1、湖北省荆州市部分县市2015届高三上学期期末数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1设复数z=（i为虚数单位），z的共轭复数为，则在复平面内i对应当点的坐标为( )A（1，1）B（1，1）C（1，1）D（1，1）考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：化简复数为a+bi的形式，即可得到复数i对应当点的坐标解答：解：复数z=1+i，i=1i，在复平面内i对应当点的坐标为（1，1）故选：C点评：本题考查复数代数形式的混合运算，复数对应的点的几何意义，基本知识的考查2设全集U=R，A=x|x（x2）0，B=x|y=ln（1x）0，则图中阴影部分表示的集合为
2、( )Ax|0x1Bx|1x2Cx|x1Dx|x1考点：Venn图表达集合的关系及运算 专题：集合分析：由图象可知阴影部分对应的集合为A（UB），然后根据集合的基本运算求解即可解答：解：由Venn图可知阴影部分对应的集合为A（UB），A=x|x（x2）0=x|0x2，B=x|y=ln（1x）0=x|1x0=x|x1，UB=x|x1，即A（UB）=x|1x2故选：B点评：本题主要考查集合的基本运算，利用图象先确定集合关系是解决本题的关键，比较基础3已知命题p：“x1，2，x2a0”，命题q：“xR使x2+2ax+2a=0”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是( )Aa|a1Ba|a2
3、或1a2Ca|2a1Da|a2或a=1考点：复合命题的真假 专题：简易逻辑分析：由命题p可得：a（x2）min，解得a1；由命题q可得：0，解得a1或a2由命题“p且q”是真命题，可知p，q都是真命题，即可解出解答：解：命题p：“x1，2，x2a0”，a（x2）min，a1；命题q：“xR使x2+2ax+2a=0”，则=4a24（2a）0，解得a1或a2若命题“p且q”是真命题，则，解得a2或a=1则实数a的取值范围是a|a2或a=1故选：D点评：本题考查了复合命题的真假判定方法、一元二次方程的实数根与判别式的关系、恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与几十年令，属于基础题4函数y=sin
4、2x+acos2x的图象左移个单位后所得函数的图象关于直线x=对称，则a=( )A1BC1D考点：函数y=Asin（x+）的图象变换 专题：三角函数的图像与性质分析：先将函数y=sin2x+acos2x利用辅角公式化简，然后求出平移后的解析式，根据正弦函数在对称轴上取最值可得答案解答：解：由题意知y=sin2x+acos2x=sin（2x+），tan=a，函数y=sin2x+acos2x的图象左移个单位后所得函数y=sin（2x+2+）=sin（2x+），的图象，函数的图象关于直线x=对称，=k，kZ，=k+，kZ，tan=a，a=tan（k+）=1故选：C点评：本题主要考查三角函数的辅角公式
5、，三角函数的图象的平移变换，考查正弦函数的对称性问题属基础题5在区域内任取一点P，则点P落在单位圆x2+y2=1内的概率为( )ABCD考点：几何概型；二元一次不等式（组）与平面区域 专题：概率与统计分析：作出不等式组对应的平面区域，求出对应的面积，结合几何概型的概率公式即可得到结论解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：则B（，0），C（，0），A（0，），则ABC的面积S=，点P落在单位圆x2+y2=1内的面积S=，则由几何概型的概率公式得则点P落在单位圆x2+y2=1内的概率为=，故选：C点评：本题主要考查几何概型的概率的计算，利用数形结合求出对应的区域面积是解决本题的关键6已知平面向
6、量，的夹角为，且|=，|=2，在ABC中，=2+2，=26，D为BC中点，则|=( )A2B4C6D8考点：平面向量数量积的运算 专题：平面向量及应用分析：由已知中平面向量，的夹角为，且|=，|=2，=3，再由D为边BC的中点，=2，利用平方法可求出2=4，进而得到答案解答：解：平面向量，的夹角为，且|=，|=2，=|cos=3，由D为边BC的中点，=2，2=（2）2=4，=2；故选：A点评：本题考查了平面向量数量积，向量的模，一般地求向量的模如果没有坐标，可以通过向量的平方求模7已知函数f（x）=x3+ax+4则“a0”是“f（x）在R上单调递增”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充
7、要条件D既不充分，也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：导数的概念及应用；简易逻辑分析：利用函数单调性和导数之间的关系求出a的取值范围结合充分条件和必要条件的定义进行判断解答：解：若f（x）在R上单调递增，则函数的f（x）的导数f（x）=x2+a0恒成立，即a0，“a0”是“f（x）在R上单调递增”的充分不必要条件，故选：A点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键8在ABC中，若a=4，b=3，cosA=，则B=( )ABC或D考点：余弦定理 专题：解三角形分析：cosA=，A（0，），可得，由正弦定理可得：，即可得出si
8、nB而ab，可得AB即可得出解答：解：cosA=，A（0，），=由正弦定理可得：，sinB=ab，ABB为锐角，故选：A点评：本题考查了正弦定理的应用、同角三角函数基本关系式，考查了计算能力，属于基础题9已知函数f（x）=|log2x|，正实数m，n满足mn，且f（m）=f（n），若f（x）在区间m，n上的最大值为2，则m+n=( )ABC+D考点：对数函数的单调性与特殊点 专题：计算题；函数的性质及应用分析：由题意可知0m1n，以及mn=1，再f（x）在区间m，n上的最大值为2可得出f（m）=2求出m，故可得m+n的值解答：解：由对数函数的性质知f（x）=|log2x|正实数m、n满足mn，
9、且f（m）=f（n），0m1n，以及mn=1，又函数在区间m，n上的最大值为2，由于f（m）=f（n），故可得f（m）=2，即|log2m|=2，即log2m=2，即m=，可得n=4，则m+n=故选D点评：本题考查对数函数的值域与最值，求解本题的关键是根据对数函数的性质判断出0m1n，以及mn=1及f（x）在区间m，n上的最大值的位置根据题设条件灵活判断对解题很重要10过双曲线=1（a0，b0）的左焦点F（c，0）作圆x2+y2=a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2=4cx于点P，O为原点，若|FE|=|EP|，则双曲线离心率为( )ABCD考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线
10、的定义、性质与方程分析：双曲线的右焦点的坐标为（c，0），利用O为FF的中点，E为FP的中点，可得OE为PFF的中位线，从而可求|PF|，再设P（x，y） 过点F作x轴的垂线，由勾股定理得出关于a，c的关系式，最后即可求得离心率解答：解：设双曲线的右焦点为F，则F的坐标为（c，0）因为抛物线为y2=4cx，所以F为抛物线的焦点 因为O为FF的中点，E为FP的中点，所以OE为PFF的中位线，所以OEPF因为|OE|=a，所以|PF|=2a又PFPF，|FF|=2c 所以|PF|=2b 设P（x，y），则由抛物线的定义可得x+c=2a，所以x=2ac 过点F作x轴的垂线，点P到该垂线的距离为2a
11、由勾股定理 y2+4a2=4b2，即4c（2ac）+4a2=4（c2a2）得e2e1=0，e=故选：A点评：本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，考查抛物线的定义，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分请将答案填在答题卡对应题号的位置上答错位置，书写不清，横棱两可均不得分11从某校2015届高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中的视力情况进行统计，其频率分布直方图如图所示若某高校A专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A专业的人数为20考点：频率分布直方图 专题：概率与统计分
12、析：根据频率分布直方图，求出视力在0.9以上的频率，即可得出该班学生中能报A专业的人数解答：解：根据频率分布直方图，得：视力在0.9以上的频率为（1.00+0.75+0.25）0.2=0.4，该班学生中能报A专业的人数为500.4=20；故答案为：20点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，解题时应利用频率分布直方图，会求某一范围内的频率以及频数，是基础题12己知集合，A=x|x=2k，kN，如图所示程序框图（算法流程图），输出值x=11考点：程序框图 分析：按照程序框图的流程，写出前几次循环得到的结果，直到满足判断框中的条件，结束循环，输出结果解答：解：经过一次循环得到的结果为x=5经过第
13、二次循环得到的结果为x=3经过第三次循环得到的结果为x=7经过第四次循环得到的结果为11，满足条件执行输出故输出值为11故答案为11点评：解决程序框图中的循环结构时，常用的方法是写出前几次循环的结果，找规律13若向量=（1，2），=（1，1），则2+与的夹角等于考点：平面向量数量积的运算 专题：平面向量及应用分析：利用数量积运算及定义、向量的夹角公式即可得出解答：解：设2+与的夹角为向量=（1，2），=（1，1），2+=2（1，2）+（1，1）=（3，3），=（0，3）（2+）（）=0+9=9，|2+|=，|=3，（2+）（）=|2+|cos，=0，故答案为：点评：本题考查了数量积运算及定义、
14、向量的夹角公式，属于基础题14已知sin（）=，且，则cos的值为考点：两角和与差的正弦函数 专题：三角函数的求值分析：由的范围求出的范围，由平方关系求出的值，由和两角差的余弦公式求出cos的值解答：解：由题意得，则，cos=，故答案为：点评：本题考查了平方关系，两角差的余弦公式，以及三角函数符号的应用，注意三角函数的符号和角之间的关系15已知不等式0的解集为x|axb，点A（a，b）在直线mx+ny+1=0上，其中mn0，则+的最小值为9考点：基本不等式在最值问题中的应用 专题：计算题；不等式的解法及应用分析：不等式0的解集为x|axb，可得a=2，b=1，代入直线方程可得m、n的关系，再利
15、用1的代换结合均值不等式求解即可解答：解：不等式0的解集为x|axb，a=2，b=1，点A（a，b）在直线mx+ny+1=0上，2mn+1=0，即2m+n=1，mn0，m0，n0，+=（+）（2m+n）=5+5+2=9当且仅当m=n=时取等号，即+的最小值为9故答案为：9点评：本题考查了不等式的解法和均值不等式等知识点，运用了整体代换思想，是2015届高考考查的重点内容16等比数列an的前n项和为Sn，若=，则q=考点：等比数列的前n项和 专题：等差数列与等比数列分析：由题意易得q5=，解方程可得q解答：解：等比数列an的前n项和为Sn，且=，=，q5=，解得q=故答案为：点评：本题考查等比数
16、列的前n项和，属基础题17已知函数f（x）=x（lnx+mx）有两个极值点，则实数m的取值范围是（，0）考点：函数在某点取得极值的条件 专题：计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用分析：f（x）=xlnx+mx2（x0），f（x）=lnx+1+2mx令g（x）=lnx+1+2mx，由于函数f（x）=x（lnx+mx）有两个极值点g（x）=0在区间（0，+）上有两个实数根g（x）=+2m当m0时，直接验证；当m0时，利用导数研究函数g（x）的单调性可得：当x=时，函数g（x）取得极大值，故要使g（x）有两个不同解，只需要g（）0，解得即可解答：解：f（x）=xlnx+mx2（x0），f（x）=
17、lnx+1+2mx令g（x）=lnx+1+2mx，函数f（x）=x（lnx+mx）有两个极值点，则g（x）=0在区间（0，+）上有两个实数根g（x）=+2m，当m0时，g（x）0，则函数g（x）在区间（0，+）单调递增，因此g（x）=0在区间（0，+）上不可能有两个实数根，应舍去当m0时，令g（x）=0，解得x=令g（x）0，解得0x，此时函数g（x）单调递增；令g（x）0，解得x，此时函数g（x）单调递减当x=时，函数g（x）取得极大值当x趋近于0与x趋近于+时，g（x），要使g（x）=0在区间（0，+）上有两个实数根，则g（）=ln（）0，解得0m实数m的取值范围是（，0）故答案为：（，0
18、）点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值，考查了等价转化方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题三、解答题：本大题共5小题，共65分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤18设函数f（x）=cos（2x+）+sin2x（）求函数f（x）的最大值和最小正周期；（）设A，B，C为ABC的三个内角，若cosB=，f（）=，且C为锐角，求sinA考点：三角函数中的恒等变换应用 专题：三角函数的图像与性质分析：（）首先化简函数f（x）=cos（2x+）+sin2x，然后根据正弦函数的最大值是1，最小值是1，求出函数f（x）的最大值，进而求出它的最小正周期即可；（）首先根据f（x）的解析式，
19、f（）=，求出角C的正弦值，进而求出角C的大小；然后求出角B的正弦、余弦，最后根据两角和的正弦公式，求出sinA的值即可解答：解：（1）f（x）=cos（2x+）+sin2x=，所以当sin2x=1时，函数f（x）的最大值为，它的最小正周期为：=；（2）因为=，所以，因为C为锐角，所以；因为在ABC 中，cosB=，所以，所以点评：本题主要考查了三角函数的最值以及最小正周期的求法，属于基础题19已知等差数列an的前n项和为Sn，公差d0，且S3+S5=50，a1，a4，a13成等比数列（）求数列an的通项公式；（）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列bn的前n项和Tn考点：等差数列与等比数
20、列的综合 专题：计算题分析：（I）将已知等式用等差数列an的首项、公差表示，列出方程组，求出首项、公差；利用等差数列的通项公式求出数列an的通项公式（II）利用等比数列的通项公式求出，进一步求出bn，根据数列bn通项的特点，选择错位相减法求出数列bn的前n项和Tn解答：解：（）依题意得解得，an=a1+（n1）d=3+2（n1）=2n+1，即an=2n+1（），bn=an3n1=（2n+1）3n1Tn=3+53+732+（2n+1）3n13Tn=33+532+733+（2n1）3n1+（2n+1）3n2Tn=3+23+232+23n1（2n+1）3nTn=n3n点评：解决等差、等比两个特殊数列
21、的问题，一般将已知条件用基本量表示，列出方程组解决；求数列的前n项和，一般先求出数列的通项，根据通项的特点选择合适的求和方法20如图，已知四棱锥PABCD，底面ABCD为菱形，PA平面ABCD，ABC=60，点E、G分别是CD、PC的中点，点F在PD上，且PF：FD=2：1（）证明：EAPB；（）证明：BG面AFC考点：直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定 专题：空间位置关系与距离分析：（）先利用直线与平面的判定定理证明EA面PAB，然后利用直线与平面垂直的性质可得结论；（）取PF中点M，连接MG，可证MG面AFC，连接BM，BD，设ACBD=O，连接OF，可证BM面AFC，根据面面平行
22、的判定定理可得面BGM面AFC，最后根据面面平行的性质可证BG面AFC解答：（本小题满分12分）解：（）证明：因为面ABCD为菱形，且ABC=60，所以ACD为等边三角形，又因为E是CD的中点，所以EAAB又PA平面ABCD，所以EAPA 而ABPA=A所以EA面PAB，所以EAPB （）取PF中点M，所以PM=MF=FD连接MG，MGCF，所以MG面AFC连接BM，BD，设ACBD=O，连接OF，所以BMOF，所以BM面AFC而BMMG=M所以面BGM面AFC，所以BG面AFC点评：本题主要考查了直线与平面垂直的性质，以及直线与平面平行的判定，同时考查了空间想象能力和论证推理的能力，属于基础
23、题21某分公司经销某种品牌的产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a（3a5）元的管理费，预计当每件产品的售价为x（9x11）元时，一年的销售量为（12x）2万件（1）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q（a）考点：导数在最大值、最小值问题中的应用 专题：应用题分析：（1）根据题意先求出每件产品的利润，再乘以一年的销量，便可求出分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；（2）根据L与x的函数关系式先求出该函数的导数，令L（x）=0便可求出极值点，从而求出时最大利润，
24、再根据a的取值范围分类讨论当a取不同的值时，最大利润各为多少解答：解：（1）分公司一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为：L=（x3a）（12x）2，x9，11（2）L（x）=（12x）2+2（x3a）（12x）（1）=（12x）22（x3a）（12x）=（12x）（18+2a3x）令L（x）=0得x=6+a或x=12（不合题意，舍去）3a5，86+a在x=6+a两侧L的值由正值变负值所以，当86+a9，即3a时，Lmax=L（9）=（93a）（129）2=9（6a）；当96+a，即a5时，Lmax=L（6+a）=（6+a3a）12（6+a）2=4（3a）3，即当3a时，当每件售价为9元，
25、分公司一年的利润L最大，最大值Q（a）=9（6a）万元；当a5时，当每件售价为（6+a）元，分公司一年的利润L最大，最大值Q（a）=4（3a）3万元点评：本题主要考查了函数的导数的求法以及利用导数来求得函数的最值问题，是各地2015届高考的热点和难点，解题时注意自变量的取值范围以及分类讨论等数学思想的运用，属于中档题22已知A，B是椭圆C：+=1（ab0）的左，右顶点，B（2，0），过椭圆C的右焦点F的直线交于其于点M，N，交直线x=4于点P，且直线PA，PF，PB的斜率成等差数列（）求椭圆C的方程；（）若记AMB，ANB的面积分别为S1，S2求的取值范围考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：
26、计算题分析：（）令P（4，y0），F（c，0），a=2，A（2，0），B（2，0）由2kPF=kPA+kPB，知，由此能得到椭圆C的方程（）令M（x1，y1），N（x2，y2），得（3m2+4）y2=6my9=0y2+6my9=0，再由韦达定理和三角形的面积公式进行求解解答：解：（）令P（4，y0），F（c，0），a=2，A（2，0），B（2，0）2kPF=kPA+kPB，c=1，b2=3，（）令M（x1，y1），N（x2，y2），得（3m2+4）y2=6my9=0y2+6my9=0，2/得，令t=，则|t|+|=|t+|=，即，点评：本题考查椭圆方程的求法和三角形面积比值的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意韦达定理的合理运用
