1、辽宁省百校联盟2021届高三数学全程精炼试题（三）（含解析）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1若复数z满足，则z的共轭复数为（）ABCD2已知集合Ax|x2，Bx|log2x，则AB（）Ax|xBx|xCx|0x4Dx|x43已知向量与，|3，|2，|+|，则已知向量与的夹角为（）ABCD4某养老院一楼有六个房间，现有6位男住户和4位女住户，要求安排其中2位女住户人住中间四个房间中的两个，安排其中4位男住户入住剩下的4个房间，则不同的安排方式有（）A25920种B26890种C27650种D28640种5中国古代数学专著
2、九章算术中对两类空间几何体有这样的记载：“堑堵”，即底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；“阳马”，即底面为矩形，且有一侧棱垂直于底面的四棱锥现有一“堑堵”ABCA1B1C1，如图所示，ACBC，AA13，AC2，则其中“阳马”BA1ACC1与三棱锥B1A1C1B的体积之比为（）A2：1B3：1C3：2D4：16已知幂函数f（x）xa满足2f（2）f（16），若af（log42），bf（ln2），cf（），则a，b，c的大小关系是（）AacbBabcCbacDbca7某工厂生产了10000根钢管，其钢管内径（单位：mm）近似服从正态分布N（20，2）（0），工作人员通过抽样的方式统计出，
3、钢管内径高于20.05mm的占钢管总数的，则这批钢管中，内径在19.95mm到20mm之间的钢管数约为（）A4200根B4500根C4800根D5200根8已知函数f（x）+x|x|+2，且f（a）+f（2a3）4，则实数a的取值范围是（）A（1，+）B（，+）C（3，+）D（4，+）二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9下列命题为真命题的是（）Ax0R，x02+4x0+60B正切函数ytanx的定义域为RC函数的单调递减区间为（，0）（0，+）D矩形的对角线相等且互相平分10设函数f（
4、x）sin（2x+），则下列结论正确的是（）Af（x）的一个周期为4Byf（x）的图象关于直线x对称C函数f（x）向左平移后所得函数为奇函数Df（x）在区间（，）上单调递增11设x0，y0，则下列结论正确的是（）A不等式 恒成立B函数 f（x）3x+3x 的是小值为 2C函数 的最大值为 D若 x+y2，则 的最小值为 12已知双曲线C：1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1、F2，则下列说法正确的是（）A若ab，F1（6，0），则它的方程是1B若b3，一条渐近线方程为3x2y0，则F2（4，0）CP为双曲线右支上一点，|PF1|2+a|PF2|18a2，则离心率e的取值范围为（1，3D若过F
5、2的直线l与x轴垂直且与渐近线交于A、B两点，AF1O，则双曲线C的渐近线方程为y2x三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13已知an为等差数列，公差d2，a2+a4+a618，则a5+a7 14某中学为了了解学生学习物理的情况，抽取了100名物理成绩在6090分（满分为100分）之间的学生进行调查，将这100名学生的物理成绩分成了六段：60，65），65，70），70，75），75，80），80，85），85，90，绘成频率分布直方图，如图所示从成绩在70，80）的学生中任抽取2人，则成绩在75，80）的学生恰好有一人的概率为 15已知抛物线y22px（p0）上一点（5，m）到焦
6、点的距离为6，准线为l，若l与双曲线C：1（a0，b0）的两条渐近线所围成的三角形面积为2，双曲线C的离心率为 16已知函数f（x）xexex，若f（x）a有且仅有两个不同的整数解，则函数f（x）的最小值为 ；实数a的取值范围是 四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知等比数列an的前n项和为Sn，公比q0，a11，a3a2+2若数列bn的前n项和为Tn，an+1bnSn+1Sn，求：（1）求数列an的通项公式；（2）求数列bn的前n项和Tn18已知a，b，c分别是ABC内角A，B，C所对的边，且满足a（sinAsinB）（sinC+sinB）（cb
7、），若P为边AB上靠近B的三等分点，CP，求：（1）求cosC的值；（2）求b+2a的最大值19从2020年1月起，我国爆发了以武汉为中心的新型冠状病毒肺炎疫情，湖北某市疫情监控机构统计了2月10日到15日每天新增病例的情况，统计数据如表（1）所示，其中2月11日这一天的25人中有男性15人，女性10人表（1）2月x日101112131415新增病例y人232526292831（1）工作人员根据疫情监控需要，对2月11日这一天的25人按性别分层抽取5人，再从这5人中抽取2人了解病毒传染情况，求抽取的这2人中至少有1名女性的概率；（2）2月10，11日这两天的48人中，最多经过三个阶段的治疗都痊
8、愈出院了，其中病症轻微的无需治疗仅凭自身免疫能力就能痊愈医院整理了48人各自经历的治疗次数，数据如表（2），以这48人治疗次数的频率代替1人治疗次数发生的概率从全省的新型冠状病毒肺炎患者中随机抽取2名患者，用X表示抽取的2名总共需要的治疗次数，求治疗次数X的分布列及数学期望治疗次数0123人数24128420如图所示，在多面体ABCDPQ中，平面PAD平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，ADCD，BCCD，AD2CD2BC2a（a为大于零的常数），PAD为等腰直角三角形，PAPD，E为AD的中点，PQBE（1）当DQEC时，求PQ的长；（2）在（1）的条件下，求二面角BAQD的大小21已知
9、F1、F2分别为椭圆C：（ab0）的左、右焦点，P为椭圆上一点，满足PF1x轴，|PF1|，且椭圆上的点到左焦点F1的距离的最大值为3（1）求椭圆C的方程；（2）若过点M（0，t）（t0）的直线l交椭圆C于A，B两点，3（其中O为坐标原点），与直线l平行且与椭圆C相切的两条直线分别为l1、l2，若l1与l2两直线间的距离，求直线l的方程22已知函数f（x）exaln（x+b）（1）若b0，函数g（x）a（x1）2+exaf（x），且函数g（x）在区间2，3上是减函数，求实数a的取值范围；（2）若ba，此时函数f（x）区间（0，+）上的最小值为1，求实数a的值参考答案一、单项选择题（本题共8小题
10、，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1若复数z满足，则z的共轭复数为（）ABCD解：，所以故选：D2已知集合Ax|x2，Bx|log2x，则AB（）Ax|xBx|xCx|0x4Dx|x4解：，故选：B3已知向量与，|3，|2，|+|，则已知向量与的夹角为（）ABCD解：向量与，|3，|2，|+|，所以9+4+219，所以 3，向量与的夹角为0，cos，所以故选：B4某养老院一楼有六个房间，现有6位男住户和4位女住户，要求安排其中2位女住户人住中间四个房间中的两个，安排其中4位男住户入住剩下的4个房间，则不同的安排方式有（）A25920种B26890种C
11、27650种D28640种解：先安排其中2位女住户人住中间四个房间中的两个，有种方法；再安排其中4位男住户入住剩下的4个房间，有种方法由乘法原理可得：25920种方法故选：A5中国古代数学专著九章算术中对两类空间几何体有这样的记载：“堑堵”，即底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；“阳马”，即底面为矩形，且有一侧棱垂直于底面的四棱锥现有一“堑堵”ABCA1B1C1，如图所示，ACBC，AA13，AC2，则其中“阳马”BA1ACC1与三棱锥B1A1C1B的体积之比为（）A2：1B3：1C3：2D4：1解：设BCh，由“阳马”的定义知，“阳马”BA1ACC1的体积，而“堑堵”ABCA1B1C
12、1的体积，故三棱锥B1A1C1B的体积V2VV13h2hh，于是“阳马”BA1ACC1与三棱锥B1A1C1B的体积之比为V1：V22：1故选：A6已知幂函数f（x）xa满足2f（2）f（16），若af（log42），bf（ln2），cf（），则a，b，c的大小关系是（）AacbBabcCbacDbca解：幂函数f（x）xa中，2f（2）f（16），所以22a16a，即2a+124a，所以a+14a，解得a，所以f（x），所以f（x）是定义域为R上的单调增函数；又af（log42），bf（ln2），cf（），且log42，ln2ln，所以log42ln2，即f（）f（log42）f（ln2），所
13、以bac故选：C7某工厂生产了10000根钢管，其钢管内径（单位：mm）近似服从正态分布N（20，2）（0），工作人员通过抽样的方式统计出，钢管内径高于20.05mm的占钢管总数的，则这批钢管中，内径在19.95mm到20mm之间的钢管数约为（）A4200根B4500根C4800根D5200根解：钢管内径在19.95mm到20mm之间的概率P，因此内径在19.95mm到20mm之间的钢管数约100004800根故选：C8已知函数f（x）+x|x|+2，且f（a）+f（2a3）4，则实数a的取值范围是（）A（1，+）B（，+）C（3，+）D（4，+）解：因为f（x）+x|x|+23+x|x|，所
14、以f（x）+f（x）3x|x|+3+x|x|，6624，因为f（a）+f（2a3）4f（a）+f（a），所以f（2a3）f（a），又f（x）+x|x|+23+x|x|在R上单调递增，所以2a3a，解得a3故选：C二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9下列命题为真命题的是（）Ax0R，x02+4x0+60B正切函数ytanx的定义域为RC函数的单调递减区间为（，0）（0，+）D矩形的对角线相等且互相平分解：对于A，因为4241680，所以x2+4x+60恒成立，所以A为假命题；对于B，正切
15、函数ytanx的定义域为R所以B为假命题；对于C，函数的单调递减区间为（，0），（0，+），所以C为假命题；对于D，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可以证，所以D为真命题故选：D10设函数f（x）sin（2x+），则下列结论正确的是（）Af（x）的一个周期为4Byf（x）的图象关于直线x对称C函数f（x）向左平移后所得函数为奇函数Df（x）在区间（，）上单调递增解：函数f（x）sin（2x+），对于A：函数的最小正周期为，所以4也为函数的周期，故A正确；对于B：当x时，f（）sin1，故B正确；对于C：函数f（x）的图象向左平移，得到g（x）sin（2x+）cos2x的图象，故函数g（x）为偶
16、函数，故C错误；对于D：当x（，）时，故函数在该区间上单调递增，故D正确故选：ABD11设x0，y0，则下列结论正确的是（）A不等式 恒成立B函数 f（x）3x+3x 的是小值为 2C函数 的最大值为 D若 x+y2，则 的最小值为 解：因为x0，y0，（x+y）（）2+4，当且仅当时取等号，A正确；因为3x1，则f（x）3x+3x 2，当且仅当3x3x，即x0时取等号，但x0，故B错误； ，当且仅当x，即x1时取等号，C正确； 因为x+y2，所以2x+2y4，则 （）（2x+1+2y+2）（3+），当且仅当时取等号，D错误故选：AC12已知双曲线C：1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1、F
17、2，则下列说法正确的是（）A若ab，F1（6，0），则它的方程是1B若b3，一条渐近线方程为3x2y0，则F2（4，0）CP为双曲线右支上一点，|PF1|2+a|PF2|18a2，则离心率e的取值范围为（1，3D若过F2的直线l与x轴垂直且与渐近线交于A、B两点，AF1O，则双曲线C的渐近线方程为y2x解：若ab，F（6，0），可得ca6，即有ab3，双曲线的方程为1，故A正确；一条渐近线方程为3x2y0，可得，又b3，则a2，c，则F2（，0），故B错误；设|PF1|m，|PF2|n，由双曲线的定义可得mn2a，由|PF1|2+a|PF2|18a2，可得m2+an18a2，即为（n+2a）2
18、+an18a2，解得n2a，由nca，可得c3a，即有1e3，故C正确；若过F2（c，0）的直线l与x轴垂直且与渐近线交于A（c，），、B（c，）两点，由AF1O，可得k，即为b22ac，则b412a2c212a2（a2+b2），解得b2（6+4）a2，则双曲线C的渐近线方程为yx，故D错误故选：AC三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13已知an为等差数列，公差d2，a2+a4+a618，则a5+a720解：an为等差数列，公差d2，a2+a4+a618，3a418，a46，a6a4+2d10，a5+a72a620，故答案为：2014某中学为了了解学生学习物理的情况，抽取了100
19、名物理成绩在6090分（满分为100分）之间的学生进行调查，将这100名学生的物理成绩分成了六段：60，65），65，70），70，75），75，80），80，85），85，90，绘成频率分布直方图，如图所示从成绩在70，80）的学生中任抽取2人，则成绩在75，80）的学生恰好有一人的概率为解：由频率分布直方图可知，成绩在70，75）的人数为0.04510020人，成绩在75，80）的人数为0.06510030人，所以成绩在75，80）的学生恰好有一人的概率为故答案为：15已知抛物线y22px（p0）上一点（5，m）到焦点的距离为6，准线为l，若l与双曲线C：1（a0，b0）的两条渐近线所围成
20、的三角形面积为2，双曲线C的离心率为3解：由题意，5+6，得1，即p2，则抛物线y24x的准线方程为x1，双曲线的渐近线方程为yx和yx，当x1时，y和y，即交点坐标为（1，），（1，），则围成三角形的面积S1（）2，由2，得b2a，b28a2c2a2，得c29a2，得c3a，即离心率e3，即双曲线的离心率为3，故答案为：316已知函数f（x）xexex，若f（x）a有且仅有两个不同的整数解，则函数f（x）的最小值为1；实数a的取值范围是（，解：f（x）xexex，f（x）（1+x）exexxex，当x0时，f（x）0，故f（x）在（，0）上单调递减；当x0时，f（x）0，故f（x）在（0，+
21、）上单调递增；当x0时，f（x）取到极小值f（0）1，也是最小值又f（1）0，f（0）1，当x时，f（x）0，当x时，f（x）+，f（x）a有且仅有两个不同的整数解，这两个整数解只能是1和0，f（1）af（2），即a，故答案为：1；（，四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知等比数列an的前n项和为Sn，公比q0，a11，a3a2+2若数列bn的前n项和为Tn，an+1bnSn+1Sn，求：（1）求数列an的通项公式；（2）求数列bn的前n项和Tn解：（1）由等比数列an的公比q0，a11，a3a2+2，q2q+2，解得q2an2n1（2）由（1）可
22、得：Sn2n1又an+1bnSn+1Sn，2nbn（2n+11）（2n1），可得：bn，数列bn的前n项和Tn+118已知a，b，c分别是ABC内角A，B，C所对的边，且满足a（sinAsinB）（sinC+sinB）（cb），若P为边AB上靠近B的三等分点，CP，求：（1）求cosC的值；（2）求b+2a的最大值解：（1）由题意及正弦定理得到a（ab）（c+b）（cb），即a2+b2c2ab，由余弦定理可得cosC（2）作ADBC角CP延长线于D，所以APDBPC，相似比，则DP，DC1，因为AD2a，可得DC2AD2+AC22ADACcos（A+B），所以14a2+b2+22abcosC，
23、所以4a2+b21ab，可得（2a+b）21+3ab，所以4a2+b+ab2+ab5ab，可得ab，当且仅当4a2b2时取等号，所以（2a+b）21+3ab，所以2a+b，即b+2a的最大值为19从2020年1月起，我国爆发了以武汉为中心的新型冠状病毒肺炎疫情，湖北某市疫情监控机构统计了2月10日到15日每天新增病例的情况，统计数据如表（1）所示，其中2月11日这一天的25人中有男性15人，女性10人表（1）2月x日101112131415新增病例y人232526292831（1）工作人员根据疫情监控需要，对2月11日这一天的25人按性别分层抽取5人，再从这5人中抽取2人了解病毒传染情况，求抽
24、取的这2人中至少有1名女性的概率；（2）2月10，11日这两天的48人中，最多经过三个阶段的治疗都痊愈出院了，其中病症轻微的无需治疗仅凭自身免疫能力就能痊愈医院整理了48人各自经历的治疗次数，数据如表（2），以这48人治疗次数的频率代替1人治疗次数发生的概率从全省的新型冠状病毒肺炎患者中随机抽取2名患者，用X表示抽取的2名总共需要的治疗次数，求治疗次数X的分布列及数学期望治疗次数0123人数241284解：（1）对2月11日这一天的25人按性别分层抽取5人，可知抽取的男生为3人，女生为2人，则所求事件的概率为P；（2）设“1人治疗次数”为事件Y，则P（Y0），P（Y1），P（Y2），P（Y3）
25、，由题意可知：X0，1，2，3，4，5，6，则P（X0），P（X1）2，P（X2），P（x3）2，p（X4），P（X5）2，P（X6），所以X的分布列如下： X 0 1 2 3 4 5 6 P E（X）0520如图所示，在多面体ABCDPQ中，平面PAD平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，ADCD，BCCD，AD2CD2BC2a（a为大于零的常数），PAD为等腰直角三角形，PAPD，E为AD的中点，PQBE（1）当DQEC时，求PQ的长；（2）在（1）的条件下，求二面角BAQD的大小解：（1）因为PAD为等腰直角三角形，PAPD，E为AD的中点，所以PEAD，又平面PAD平面ABCD，平面
26、PAD平面ABCDAD，PE平面PAD，则PE平面ABCD，又AE，BE平面ABCD，所以PEAE，PEBE，又DCBE，ADCD，所以BEAD，以EA，EB，EP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示，则A（a，0，0），D（a，0，0），B（0，a，0），C（a，a，0），P（0，0，a），Q（0，t，a），故，因为DQEC，所以，故a2+at0，解得ta，故Q（0，a，a），所以四边形PQBE为矩形，故PQa；（2）设点F为AB的中点，连结EF，因为QB平面ABCD，EF平面ABCD，所以QBEF，又AEB为等腰直角三角形，所以EFAB，又QBABB，QB，AB平面AB
27、Q，所以EF平面ABQ，故为平面ABQ的一个法向量，且，设平面ADQ的法向量为，又，所以，即，令z1，则x0，y1，故，所以，由图可知二面角BAQD是锐二面角，故二面角BAQD的平面角为6021已知F1、F2分别为椭圆C：（ab0）的左、右焦点，P为椭圆上一点，满足PF1x轴，|PF1|，且椭圆上的点到左焦点F1的距离的最大值为3（1）求椭圆C的方程；（2）若过点M（0，t）（t0）的直线l交椭圆C于A，B两点，3（其中O为坐标原点），与直线l平行且与椭圆C相切的两条直线分别为l1、l2，若l1与l2两直线间的距离，求直线l的方程解：（1）由题意可得|PF1|，即b2a，由于椭圆上的点到左焦点
28、F1的距离最大值为3，所以a+c3，又因为a2b2+c2，由，解得a2，b23，所以椭圆的方程为+1（2）当直线l垂直于x轴时，A，B为椭圆的上，下顶点，此时l1与l2 距离为长轴长4，不满足条件，所以直线l的斜率存在，设直线l的方程为ykx+t，联立，整理得（3+4k2）x2+8ktx+4t2120，则x1+x2，x1x2，又x1 x2+y1y2x1x2+（kx1+t）（kx2+t）（1+k2）x1x2+kt（x1+x2）+t23，所以（1+k2）+kt（）+t23，解得t或t（负值舍去），设直线l1，l2的方程为ykx+m，联立，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2120，令（8km）2
29、4（4k2+3）（4m212）0，解得m24k2+3，所以直线l1，l2的距离为d22，解得k2，所以直线l的方程为y2x+或y2x+22已知函数f（x）exaln（x+b）（1）若b0，函数g（x）a（x1）2+exaf（x），且函数g（x）在区间2，3上是减函数，求实数a的取值范围；（2）若ba，此时函数f（x）区间（0，+）上的最小值为1，求实数a的值解：（1）函数f（x）exaln（x+b），当b0时，g（x）a（x1）2+exaf（x）a（x1）2+lnx，则g（x）2a（x1）+，因为g（x）在2，3上为减函数，所以g（x）0在2，3上恒成立，即对x2，3恒成立，因为y2x（x1）2x22x，所以函数y2x（x1）在2，3上单调递增，则函数y的最小值为22（21）4，则函数在2，3上的最大值为，故a；（2）当ba时，f（x）exaln（x+a），则f（x）exa，令f（x0）0，即，又f（x）exa+0在（0，+）上恒成立，则f（x）在（0，+）上单调递增，所以当x（0，x0）时，f（x）0，f（x）单调递减，当x（x0，+）时，f（x）0，f（x）单调递增，则f（x）的最小值为f（x0），由题意可知，函数f（x）区间（0，+）上的最小值为1，所以1，由解得