1、第2讲三角恒等变换与解三角形【选题明细表】知识点、方法题号正、余弦定理的应用1、5、7、8、9、10、11正、余弦定理的实际应用3、13三角恒等变换2、4、15综合问题6、12、14、16、17基础把关1.在锐角ABC中,角A,B的对边分别是a,b,若2asin B=b,则角A等于(D)(A)(B)(C)(D)解析:由2asin B=b得2sin Asin B=sin B,由于sin B0,故sin A=,而A是锐角,所以A=,故选D.2.(2014温州一模)已知sin 2=,则cos2（-）=(C)(A)(B)-(C)(D)-解析:cos2（-）=.故选C.3.为了在一条河上建一座桥,施工前
2、在河两岸打上两个桥位桩A,B(如图),要测算A,B两点距离,测量人员在岸边定出基线BC,测得BC=50 m,ABC=105,BCA=45,则A,B两点间距离为(A)(A)50 m(B)50 m(C)25 m(D) m解析:由题意知,BAC=30,又BC=50 m,BCA=45,由正弦定理得AB=50(m).故选A.4.(2014宁波二模)已知R,cos +3sin =,则tan 2等于(A)(A)(B)(C)-(D)-解析:(cos +3sin )2=5,4sin2+3sin cos =2,=2,=2,解得tan =-2或tan =,tan 2=.故选A.5.在ABC中,角A,B,C所对的边分
3、别为a,b,c,若b2+c2-bc=a2,且=,则角C的值为(C)(A)45(B)60(C)90(D)120解析:b2+c2-bc=a2,b2+c2-a2=bc,cos A=,A=60.又=,=,sin B=sin A=.ba,BA,B=30,C=180-A-B=90.故选C.6.在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知点D是BC边的中点,且=(a2-ac),则角B的值为(B)(A)(B)(C)(D) 解析:由已知得=(+),=-,所以=(-)=(a2-ac),所以b2=c2+a2-ac,又b2=c2+a2-2accos B,所以cos B=,又因为0B,所以B=,故选B.7.(
4、2014高考广东卷)在ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,已知bcos C+ccos B=2b,则=.解析:根据正弦定理得a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,代入已知式子中,可得sin Bcos C+sin Ccos B=2sin B,即sin A=2sin B,由此可知a=2b,即=2.答案:28.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b-c=acos C,则A=.解析:由b-c=acos c及正弦定理得sin B-sin C=sin Acos C,又B=-(A+C),所以sin(A+C)-sin C=sin Acos C,即cos Asin
5、 C-sin C=0,又sin C0,所以cos A=,又因为0A0,所以sin C=,即sin C=,因此sin Csin A=2sin(A+C),所以sin Asin C=2sin Acos C+2cos Asin C,由于sin Asin C0,故1=+,故+=.答案:15.(2013湖州模拟)设为锐角,若cos（+）=,则sin（2+）的值为.解析:因为是锐角,cos（+）=,所以sin（+）=.所以sin（2+）=2sin（+）cos（+）=.Cos（2+）=cos2（+）-sin2（+）=,所以sin（2+）=sin2（+）-=sin(2+)-cos(2+)=.答案:16.(201
6、4杭州二中)已知函数f(x)=sin xcos x+sin2x-(0),其相邻两个零点间的距离为.(1)求f(x)的解析式;(2)锐角ABC中,f(+)=,AB=4,ABC的面积为6,求BC的值.解:(1)f(x)=sin 2x-cos 2x=sin(2x-),由题意知,=,T=,2=1,f(x)=sin(2x-).(2)f(+)=,sin A=,sin A=,SABC=ABACsin A=4AC=AC=6,AC=3,BC2=AB2+AC2-2ABACcos A=16+18-243=10,BC=.17.(2014杭州外国语学校)如图所示,四边形OACB中,a,b,c为ABC的内角A,B,C的对
7、边,且满足=.(1)证明:b+c=2a;(2)若b=c,AOB=(0),OA=2OB=2,求四边形OACB面积的最大值.解:(1)=,sin Bcos A+sin Ccos A=2sin A-cos Bsin A-cos Csin A,sin Bcos A+cos Bsin A+sin Ccos A+cos Csin A=2sin A,sin(A+B)+sin(A+C)=2sin A,sin C+sin B=2sin A,b+c=2a.(2)因为b+c=2a,b=c,所以a=b=c,所以ABC为等边三角形,S四边形OACB=SOAB+SABC=OAOBsin +AB2=sin +(OA2+OB2-2OAOBcos )=sin -cos +=2sin(-)+,(0,),-(-,),当且仅当-=,即=时取最大值,S四边形OACB的最大值为2+.