1、复数的概念及运算学校:_姓名：_班级：_考号：_一、单选题（本大题共5小题，共25.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 棣莫弗公式其中为虚数单位是由法国数学家棣莫弗年发现的，根据棣茣弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于.()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 已知复数，其中i为虚数单位，若为纯虚数，则下列说法正确的是.()A. B. 复数在复平面内对应的点在第一象限C. D. 3. 已知a为实数，若复数为纯虚数，则的值为()A. 1B. 0C. D. 4. 已知与是方程在复数集中的两根，则下列等式成立的是()A. 与共轭B. C. ，D. 5.
2、定义：复数是的转置复数，记为；复数是的共轭复数，记为给出下列命题：；其中真命题的个数为()A. 0B. 1C. 2D. 3二、多选题（本大题共5小题，共25.0分。在每小题有多项符合题目要求）6. 在复平面内，下列说法正确的是()A. 若复数z满足，则B. 若复数为虚数单位，则C. 若复数，则z为纯虚数的充要条件是D. 若复数z满足条件，则复数z对应点的集合是以原点O为圆心，分别以2和3为半径的两个圆所夹的圆环，且包括圆环的边界7. 已知复数z的共轭复数为，且，则下列结论正确的是()A. B. z的虚部为C. D. 8. 已知复数为虚数单位，复数满足，则下列结论正确的是()A. 在复平面内所对
3、的点在第四象限B. 在复平面内对应的点在第一象限C. 的最大值为D. 的最小值为9. 下列命题正确的是()A. 若，为复数，则B. 若，为向量，则C. 若，为复数，且，则D. 若，为向量，且，则10. 下列命题正确的是()A. 复数，的模相等，则，互为共轭复数B. ，都是复数，若是虚数，则不是的共轭复数C. 复数z是实数的充要条件是是z的共轭复数D. 已知复数，是虚数单位，它们对应的点分别为A，B，C，O为坐标原点，若R，则三、填空题（本大题共2小题，共10.0分）11. 若复数，其中i为虚数单位所对应的向量分别为与，则的周长为_.12. 设是实系数一元二次方程的两个根，若是虚数，是实数，则_
4、.四、解答题（本大题共2小题，共24.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）13. 本小题分设是虚数，是实数，且求的实部的取值范围；若，求的最小值14. 本小题分已知向量，在复平面坐标系中，i为虚数单位，复数对应的点为求；点Z为曲线为的共轭复数上的动点，求点Z与之间的最小距离；若，求在上的投影向量答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查复数的代数表示和几何意义，考查诱导公式的应用，属于基础题.根据已知条件和诱导公式得，判断所在的象限即可.【解答】解：由，得，复数在复平面内所对应的点的坐标为，即位于第三象限故本题选：2.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了纯虚数的概念，以及复
5、数模公式和几何含义，属于基础题由为纯虚数，可得，故，判断各个选项，即可求解【解答】解：为纯虚数，解得，故A错误，复数在复平面内对应的点在第二象限，故B错误，故C正确，故D错误故选：3.【答案】D【解析】【分析】本题考查复数的运算，考查计算能力，属于基础题利用复数z是纯虚数求出a，进行求解即可【解答】解：复数为纯虚数，可得，故选：4.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查复数的四则运算和共轭复数，属于基础题.利用复数的四则运算和共轭复数对选项逐一分析解答即可.【解答】解：若方程有两个虚数根，则这两个虚数根互为共轭复数，若方程有两个实数根，则这两根未必相等，从而不一定为共轭复数，故A错误；B.若方
6、程有两个复数根，则，列如，故B错误；C.根据韦达定理知，故C 正确；D.若，则两根为，其中，故，故D错误.故选：5.【答案】C【解析】【分析】本题考查了复数的四则运算，共轭复数，新定义转置复数的应用，属于中档题.由题意，对三个命题逐一判断，即可得到结果.【解答】解：，成立；，成立；令，a，b，c，不成立.故真命题的个数为2个.故选6.【答案】BD【解析】【分析】本题考查命题真假的判断，涉及复数的定义和简单运算性质，属于基础题根据题意，依次分析选项是否正确，综合可得答案【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，若，则，此时，A错误；对于B，若复数，则，则有，B正确；对于C，若复数，则z为纯虚数
7、的充要条件是，且，故C错误对于D，设复数，若复数z满足条件，则有，故复数z对应点的集合是以原点O为圆心，分别以2和3为半径的两个圆所夹的圆环，且包括圆环的边界，D正确；故选：7.【答案】ACD【解析】【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，复数的模及虚数单位i的幂运算的周期性，是基础题由已知求得z，然后逐一核对四个选项得答案【解答】解：，对于A，故A正确；对于B，z的虚部为，故B错误；对于C，故C正确；对于D，故D正确.故选8.【答案】AC【解析】【分析】利用复数的几何意义得到复数对应的点，利用复数模的几何意义得到在复平面内对应的点Q在以为圆心，1为半径的圆上，表示点P，Q
8、之间的距离，表示点Q与点之间的距离，由此进行求解判断即可本题考查了复数的综合应用，主要考查了复数模的几何意义的运用，涉及了点与圆位置关系的运用，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题【解答】解：记复数在复平面内对应的点为P，则，所以点P在第四象限，故选项A正确；复数满足，则在复平面内对应的点Q在以为圆心，1为半径的圆上，故在复平面内对应的点不一定在第一象限，故选项B错误；表示点P，Q之间的距离，所以的最大值为，故选项C正确；表示点Q与点之间的距离，所以的最小值为，故选项D错误故选：9.【答案】AD【解析】【分析】本题考查复数的模，向量的模，向量的数量积，属于中档题.设，利用复数的模的计算
9、公式，分别求得，即可判断A；利用数量积的运算公式即可判断B；举反例即可判断C；将两边平方，化简即可判断【解答】解：对于A，设，则，所以，故，故A正确；对于B，故B错误；对于C，令，则，则，但，故C错误；对于D，由，得，所以，则，故D正确.故选10.【答案】BCD【解析】【分析】本题考查复数的定义和相关概念，属于中档题.本题的关键是正确理解复数的有关概念根据共轭复数的定义，举例判断；根据是虚数，判断两个复数的虚部的关系，判断选项；分别判断充分和必要条件；利用向量，复数，坐标的关系，利用向量相等求得x，y的值.【解答】解：模相等的复数不一定是共轭复数，比如：，这两个复数的模相等，但不是共轭复数，故
10、A不正确；B.设，a，b，c，若是虚数，两个复数的虚部不互为相反数，所以不是的共轭复数，故B正确；C.设，若，则，所以复数是实数，若是实数，则则，所以C正确；D.由条件可知，若，则，所以，解得：，所以，故D正确.故答案选：11.【答案】16【解析】【分析】此题考查复数的模的运算，属于基础题由已知可得，再求出复数的模，从而可得的周长【解答】解：因为，所以，所以的周长为故答案为：1612.【答案】【解析】【分析】本题主要考查复数的四则运算，复数的概念，属于中档题.设则利用韦达定理结合是实数，可得则有，即可得解.【解答】解：因为是实系数一元二次方程的两个根，设则所以，由是实数，得，即，则，两边同时除
11、以，得，所以故答案为：13.【答案】解：由题意，设，则，因为，所以，所以，所以，又，即，所以，故的实部的取值范围；由可知，所以，当且仅当，即或，又，所以时取等号，故的最小值为【解析】本题主要考查了复数的四则运算法则，复数的概念，基本不等式求最值，考查了运算能力，属于难题.设，求出，由，得，即，得出，由的范围，得a的范围；由可知，代入可得，根据，得到，然后结合基本不等式求最值即可.14.【答案】解：，所以，所以，所以，曲线，即，因此曲线是复平面内以为圆心，半径为1的圆，故与之间的距离为，所以Z与之间的最小距离为；因为，所以，此时，设与的夹角为，与的夹角余弦为，设与方向相同的单位向量为，所以在上的投影向量【解析】本题主要考查了投影向量的应用，复数的模及其几何意义，还涉及复数的除法运算，共轭复数，向量数量积的坐标运算，二倍角余弦公式，属于较难题利用向量的数量积运算先求出m，再利用复数的四则运算即可得到复数利用复数的几何意义可得曲线是复平面内以圆心，半径为1的圆，再利用点与圆的位置关系即可求解利用投影向量的概念求解即可
