1、2.3 幂 函 数【自主预习】主题1：幂函数的定义 给出下列五个问题：如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要支付p=w元，这里p是w的函数.如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S=a2，这里S是a的函数.如果立方体的边长为a，那么立方体的体积V=a3，这 里V是a的函数.如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的 边长a=，这里a是S的函数.如果某人ts内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速 度v=t-1km/s，这里v是t的函数.12S(1)上述5个问题中，若自变量都用x表示，因变量用y表示，则对应的函数关系式分别是什么？提示：y=x.y=x2.y=x3.y=y=x-1.12
2、x.(2)上述5个问题中的函数有什么共同特征？文字语言描述：都是_出现在底数的位置上，指数为常数，_为函数值的函数.符号语言描述：_.自变量 幂 y=x，是常数 幂函数的定义：_ _.函数y=x 叫做幂函数，其中x是自 变量，是常数 主题2：幂函数的图象与性质 如图是同一坐标系中幂函数y=x，y=y=x2，y=x3，y=x-1的图象.12x，(1)观察上图，将你发现的结论写在下表内.幂函数 y=x y=x2 y=x3 y=y=x-1 定义域 _ _ _ _ _ 值域 _ _ _ _ _ 奇偶性 _ _ _ _ _ _ 12xR R R 0，+)(-，0)(0，+)R 0，+)R 0，+)y|y
3、R且y0 奇 偶 奇 非奇 非偶 奇 幂函数 y=x y=x2 y=x3 y=x-1 单调性 _ _ _ _ _ _ _ 公共点 _ 12yx增 x0，+)增，x(-，0)减 增 增 x(0，+)减，x(-，0)减(1，1)(2)根据以上探究过程，可总结幂函数的性质：图象都过点_，为奇数时y=x 为_函数，为偶数时y=x 为_函数.0时y=x 在(0，+)上是_函数，0时y=x 在(0，+)上是_函数.(1，1)奇 偶 增 减 x10，所以f(x1)-f(x2)0，f(x1)f(x2)，即幂函数f(x)=x-2在(0，+)上是减函数.【互动探究】1.二次函数都是幂函数吗？提示：不一定.如y=3
4、x2；y=x2-3x+2都不是幂函数.只有二次项系数为1，无一次项和常数项的二次函数才是幂函数.2.判断一个函数是幂函数的依据是什么？提示：依据是幂函数的定义，即解析式符合幂函数解析式的形式.3.幂函数y=x 在区间(0，+)上为增函数时，满足的条件是什么？在区间(0，+)上为减函数时，满足的条件是什么？提示：当0时，y=x在(0，+)上为增函数；当1).其中幂函数的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4 x1()2(2)已知幂函数f(x)=x 的图象过点P ，试画出 f(x)的图象并指出该函数的定义域与单调区间.1(2,)4【解题指南】(1)根据幂函数的定义去判断，只有形如y=x的函数才是
5、幂函数.(2)可根据幂函数f(x)的图象过点P 确定的值，然后再画出f(x)的图象，结合图象指出定义域与单调区间.1(2,)4【解析】(1)选B.为指数函数，中系数不是1，中解析式为多项式，中底数不是自变量本身，所以只有是幂函数.(2)因为f(x)=x的图象过点P ，所以f(2)=即2=得=-2，即f(x)=x-2，1(2,)414，14，f(x)的图象如图所示，定义域为(-，0)(0，+)，单调减区间为(0，+)，单调增区间为(-，0).【延伸探究】1.(改变问法)本例条件不变，试判断f(x)的奇偶性.【解析】因为f(x)=x-2，定义域为(-，0)(0，+)，关于y轴对称.又因为f(-x)
6、=(-x)-2=x-2=f(x)，故f(x)为偶函数.2.(变换条件)本例中的条件“过点 ”若换为过 点 试写出该函数的定义域、单调区间.1P(2)4，1P(8)4，【解析】因为f(8)=所以8=即 故f(x)=由 0得x0,所以f(x)的定义域为(-,0)(0,+),因为=0,所以f(x)在(0，+)上是减函数，1,41,42,3 23321x,x32x23又f(x)是偶函数，所以f(x)在(-，0)上是增函数，故f(x)的单调减区间是(0，+)，增区间为(-，0).【规律总结】1.幂函数图象的画法(1)确定幂函数在第一象限内的图象：先根据 的取值，确定幂函数y=x 在第一象限内的图象.(2
7、)确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f(x)在其他象限内的图象.2.求幂函数中含参数问题的三个步骤【巩固训练】如图所示的曲线是幂函数y=x 的第一象 限的图象，已知 相应于曲线C1,C2,C3,C4的 值依次为()1 1 4,44 4，1 111A.4,4 B.4,44 4441111C.,4,4,D.4,4,4444【解析】选B.对于幂函数y1=x4,y4=x-4,分别令x=2得y1y2y3y4,故曲线C1,C2,C3,C4分别对应的值为 114423yxyx,，114,4.44类型二：幂值大小的比较问题【典例2】比较大小：(1)(2)(-1.2)3，(-1.
8、25)3.(3)5.25-1，5.26-1，5.26-2.11221.5,1.7.【解题指南】幂值比较大小，底数相同指数不同时，用指数函数的单调性；底数不同指数相同时，用幂函数的性质.【解析】(1)因为函数 在(0，+)上是增函数，且1.51.7,所以(2)因为函数y=x3在R上是增函数，且-1.2-1.25，所以(-1.2)3(-1.25)3.12yx11221.51.7.(3)因为函数y=5.26x是增函数，且-1-2，所以5.26-15.26-2.又y=x-1在(0，+)上是减函数，且5.255.26-1，综上所述，5.25-15.26-15.26-2.【规律总结】比较幂值大小的三种思路
9、(1)若指数相同，底数不同，则考虑幂函数.(2)若指数不同，底数相同，则考虑指数函数.(3)若指数与底数都不同，则考虑插入中间数，使这个数的底数与所比较数的一个底数相同，指数与另一个数的指数相同，那么这个数就介于所比较的两数之间，进而比较大小.【巩固训练】把 按从小到大的顺序排列.11103222327()()(),()3556，【解析】因为 为增函数，所以 答案：1003722()1()()1633，112232()1()1.55，12yx11103222372()()()().556311103222372()()()()5563【巩固训练】比较下列各组数中两个数的大小:(1)与 (2)(3)0.52()50.51().31123()().35与233423()().34与【解析】(1)因为幂函数y=x0.5在(0,+)上是单调 递增的，又 所以(2)因为幂函数y=x-1在(-,0)上是单调递减的,又 所以 21,530.50.521()().5323,35 1123()().35(3)因为函数 为减函数，又 所以 又因为函数 在(0,+)上是增函数，且 所以 所以 x12y()332,43233422()(),33232yx32,43223332()(),43233432()().43