x 110 xln 110ln 1010 x10 xln 10.(3)ylg 5 是常数函数，y(lg 5)0.(4)y3 lg3 xlg x，y(lg x)1xln 10.(5)y2cos2x21cos x，y(cos x)sin x.探究二 利用导数公式求曲线的切线方程教材 P82探究改编求曲线 y1x在(1,1)处的切线方程解析：y1xx1，yx2 1x2，y|x11，曲线 y1x在(1,1)处的切线方程为 y1(x1)，即 yx2.例 2(1)求过曲线 ysin x 上点 P6，12 且与在这点处的切线垂直的直线方程解析 ysin x，ycos
7、 x，曲线在点 P6，12 处的切线斜率是：y|x6cos 6 32.过点 P 且与切线垂直的直线的斜率为 23，故所求的直线方程为 y12 23x6，即 2x 3y 32 30.(2)设 P 是曲线 yex 上任意一点，求点 P 到直线 yx 的最小距离解析：如图，设 l 是与直线 yx 平行，且与曲线 yex 相切的直线，则切点到直线 yx 的距离最小设与直线 yx 平行的直线 l 与曲线 yex 相切于点 P(x0，y0)因为 yex，所以 ex01，所以 x00.代入 yex，得 y01，所以 P(0,1)所以点 P 到直线 yx 的最小距离为|01|2 22.方法技巧 解决有关切线问
8、题的关注点(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系(2)准确利用求导公式求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确(3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点跟踪探究 2.已知曲线方程为 yf(x)x2，求过点 B(3,5)且与曲线相切的直线方程解析：设切点 P 的坐标为(x0，x20)yx2，y2x，kf(x0)2x0，切线方程为 yx202x0(xx0)将点 B(3,5)代入上式得 5x202x0(3x0)，即 x206x050，(x01)(x05)0，x01 或
9、x05.切点坐标为(1,1)或(5,25)所求切线方程为 y12(x1)或 y2510(x5)，即 2xy10 或 10 xy250.课后小结(1)利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归(2)有些函数可先化简再应用公式求导如求 y12sin2x2的导数因为 y12sin2x2cos x，所以 y(cos x)sin x.(3)对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化素养培优1未能区分好变量与常量而致错求 f(x)cos a 的导数易错分析 很容易忽视 a 是常数自我纠正 f(x)(cos a)0.2没有意识到切点也在曲线上致误过原点作曲线 yex 的切线，则切点坐标为_易错分析 设切点 P(x0，y0)，则 y|xx0ex0，从而 ex0y00 x00，y0 x0ex0，所以切点坐标为(x0，x0ex0)该解法没有意识到切点也在曲线上致误考查逻辑推理及数学运算的学科素养自我纠正 yex，设切点为(x0，y0)，则 y0ex0，则切线方程为 yex0ex0(xx0)，由于原点在切线上，则ex0ex0(x0)x01，y0ex0e，即切点为(1，e)答案(1，e)04 课时 跟踪训练