1、一次函数与反比例函数综合题【例1】.如图，直线l：y=ax+b交 x轴于点A(3，0)，交 y轴于点B(0，-3)，交反比例函数y =于第一象限的点P，点P的横坐标为4.（1）求反比例函数y =的解析式；（2）过点P作直线l的垂线l1，交反比例函数y=的图象于点C，求OPC的面积.【答案】见解析.【解析】解：（1）y=ax+b 交 x轴于点A(3，0)，交 y轴于点 B(0，-3)，3a+b=0，b=3，解得：a=1，即l1的解析式为：y=x3，当x=4时，y=1，即P（4,1），将P点坐标代入y=得：k=4，即反比函数的解析式为：y=；（2）设直线l1与x轴、y轴分别交于点E，D，OA=OB
2、=3，OAB=OBA=45，ll1，DPB=90，ODP=45，设直线l1的解析式为：y=x+b，将点P(4,1)代入得：b=5，联立：y=x+5，y=，解得：x=1，y=4或x=4，y=1，即C(1,4)，SOPC=SODESOCDSOPE=555151=.【变式1-1】.如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，A，C分别在坐标轴上，点B的坐标为（4，2），直线y=x+3交AB，BC于点M，N，反比例函数的图象经过点M，N（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P在x轴上，且OPM的面积与四边形BMON的面积相等，求点P的坐标【答案】见解析.【解析】解：（1）B（4,2），四
3、边形OABC为矩形，OA=BC=2，在y=x+3中，y=2时，x=2，即M(2,2),将M（2，2）代入得：k=4，反比例函数的解析式为：.（2）在中，当x=4时，y=1，即CN=1，S四边形BMON=S矩形OABCSAOMSCON=422241=4，SOPM=4，即OPOA=4，OA=2，OP=4，点P的坐标为（4,0）或（4,0）.【例2】.已知：如图，一次函数 y=kx+3 的图象与反比例函数y =（x0）的图象交于点P，PAx 轴于点A，PBy轴于点B，一次函数的图象分别交x轴、y轴于点C，D，且SDBP=27，.（1）求点 D 的坐标；（2）求一次函数与反比例函数的解析式；（3）根据
4、图象写出x取何值时，一次函数 y=kx+3 的值小于反比例函数y =的值【答案】见解析.【解析】解：（1）一次函数y=kx+3与y轴相交，令x=0，解得y=3，D的坐标为（0，3）；（2）ODOA，APOA，DCO=ACP，DOC=CAP=90，RtCODRtCAP，OD=3，AP=OB=6，DB=OD+OB=9，SDBP=27，即27，BP=6，P（6，-6），把P坐标代入y=kx+3，得到k=，则一次函数的解析式为：yx+3；把P坐标代入反比例函数解析式得：m=36，则反比例解析式为：y；（3）联立y，yx+3得：x=4，y=9或x=6，y=6，即直线与双曲线两个交点坐标为（4,9），（6
5、，6），当x6或4x0时，一次函数的值小于反比例函数的值【变式2-1】.如图，在平面直角坐标系中，菱形 ABDC 的顶点 D，C 在反比例函数y=上（k0，x0），横坐标分别为和2，对角线 BCx 轴，菱形ABDC 的面积为 9（1）求 k 的值及直线 CD 的解析式；（2）连接 OD，OC，求OCD 的面积【答案】见解析.【解析】解：（1）连接AD，菱形 ABDC 的顶点D，C 在反比例函数y=上，横坐标分别为和2，D(,2k)，C(2, ),BCx轴，B(1，),A(,k),BC=3，AD=3k，S菱形ABCD=9，33k=9，解得：k=2，D(,4)，C(2, 1),设直线CD的解析式为
6、y=mx+n，m+n=4，2m+n=1，解得：m=2，n=5，即直线CD的解析式为y=2x+5.（2）设直线y=2x+5交x轴、y轴于点F，E，则F(,0),E(0,5)，SOCD=SEOFSOEDSOCF=551=，即OCD的面积为：.【例3】.如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=2，点F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数y=的图象与BC边交于点E（1）当F为AB的中点时，求该函数的解析式；（2）当k为何值时，EFA的面积最大，最大面积是多少？【答案】见解析【解析】解：（1）矩形OABC中，OA=3，OC=2，B（3，2），F为AB的中点，F（3，1），点F在反比
7、例函数y=的图象上，k=3，即函数的解析式为y=；（2）E，F两点坐标为：E（，2），F（3，），SEFA=AFBE=（3），=，当k=3时，SEFA有最大值，最大值【变式3-1】.如图，一次函数ykx+b的图象与反比例函数y的图象交于A，B两点，与x轴交于点C（2，0），点A的纵坐标为6，AC3CB（1）求反比例函数的解析式；（2）请直接写出不等式组kx+b4的解集；（3）点P（x，y）是直线yk+b上的一个动点，且满足（2）中的不等式组，过点P作PQy轴交y轴于点Q，若BPQ的面积记为S，求S的最大值【答案】见解析【解析】解：（1）过点A作ADx轴于D，过B作BEx轴于E，则ADCBEC9
8、0，ACDBCE，ACDBCE，即，解得：BE2，CE1，A（1，6），反比例函数解析式为y；（2）将A（1，6），C（2，0）代入ykx+b，得：，解得：，即直线解析式为：y2x+4，由B（3，2），得不等式组2x+44的解集为：3x0；（3）设P（m，2m+4）（3m0），则PQm，BPQ中PQ边上的高为2m+4（2）2m+6，S（m）（2m+6）m23m（m+）2+，当m时，S取得最大值，最大值为1.如图所示，在平面直角坐标系中，直线l1：y=x与反比例函数y=的图象交于A、B两点，点A在点B左侧，已知A点的纵坐标为2.（1）求反比例函数的解析式；（2）根据图象直接写出x的解集；（3）将
9、直线y=x沿y轴向上平移后的直线l2与反比例函数y=在第二象限内交于点C，如果ABC的面积为30，求平移后的直线l2的函数表达式.【答案】见解析.【解析】解：（1）在y=x中，y=2时，x=4，即A(4,2)，反比例函数y=的图象过点A，k=8，即反比例函数的解析式为：y=；（2）联立y=，y=x，解得：x=4，y=2（点A）；或x=4，y=2，即B（4，2），x的解集为：x4或0x0）的图象经过点A、B，点A的坐标为（1，2），过点A作ACy轴，AC=1（点C在A点的下方），过点C作CDx轴，与函数y=（x0）的图象交于点D，过点B作BECD于E，E在线段CD上，连接OC、OD.（1）求OC
10、D的面积；（2）当BE=AC时，求CE的长.【答案】见解析.【解析】解：（1）将A(1,2)代入y=得：k=2，ACy轴，AC=1，C(1,1),CDx轴，D在y=上，D(2,1)，SOCD=11=.（2）BE=AC，BE=,BECD，点B的纵坐标为，B点在函数y=上，B(，)，CH=1=，DH=1.5,CD=+1.5，在RtCDE中，CED=60，CE=4+（米）.3.如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=2，F是AB上的一个动点（不与A、B重合），过点F的反比例函数y=（k0）的图象与BC边交于点E.（1）当F为AB边的中点时，求该函数的解析式；（2）当k为何值时，EFA的面积为？【答案
11、】见解析.【解析】解：（1）由题意知，AB=OC=2，BC=OA=3，F是AB中点，F(3，1)，将F(3，1)代入y=得：k=3，即反比例函数的解析式为：y=.（2）由图象知，点F位于B点下方，B(3,2)，当x=3时，y2，即k6，0k6，由题意知，F点横坐标为3，即F(3, )，同理，得E点坐标为（，2），SEFA=解得：k=2，或k=4，当k为2或4时，EFA的面积为.4.如图，A，B 分别在反比例函数y =（x0）和y =（x0）的图象上，ABx 轴，交 y 轴于点C若AOC的面积是BOC面积的2倍（1）求k的值；（2）当AOB=90时，直接写出点A，B的坐标【答案】见解析.【解析】
12、解：（1）ABx轴，SAOC=，SBOC=，AOC的面积是BOC面积的2倍，=，k=2（舍）或k=2.即k的值为：2.（2）AOB=90，ACO=90，A+ABO=B+BOC=90，A=BOC，AOCOBC，AOC的面积是BOC面积的2倍，,设B(a，)，=a，解得：a=或a=（舍），即B(1, ),A(2，).5.（2019周口二模）如图，点A(-2，a)，C(3a-10，1)是反比例函数（x0）图象上的两点（1）求m的值；（2）过点A作APx轴于点P，若直线y=kx+b经过点A，且与x轴交于点B，当PAC=PAB时，求直线AB的解析式【答案】见解析.【解析】解：（1）点A(-2，a)，C(
13、3a-10，1)是反比例函数上，2a=3a10，解得：a=2，A(-2,2),C(-4,1)，m=-4；（2）分两种情况讨论：当点B在AP左侧时，PAC=PAB，A、C、B三点共线，将A(-2,2),C(-4,1)代入y=kx+b，并解得：k=，b=3，即直线AB的解析式为：y=x+3；当点B在AP右侧时，PAC=PAB，此时直线AB与中的直线AB关于直线AP成轴对称，此时k=-，将（-2,2）代入y=-x+b，得：b=1，即直线AB的解析式为：y=-x+1；综上所述，直线AB的解析式为：y=x+3，y=-x+1.6.如图，已知双曲线y=经过点B（3，1），点A是双曲线第三象限上的动点，过B作
14、BCy轴，垂足为C，连接AC（1）求k的值；（2）若ABC的面积为6，求直线AB的解析式；（3）在（2）的条件下，写出反比例函数值大于一次函数值时x的取值范围【答案】见解析【解析】解：（1）把B（3，1）代入y=中得，k=3，（2）设ABC中BC边上的高为h，BCy轴，B（3，1），BC=3，ABC的面积为6，BCh=6，解得：h=4，点A的纵坐标为3，把y=3代入y=，得：x=，即A（，3），设直线AB的解析式为：y=mx+n，把A（，3）和B（3，1）代入y=mx+n，并解得：m=，b=2，直线AB的解析式为y=x2.（3）由图象可得：x或0x3.7.如图，一次函数y=x+b与反比例函数y
15、=（x0）的图象交于点A（2，6）和B（m，1）（1）填空：一次函数的解析式为 ，反比例函数的解析式为 ；（2）点E为y轴上一个动点，若SAEB=5，求点E的坐标【答案】（1）y=x+7，y=；（2）见解析.【解析】解：（1）把点A（2，6）代入y=，得k=12，即反比函数解析式为：y=点B（m，1）在y=上，m=12，即B（12，1）直线y=x+b过点A（2，6），b=7，一次函数的表达式为y=x+7答案为：y=x+7，y=（2）设直线AB与y轴交于点P，点E的坐标为（0，a），连接AE，BE，则点P的坐标为（0，7），SAEB=SBEPSAEP=5，|a7|（122）=5，|a7|=1，解
16、得：a=6或a=8，即点E的坐标为（0，6）或（0，8）8.如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，A、C分别在坐标轴上，点B的坐标为（4，2），直线y=x+3交AB，BC分别于点M，N，反比例函数y=的图象经过点M，N（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P在y轴上，且OPM的面积与四边形BMON的面积相等，求点P的坐标【答案】见解析.【解析】解：（1）B（4，2），四边形OABC是矩形，OA=BC=2，在y=x+3中，当y=2时，x=2，M（2，2），将x=4代入y=x+3得：y=1，N（4，1），反比例函数y=的图象经过点M（2，2），k=4，反比例函数的解析式是y=；
17、（2）S四边形BMON=S矩形OABCSAOMSCON=422241=4；OPM的面积与四边形BMON的面积相等，OPAM=4，而AM=2，OP=4，点P的坐标是（0，4）或（0，4）9.如图，直线ykx+b与反比例函数y=的图象分别交于点A（1，2），点B（4，n），与x轴，y轴分别交于点C，D（1）求此一次函数和反比例函数的解析式；（2）求AOB的面积【答案】见解析.【解析】解：（1）将点A（1，2）代入y=，得m2，反比例函数解析式为：y将B（4，n）代入y中，得：n；B点坐标为（4，）将A（1，2）、B（4，）代入ykx+b中，得：-k+b=2，-4k+b=，解得：k=，b=，一次函数
18、的解析式为yx+；（2）在yx+中，当y0时，x5，C（5，0），即OC5SAOCSAOCSBOCOC|yA|OC|yB|10.如图，A（4，3）是反比例函数y在第一象限图象上一点，连接OA，过A作ABx轴，截取ABOA（B在A右侧），连接OB，交反比例函数y的图象于点P（1）求反比例函数y的表达式；（2）求点B的坐标；（3）求OAP的面积【答案】见解析【解析】解：（1）点A（4，3）在反比例函数y的图象上，k12，即反比例函数解析式为：y；（2）如上图，过点A作ACx轴于点C，则OC4，AC3，在RtOAC中，由勾股定理得：OA5，ABx轴， ABOA5，点B的坐标为（9，3）；（3）B（9
19、，3），可得OB所在直线解析式为yx，联立：yx，y，解得：x=6，y=2或x=-6，y=-2（舍），P（6，2），如上图所示，过点P作PDx轴于D，SOAPS梯形PDCA=511.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（k0）与一次函数y=ax+b（a0）交于第二、四象限的A，B两点，过点A作ADy轴于点D，OD=3，SAOD=3，点B的坐标为(n，-1)（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）请根据图象直接写出的自变量x的取值范围【答案】见解析【解析】解：（1）ADy轴，OD=3，SAOD=ODAD，SAOD=3AD=2，即A(-2,3),将A(-2,3)代入中，得：k=-6，即反比例函
20、数解析式：.当y=-1时，x=6，即B(6,-1)，将A(-2,3), B(6,-1)代入y=ax+b得：-2a+b=3,6a+b=-1,解得：a= ，b=2，即一次函数的解析式为：y=x+2.（2）观察图象可知，的解集为：x-2或00时，y随x增大而减小；当x0时，y0，当x=2时，y2=3，即Q（2，3）若y1y2，实数p的取值范围是：p2或p0.15.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y12x的图象与反比例函数y2的图象交于A（1，n），B两点（1）求出反比例函数的解析式及点B的坐标；（2）观察图象，请直接写出满足y2的取值范围；（3）点P是第四象限内反比例函数的图象上一点，
21、若POB的面积为1，请直接写出点P的横坐标【答案】见解析【解析】解：解：（1）把A（1，n）代入y12x，得n2，A（1，2），把A（1，2）代入y2，可得k2，反比例函数的表达式为y2，由反比例函数图象性质，知点B与点A关于原点对称，B（1，2）（2）由图象可知，y2时自变量x的取值范围是：x1或x0；（3）过B作BMx轴于M，过P作PNx轴于N，S梯形MBPNSPOB1，设P（m，），则（2+）|m1|1，解得：m或m，综上所述，P点的横坐标为或16.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数y（k0，x0）的图象上，点D的坐标为（4
22、，3）（1）求k的值；（2）若将菱形ABCD沿x轴正方向平移，当菱形的顶点D落在函数y（k0，x0）的图象上时，求菱形ABCD沿x轴正方向平移的距离【答案】见解析【解析】解：（1）过点D作DEy轴于E，点D的坐标为（4，3），DE4，OE3，由勾股定理得：OD5，AD5，点A坐标为（4，8），点A在反比例函数y的图象上， k32； （2）由D(4，3)知，当平移后落在y的图象上，则y=3，即=3，即x=，平移的距离为：4=，即菱形ABCD沿x轴正方向平移的距离为.17.如图，点A的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，4），OABC为矩形，反比例函数的图象过AB的中点D，且和BC相交于点E，F为
23、第一象限的点，AF12，CF13（1）求反比例函数和直线OE的函数解析式；（2）求四边形OAFC的面积？【答案】见解析【解析】解：（1）由题意得：点B（3，4），点D（3，2），将D（3，2）代入，得k6即反比例函数的解析式为；在中，当y=4时，x=，即E(，4)，设直线OE的解析式为：ymx，将（，4）代入得：m，即直线OE的解析式为yx；（2）连接AC， 在RtOAC中，OA3，OC4，由勾股定理得：AC5，AF12，CF13AC2+AF2CF2，CAF90，S四边形OAFCSOAC+SCAF34+5123618.如图，直线yx与反比例函数y（x0）的图象交于点A，已知点A的横坐标为4（1
24、）求反比例函数的解析式；（2）将直线yx向上平移3个单位后的直线l与y（x0）的图象交于点C；求点C的坐标；记y（x0）的图象在点A，C之间的部分与线段OA，OC围成的区域（不含边界）为W，则区域W内的整点（横，纵坐标都是整数的点）的个数为 【答案】见解析【解析】解：（1）将x4代入yx，得：y2，A（4，2），将A点代入y，得：k8，反比例函数的解析式y；（2）l的解析式为yx+3，联立：yx+3，y得：x=2，y=4或x=8，y=1（舍），C（2，4）； 4个；19.在平面直角坐标系中，一次函数yx+b的图象与反比例函数y（k0）的图象交于A、B点，与y轴交于点C，其中点A的半标为（2，3
25、）（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）如图，若将点C沿y轴向上平移4个单位长度至点F，连接AF、BF，求ABF的面积【答案】见解析【解析】解：（1）将（2，3）代入yx+b，得：b=1，将（2，3）代入y，得：k=6， 即：一次函数的解析式为yx+1，反比例函数的解析式为y；（2）在yx+1中，当x0时，y1，即C（0，1），由平移知：CF4联立yx+1，y，解得：x=3，y=2或x=2，y=3，B(3，-2)，A(-2，3)，SABF4（2+3）1020.如图，一次函数y=x+b与反比例函数y=(k0)的图象相交于A、B两点，其中A(1，4)，直线lx 轴于点 E(4，0)，与反比例函数和一次函数的图象分别相交于点C、D，连接 AC、BC.（1）求出 b 和 k；（2）判定ACD 的形状，并说明理由.【答案】见解析【解析】解：（1）将A（1，4）代入一次函数 y=x+b，得：b=3，将A（1，4）代入反比例函数 y=，得k=4；（2）ACD 是等腰直角三角形.直线x=4与一次函数y=x+3交于点D，D（4，7），同理，可得：C（4，1），A（1，4），C（4，1），D（4，7）CD=6，AFD=AFC=90，由勾股定理得：AC=AD=3，AD2+AC2= 36，CD2=36AD2+AC2=CD2ACD 是直角三角形，AD=ACACD 是等腰直角三角形.
