1、山东师大附中2018级高二第二学期5月数学检测题、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.若复数为纯虚数，则实数a的值为（ ）A. B. C. 0D. 1【答案】D【解析】【分析】首先把复数化简得到，要使复数为纯虚数，只需满足且，解得即可.【详解】解：，要使复数为纯虚数，需满足：，解得.故选：D.【点睛】本题主要考查复数的运算，考查学生的计算能力，属于基础题.2.（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据一个连续整数的乘积的形式，可得到这组整数的最大值和数字的个数，再利用排列数公式求解.【详解】因为是从18开始，表示
2、11个数字的乘积的一个式子，所以.故选：C【点睛】本题主要考查排列数公式，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.3.春节期间新型冠状病毒肺炎疫情在湖北爆发，为了打赢疫情防控阻击战，我省某医院呼吸科要从3名男医生，2名女医生中选派3人，到湖北省的A，B，C三地参加疫情防控工作，若这3人中至少有1名女医生，则选派方案有（ ）A. 9种B. 12种C. 54种D. 72种【答案】C【解析】【分析】先从5名医生中选3人，排除所选医生都为男医生的情况，再安排到A,B,C三地即可.【详解】3人中至少有1名女医生,考虑间接法，先任选3名医生共有种选法，没有女医生被选上的情况为，因此3人中至少有1名女医生的选法
3、为种，安排到湖北省的A，B，C三地共有种，故选：C【点睛】本题主要考查排列、组合的应用，涉及分步乘法计数原理，间接法，属于中档题.4.已知函数的导函数为，且满足，则等于（ ）A. B. C. D. 1【答案】B【解析】【分析】函数求导，令，即可求出，由解析式直接计算即可.【详解】,令，则，解得，故选：B【点睛】本题主要考查了利用函数的导数求函数解析式，根据解析式求函数值，属于容易题.5.现有5种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有( )A. 120种B. 180种C. 60种D. 48种【答案】B【解析】【分析】先对中间的两块区域进
4、行涂色，再对剩余两块进行涂色，则问题得解.【详解】先对中间两块涂色，则共有种涂色方案，再对剩余两块涂色，则共有种；故满足题意的所有涂色方案有种.故选：B.【点睛】本题考查涂色问题的处理，属基础题.6.函数的图象的大致形状是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求函数导数，再利用导数可知当时，由函数单调性即可求解.【详解】因为，所以，令，则当时，由与的图象知，,（也可继续求导确定）所以在上单调递增，所以，即在上恒成立，所以函数在上单调递增，故选：A【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，最值，图象的识别，考查了推理运算能力，属于中档题.7.在正三棱柱中，则与平面所成角的
5、余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】过作,可证平面，连接,可知即所求线面角，计算即可求解.【详解】如图，过作，连接，在正三棱柱中，因为,，所以平面，故在平面上的射影为,所以为直线与平面所成的角，设在中，,所以,故,故选：A【点睛】本题主要考查了直线与平面所成的角，线面垂直的判定，解三角形，属于中档题.8.函数的极值点的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】A【解析】【分析】先对求导得，无法判断其符号，通过求二阶导判断其符号，从而得原函数单调性，即可知其极值点个数.【详解】因为，设，所以当时，递增；时，递减，所以的最小值为，所以，故单增，所以无极值点故选
6、：A.【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值点，解题关键在于对函数求一阶导数后无法判断其符号，需要对其求二阶导判断一阶导的符号，得原函数的单调性，属于中档题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分；部分选对的得3分；有选错的得0分9.已知复数，则以下说法正确的是（ ）A. 复数的虚部为B. C. 的共轭复数D. 在复平面内与对应的点在第二象限【答案】BD【解析】【分析】化简复数，再根据复数的概念与运算判断每个选项.【详解】复数,则复数的虚部为，故错；，B正确；的共轭复数，C错误；对应的点在第二象限，D正确.故选:BD【点睛】
7、本题考查了复数的概念和运算,属于容易题.10.已知是可导的函数，且，对于恒成立，则下列不等关系正确的是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】AC【解析】【分析】根据，构造，用导数法得到在R上是减函数，然后利用单调性定义求解.【详解】设，所以，因为，所以，所以在R上是减函数，所以，即，故选：AC【点睛】本题主要考查函数与函数的单调性比较大小，还考查了运算求解的能力，属于中档题.11.下列有关说法正确的是（ ）A. 的展开式中含项的二项式系数为B. 的展开式中含项的系数为C. 已知随机变量服从正态分布，则D. 已知随机变量服从正态分布，则【答案】ACD【解析】【分析】求出的展开式通项，利用
8、二项式定理可判断A、B选项的正误；利用正态密度曲线的对称性可判断C、D选项的正误.【详解】的展开式通项为，令，得，所以，的展开式中含项的二项式系数为，系数为，A选项正确，B选项错误；随机变量服从正态分布，C、D选项均正确.故选：ACD.【点睛】本题考查二项式系数、项的系数的计算，同时也考查了利用正态密度曲线求概率，考查计算能力，属于基础题.12.设函数，若方程有六个不等的实数根，则实数a可取的值可能是（ ）A. B. C. 1D. 2【答案】BC【解析】【分析】利用导数以及图象的变换得出函数的图象，根据图象得出当时，有三个不同的x与对应，令，得出在内有两个不等的实根，最后由二次函数零点的分布求
9、范围即可.【详解】当时，则由得，即，此时为减函数，由得，即，此时为增函数，即当时，取得极小值，作出的图象如图：由图象可知当时，有三个不同的x与对应设，方程有六个不等的实数根所以在内有两个不等的实根设即则实数a可取的值可能是，1故选：BC【点睛】本题主要考查了根据函数零点的个数求参数的范围，涉及了二次函数的零点的分布求参数的范围，属于中档题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分（其中第16题第一个空2分，第二个空3分）13.若的二项展开式中只有第五项的二项式系数最大，则_【答案】8【解析】【分析】根据二项式系数的概念以及题意列不等式组，解得结果即可.【详解】因为的二项展开式中只有第五项
10、的二项式系数最大，所以，即，即，解得，因为，所以.故答案为：8.【点睛】本题考查了二项式系数的概念和性质，考查了组合数公式，属于基础题.14.已知函数，其中，若过原点且斜率为k的直线与曲线相切，则 的值为_【答案】【解析】【分析】设切点为，根据导数值等于切线斜率，切点在曲线上，也在直线上，联系方程组并化简即可求得答案.【详解】设切点为，则，又，则，又切线方程为：，则，则，得，得，故. 故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义，设出切点，应用导数值等于切线斜率、切点在曲线上、也在直线上列式并化简是解决问题的关键.15.同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数大于3”为
11、事件A“两颗骰子的点数之和等于8”为事件B，则_【答案】【解析】【分析】先利用古典概型求得，再代入条件概率公式求解.【详解】满足事件A的情况有红骰子向上的点数为4，5，6，所以 ，同时满足事件AB的情况有红骰子向上的点数为4，5，6，蓝骰子对应点数为4，3，2，所以，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查条件概率的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.16.定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”（1）设，则在上的“新驻点”为_（2）如果函数与的“新驻点”分别为、，那么和的大小关系是_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】（1）求得方程在上的根即可得解；（2）利用零点存在定理可求得所在区
12、间，并求出的值，进而可得出与的大小关系.【详解】（1），令，即，得，解得，所以，函数在上的“新驻点”为；（2），则，令，则对任意的恒成立，所以，函数在定义域上为增函数，由零点存可得，令，可得，即，所以，.故答案为：（1）；（2）.【点睛】本题考查函数的新定义问题，考查了零点存在定理的应用，属于中等题.四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知函数（1）求函数的极值；（2）若函数在上的最小值为2，求它在该区间上的最大值【答案】（1）极大值为，极小值为；（2）22【解析】【分析】（1）利用导数得出其单调性，即可得出函数的极值；（2）由（1）得出函数在的单调性
13、，根据最小值为2，得出的值，最后确定最大值.【详解】（1），或当x变化时，的变化情况如下表：0200极小值极大值则极大值为，极小值为（2）由（1）知在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减又，所以最小值为a，且最大值在或处取，所以在上的最大值为22【点睛】本题主要考查了求函数的极值以及由函数的最值求参数，属于中档题.18.甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标概率为，乙每次击中目标的概率为（1）求乙至多击目标2次的概率；（2）记甲击中目标的次数为，求的概率分布列及数学期望；（3）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率【答案】（1）；（2）分布列见解析，；（3）【解析】【分析】（1）乙至多击中目标2
14、次的对立事件是乙能击中3次，由对立事件的概率公式得到要求的概率；（2）由题意得甲击中目标的次数的可能取值为0，1，2，3.根据独立重复试验公式得到变量对应的概率，从而可得的分布列和期望；（3）甲恰比乙多击中目标2次包含甲恰击中目标2次且乙击中目标0次、甲恰击中目标3次且乙击中目标1次两种情况，且这两种情况是互斥的，根据互斥事件的概率公式得到结果.【详解】解：（1）乙至多击中目标2次的概率为（2）依题可知的可能取值为0，1，2，3，并且，即，的概率分布列为：0123或（3）设甲恰好比乙多击中目标2次为事件A，甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为事件，甲恰击中目标3次且乙恰击中目标1次为事件，则，
15、、为互斥事件，【点睛】本题考查运用概率知识解决实际问题的能力，注意满足独立重复试验的条件，解题过程中判断概率的类型是难点也是重点，属于中档题.19.如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面ABCD，E为PD的中点（1）证明：平面AEC；（2）若，求二面角的平面角的余弦值【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）连BD，设BDAC=O，连EO，根据E是PD的中点，O为BD的中点，得到再利用线面平行的判定定理证明. （2）以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求得平面AEC的一个法向量，又为平面DAE的一个法向量，然后利用公式求解.【详解】（1）如
16、图所示：连BD，设BDAC=O，连EO，因为E是PD的中点，O为BD的中点，所以又因为平面AEC，平面AEC，所以平面AEC；（2）以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，则，设为平面AEC一个法向量，则，令，则，又为平面DAE的一个法向量，由向量的夹角公式，可得所以二面角的平面角的余弦值为【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，二面角的向量求法，还考查了转化化归的思想和逻辑推理、运算求解的能力，属于中档题.20.已知函数（1）求的单调区间；（2）若，且函数在上是单增函数，求实数m的取值范围【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）首先求
17、函数的导数，分，和三种情况讨论函数的单调性；（2），由题意可知，恒成立，转化为恒成立，转化为求函数的最小值.【详解】（1）函数的导数，当时，单调递增；，单调递减当时，由或或，单调递增；，单调递减；当时，单调递增；或，单调递减综上：当时，单增区间是；单减区间是；当时，单增区间是，；单减区间是当时，单增区间是；单减区间是（2）由题意得，因为在上是增函数，所以在上恒成立，即在上恒成立所以恒成立，设，在1，2上是增函数，所以在时取最小值，即【点睛】本题考查利用导数求函数的单调性，已知函数的单调性求参数的取值范围，重点考查转化与化归的思想，逻辑推理能力，计算能力，属于中档题型.21.近年，国家逐步推行全
18、新的高考制度新高考不再分文理科山东省采用3+3模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，每门科目满分均为150分另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每门科目满分均为100分为了应对新高考，某高中从高一年级1100名学生（其中男生600人，女生500人）中，采用分层抽样的方法从中抽取n名学生进行调查，其中女生抽取50人（1）求n的值；（2）学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对抽取到的n名学生进行问卷调查（假定每名学生在“物理”
19、和“地理”这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目）下表是根据调查结果得到的一个不完整的22列联表，请将下面的22列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为选择科目与性别有关?说明你的理由；选择“物理”选择“地理”总计男生10女生30合计（3）按（2）中选“物理”的男生女生的比例进行分层抽样，从选“物理”的学生中抽出8名学生，再从这8名学生中抽取3人组成物理兴趣小组，设这3人中女生的人数为X，求X的概率分布列及数学期望附0050010005000138416635787910828【答案】（1）；（2）列联表见解析，有99%的把握认为选择科目与性别有关，见解析；（3）分布列见解析，【解
20、析】【分析】（1）根据分层抽样的抽样比相等，列式计算结果；（2）根据（1）的抽取结果，填写列联表，再根据公式计算，并和比较大小；（3）按男女比例进行分层抽样，从中抽出8名学生，这8学生中有5名男生3名女生，这3名学生中女生的人数为X，X可能为0，1，2，3利用超几何分布列分布列和求数学期望.【详解】（1）由题意得，解得（2）列联表：选择“物理”选择“地理”总计男生501060女生302050合计8030110，故有99%的把握认为选择科目与性别有关（3）从抽取的选“物理”的学生中，按男女比例进行分层抽样，从中抽出8名学生，所以这8学生中有5名男生3名女生再从这8名学生中选择3名学生组成物理兴趣
21、小组，则这3名学生中女生的人数为X，X可能为0，1，2，3设事件X发生的概率为，并且X服从超几何分布，即，可得分布列为0123可得【点睛】本题考查独立性检验，分层抽样，超几何分布，数学期望的综合问题，重点考查读题能力，分析问题和解决问题的能力，计算能力，属于中档题型.22.已知函数，其中（1）函数在处的切线与直线垂直，求实数a的值；（2）若函数在定义域上有两个极值点，且求实数a的取值范围；求证：【答案】（1）2；（2）；见解析.【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义列式求解；（2）由题意可知在上有两个根，且，即在上有两个不相等的根，列式求实数的范围；由可知其中，整理代入根与系数的关系，转化为
22、证明恒成立.【详解】（1）依题意，故，所以据题意可知，解得所以实数a的值为2（2）因为函数在定义域上有两个极值点，且，所以在上有两个根，且，即在上有两个不相等的根，所以，解得，当时，若或，函数在和上单调递增；若，函数在上单调递减，故函数在上有两个极值点，且所以，实数a的取值范围是由可知，是方程的两个不等的实根，所以其中故，令，其中故，令，在上单调递增由于，所以存在常数，使得，即，且当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，所以当时，又，所以，即故得证【点睛】本题考查利用导数证明不等式，根据函数零点个数求参数的取值范围，导数的几何意义，本题的难点是第三问，根据函数的极值点，得到根与系数的关系，通过构造函数判断函数的取值范围，解决零点问题，恒成立等常用方法还有：分离参数、构造函数、数形结合.