1、第三讲 三排序不等式一、选择题1设a1，a2，an都是正数，b1，b2，bn是a1，a2，an的任意一个排列，则a1ba2banb的最小值是()A1 Bn Cn2 D无法确定解析：设a1a2an0.可知aaa，由排序原理，得a1ba2banba1aa2aanan.答案：B2已知a，b，c为正数，且m，n，p是a，b，c的一个排列，pa2b2c2，Qmanbpc，则P，Q的大小关系是()APQ BPQCPbc0，由排序原理：顺序和乱序和，得a2b2c2manbpc，即PQ.答案：B3设a1，a2，a3为正数，E，Fa1a2a3，则E，F的关系是()AEF解析：不妨设a1a2a30，于是，a2a3
2、a3a1a1a2，由排序不等式：顺序和乱序和得，a1a3a2a3a1a2a1a3a2，即a1a2a3.答案：B4(11)的取值范围是()A(21，) B(61，)C(4，) D(3n2，)解析：令A(11)，B，C.由于，0，所以ABC0.所以A3ABC.由题意知3n261，所以n21.又因为ABC3n164.所以A4.答案：C5一组实数为a1，a2，a3，设c1，c2，c3是另一组数b1，b2，b3的任意一个排列，则a1c1a2c2a3c3的()A最大值为a1b1a2b2a3b3，最小值为a1b3a2b2a3b1B最大值为a1b2a2b3a3b1，最小值为a1b3a2b1a3b2C最大值与最
3、小值相等，为a1b1a2b2a3b3D以上答案都不对解析：a1，a2，a3与b1，b2，b3的大小顺序不知，无法确定其最值答案：D6若00BF0CF0DF0解析：因为0，且ysin x在上为增函数，ycos x在上为减函数所以0sin sin cos cos 0. 根据排序不等式：乱序和反序和，则sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos (sin 2sin 2sin 2)答案：A二、填空题7已知a，b，c为正实数，则a2(a2bc)b2(b2ac)c2(c2ab)_0.(填，0，所以a3b3c3.根据排序原理，得a3ab3bc3ca3bb3
4、cc3a.又知abacbc，a2b2c2，所以a3bb3cc3aa2bcb2cac2ab.所以a4b4c4a2bcb2cac2ab.即a2(a2bc)b2(b2ac)c2(c2ab)0.答案：8设a，b都是正数，若P22，Q，则二者的关系是_解析：由题意不妨设ab0.由不等式的性质，知a2b2，.所以.根据排序原理，知.即22.答案：PQ9设正数a，b，c的乘积abc1，的最小值为_解析：设a，b，c，则xyz1，且可化为，不妨设xyz，则，据排序不等式得zxy，及yzx，两式相加并化简可得23.即.即.所以的最小值为.答案：三、解答题10设A，B，C表示ABC的三个内角的弧度数，a，b，c表
5、示其对边，求证：.证明：方法一：不妨设ABC，则有abc，由排序原理：顺序和乱序和，aAbBcCaBbCcA，aAbBcCaCbAcB，aAbBcCaAbBcC.上述三式相加得3(aAbBcC)(ABC)(abc)(abc).方法二：不妨设ABC，则有abc，由排序不等式得，即aAbBcC(abc)，.11已知a，b，cR，求证：abc.证明：不妨设abc0，则a2b2c2，.由排序不等式，可得a2b2c2a2b2c2，a2b2 c2a2b2c2.由()2，可得abc.又因为abc0，所以a3b3c3，.由排序不等式，得a3b3c3a3b3c3.a3b3c3a3b3c3.由()2，可得.综上可
6、知原式成立12(能力挑战)利用排序原理证明切比雪夫不等式：若a1a2an且b1b2bn，则ibi.证明：由排序不等式有：a1b1a2b2anbna1b1a2b2anbn，a1b1a2b2anbna1b2a2b3anb1，a1b1a2b2anbna1b3a2b4anb2，a1b1a2b2anbna1bna2b1anbn1.将以上式子相加得n(a1b1a2b2anbn)a1(b1b2bn)a2(b1b2bn)an(b1b2bn)，所以ibi.1使用排序不等式，必须出现有大小顺序的两列数(或者代数式)来探求对应项的乘积的和的大小关系2本质含义：两列数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大，反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小，注意等号成立条件是其中一序列为常数序列