1、2.2.2 对数函数及其性质 第1课时 对数函数的图象及性质【自主预习】主题1:对数函数的概念 1.考古学家一般通过提取附着在出土文物、古遗址上 死亡物体的残留物，利用 (P为碳14含量)估 算出土文物或古遗址的年代t.那么t是P的函数吗？为 什么？5 730 12tlogP提示：t是P的函数，因为对于P每取一个确定的值按照 对应关系f:都有唯一的值与之相对应，故t 是P的函数.5 730 12tlogP，2.问题1中函数 的解析式与函数y=log2x的 解析式有什么共同特征？文字语言描述：它们都是自变量出现在_位置上，底数为常数，以_为函数值的函数.符号语言描述：_(a0，a1).5 730
2、 12tlogP真数 对数 y=logax 对数函数的定义：函数_，叫做对 数函数，其中x是_，函数的定义域是_.y=logax(a0且a1)自变量(0，+)主题2：对数函数的图象与性质 1.在同一坐标系内画出函数y=log2x和y=log3x的图象.并说出函数图象从左到右的变化趋势.提示：(1)列表 x 1 2 3 4 y=log2x-2-log23-1 0 1 log23 2 y=log3x-log34-1-log32 0 log32 1 log34 141312描点画图 (2)图象的变化趋势：这两个函数的图象从左到右均是不断上升的.2.在问题1所画图象的基础上，再画出函数 和 的图象，并
3、说出新画出的两个函数图象的变化 趋势及这四个函数图象的特征.12ylog x13ylog x提示：(1)函数 和 的图象从左到右是下降的.(2)函数y=log2x和 的图象关于x轴对称，同 样，函数y=log3x和 的图象也关于x轴对称.12ylog x13ylog x12ylog x13ylog x(3)这四个函数的定义域均为(0，+)，值域为R，都过定点(1，0).(4)由指数式y=2x可得到对数式x=log2y，习惯上写成y=log2x，称y=log2x为y=2x的反函数，反之，y=2x也是y=log2x的反函数.y=logax(a1)y=logax(0a1)y=logax(0a0，即x
4、1，故定义域为(1，+).【备选训练】已知对数函数f(x)=logax满足 f(2)=1，则a=.【解析】因为f(2)=1，所以loga2=1，故a=2.答案：2 3.已知函数f(x)=loga(x-1)+1(a0且a1)，则f(x)的图象必经过定点 .【解析】令x-1=1得x=2，把x=2代入y=loga(x-1)+1得y=1，故函数f(x)过定点(2，1).答案：(2，1)4.已知对数函数f(x)过点(2，4)，则f(x)的解析式 为_.【解析】设f(x)=logax，则由f(2)=loga2=4得 a4=2,所以 所以f(x)=答案：f(x)=4a2，4 2log x.4 2log x5
5、.比较下列各组数的大小.(仿照教材P72例8的解析过程)(1)ln0.3，ln2.(2)loga3.1，loga5.2(a0，a1).【解析】(1)因为函数y=lnx是增函数，且0.32，所以ln0.31时，函数y=logax在(0，+)上是增函数，又3.15.2，所以loga3.1loga5.2；当0a1时，函数y=logax在(0，+)上是减函数，又3.1loga5.2.【互动探究】1.请你根据所学过的知识，思考对数函数解析式中的底数能否等于0或小于0？提示：因为y=logaxx=ay，而在指数函数中底数a需满足a0且a1，故在对数函数解析式中a的取值范围不能等于0或小于0.2.结合对数函
6、数的图象说明对数函数的单调性与什么量有关？提示：对数函数的单调性与解析式中的底数a有关，若a1，则对数函数是增函数，若0a1，则对数函数是减函数.3.将不同底数的对数函数的图象画在同一平面直角坐标系中，若沿直线y=a(a0)自左向右观察能得到什么结论？提示：将不同底数的对数函数的图象画在同一个平面直角坐标系中，沿直线y=a(a0，且a1)；y=log2x-1；y=2log8x；y=logxa(x0，且x1)；y=log5x.【解题指南】观察函数解析式的形式，看是否满足对数函数的定义，然后再下结论.【解析】因为中真数是x2，而不是x，所以不是对数函数；因为中y=log2x-1常数项为-1，而非0
7、，故不是对数函数；因为中log8x前的系数是2，而不是1，所以不是对数函数；因为中底数是自变量x，而非常数a，所以不是对数函数.为对数函数.【规律总结】判断一个函数是否是对数函数的方法(1)看形式：判断一个函数是否是对数函数，关键是看解析式是否符合y=logax(a0且a1)这一结构形式.(2)明特征：对数函数的解析式具有三个特征：系数为1；底数为大于0且不等于1的常数；对数的真数仅有自变量x.只要有一个特征不具备，则不是对数函数.【巩固训练】1.函数f(x)=(a2-a+1)log(a+1)x是对数函数，则实数a=.【解析】由题意得a2-a+1=1，解得a=0或1，又a+10且a+11，所以
8、a=1.答案：1 2.若函数y=f(x)是函数y=ax(a0且a1)的反函数，其图象经过点 求f(2).【解题指南】同底的指数函数与对数函数互为反函 数，因此可设f(x)=logax，然后结合条件求出a，进而确定f(2)的值.32(2)3，【解析】设f(x)=logax，由题意知 故 所以 因此 所以f(2)=32f(2)3，3a2log23，2133a2，a2，222log2log(2)2.类型二：对数函数图象问题【典例2】(1)如图所示的曲线是对数函数y=logax，y=logbx，y=logcx，y=logdx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为 .(2)已知f(x)=loga|x|
9、，满足f(-5)=1，试画出函数f(x)的图象.【解题指南】(1)过点(0，1)作平行于x轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c，d，a，b，通过观察图象即可确定a，b，c，d与1的大小关系.(2)先利用条件f(-5)=1求出a的值，然后画出x0时，f(x)的图象，再把x0时的图象关于y轴对称，即可画出函数f(x)的图象.【解析】(1)由图可知函数y=logax，y=logbx的底数a1，b1，函数y=logcx，y=logdx的底数0c1，0da1dc.答案：ba1dc(2)因为f(-5)=1,所以loga5=1,即a=5，故f(x)=log5|x|=所以函数y=log5|x
10、|的图象如图所示.55log xx0,log(x)x 0.，【延伸探究】1.(改变问法)典例2(2)条件不变，试写出函数f(x)=loga|x|的值域及单调区间.【解析】由典例2(2)的图象知f(x)的值域为R，递增区间为(0，+)，递减区间为(-，0).2.(变换条件)若把典例2(2)中的函数改为y=log5|x+1|，请画出它的图象.【解析】利用图象变换来解题，画出函数y=log5|x|的图象，将函数y=log5|x|的图象向左平移1个单位，即可得函数y=log5|x+1|的图象，如图所示.3.(变换条件)若把典例2(2)中的函数改为y=logb(x-1)(b0且b1)，试求该函数恒过的定
11、点.【解析】令x-1=1得x=2，又y=logb1=0，故该函数恒过 定点(2，0).【规律总结】1.根据对数函数图象判断底数大小的方法 作直线y=1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小.2.对数型函数图象恒过定点问题 解决此类问题的根据是对任意的a0且a1，都有loga1=0.例如，解答函数y=m+logaf(x)(a0且a1)的图象恒过定点问题时，只需令f(x)=1求出x，即得定点(x，m).【拓展延伸】函数图象对称性的特例及推广(1)y=ax与y=(a0且a1)x1()a特例函数y=ax与函数y=的图象关
12、于y轴对称推广函数y=f(x)与函数y=f(-x)的图象关于y轴对称x1()a(2)y=logax与y=(a0且a1)特例函数y=logax与函数y=的图象关于x轴对称推广函数y=f(x)与函数y=-f(x)的图象关于x轴对称1alog x1alog x【巩固训练】已知a0，且a1，则函数y=ax与y=loga(-x)的图象可能是()【解析】选B.方法一：若0a1，则函数y=ax的图象上升且过点(0，1)，而函数y=loga(-x)的图象下降且过点(-1，0)，只有B中图象符合.方法二：首先指数函数y=ax的图象只可能在上半平面，函数y=loga(-x)的图象只可能在左半平面，从而排除A，C；
13、再看单调性，y=ax与y=loga(-x)的单调性正好相反，排除D.只有B中图象符合.类型三：与对数函数有关的函数定义域问题【典例3】(2016郑州高一检测)求下列函数定义域：(1)f(x)=lg(x-2)+(2)f(x)=logx+1(16-4x).【解题指南】首先考虑函数f(x)有意义时自变量x应满足的条件，然后解不等式组即可.1.x3【解析】(1)由 得x2且x3,所以定义域为(2,3)(3,+).(2)由 即 解得-1x0或0 x4.所以定义域为(-1，0)(0,4).x2 0,x30,164x0,x 1 0,x 1 1,4x 16,x1,x0,【规律总结】求函数定义域的三个步骤(1)
14、列不等式(组)：根据函数f(x)有意义列出x满足的不等式(组).(2)解不等式(组)：根据不等式(组)的解法步骤求出x满足的范围.(3)结论：写出函数的定义域.提醒：(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集.(2)当对数型函数的底数含字母时，在求定义域时要注意分类讨论.【巩固训练】函数y=的定义域为()【解析】选A.要使函数y=有意义需2x-30，即 lg 2x333A.(,)B.()222C.(2)D.()3 ，lg 2x33x.2【巩固训练】求下列函数的定义域.(1)(2)y=(a0,且a1).1y.lg(x 1)3alog(3 4x)【解析】(1)由 得 所以x-1 且x999，所以函数的定义域为x|x-1且x999.lg(x 1)30 x 10,，3x 1 10,x1,(2)loga(3-4x)0.(*)当a1时，(*)可化为loga(3-4x)loga1,所以3-4x1,x 当0a1时，(*)可化为loga(3-4x)loga1，所 以01时，函数定义域为 当0a1 时，函数定义域为 1.213x.241(,;21 3,).2 4