1、第三章函数的应用专题强化练5函数零点的综合运用一、选择题1.(2020河北唐山一中高一上期中,)在下列区间中,函数f(x)=ex+4x-3的零点所在的区间为()A.(-2,-1)B.(-1,0)C.0,12D.12,12.(2020安徽屯溪一中高一上期中,)若函数f(x)=log3x+x-3的一个零点附近的函数值用二分法逐次计算的参考数据如下:f(2)=-0.369 1f(2.5)=0.334 0f(2.25)=-0.011 9f(2.375)=0.162 4f(2.312 5)=0.075 6f(2.281 25)=0.031 9那么方程x-3+log3x=0的一个近似解(精确度为0.1)为
2、()A.2.1B.2.2C.2.3D.2.43.(2020广东广州中山纪念中学高一期末,)已知函数f(x)=ex,x0,lnx,x0,g(x)=f(x)+a,若g(x)恰有两个零点,则实数a的取值范围是()A.(-1,0)B.-1,0)C.(0,1)D.(0,14.(2020湖南雅礼中学高一月考,)已知函数f(x)=|log2(x+1)|,x(-1,3),4x-1,x3,+),则f(x)2-4f(x)+3=0的解的个数是()A.4B.3C.6D.15.(2020贵州贵阳一中高二月考,)设函数f(x)=1,x=2,loga|x-2|+1,x2,a1,若函数g(x)=f(x)2+bf(x)+c有三
3、个零点x1,x2,x3(x1x20且a1时,函数f(x)=ax-2-3的图象必过定点(2,-2);用二分法求函数f(x)=ln x+2x-6在区间(2,3)内的零点近似值,至少经过3次二分后精确度达到0.1;函数f(x)=2x-x2的零点有2个.其中所有正确命题的序号是.三、解答题8.(2020河南南阳镇平第一高级中学高一月考,)已知函数f(x)=|lnx|,x0,x2+4x+1,x0,g(x)=f(x)-a.(1)当a=2时,求函数g(x)的零点;(2)若函数g(x)有四个零点,求a的取值范围;(3)在(2)的条件下,记g(x)的四个零点分别为x1,x2,x3,x4,求x1+x2+x3+x4
4、的取值范围.9.(2020吉林辽源第五中学高一期中,)已知函数f(x)=(ax2+x)ex,其中e是自然对数的底数,aR.(1)当a0;(2)当a=0时,试判断:是否存在整数k,使得方程f(x)=(x+1)ex+x-2在k,k+1上有解.若存在,请写出所有可能的k的值;若不存在,说明理由;(3)若当x-1,1时,不等式f(x)+(2ax+1)ex0恒成立,求a的取值范围.答案全解全析第三章函数的应用专题强化练5函数零点的综合运用1.C2.C3.B4.A5.C一、选择题1.C易知函数f(x)=ex+4x-3在R上单调递增,且f(0)=e0-3=-20,f(0)f120,函数f(x)=ex+4x-
5、3的零点所在的区间为0,12.故选C.2.C由参考数据可得f(2.25)f(2.312 5)0,且|2.312 5-2.25|=0.062 50.1,因此(2.25,2.312 5)内的任意值都可为方程的近似解,故原方程的近似解可取2.3.故选C.3.B依题意,可得函数y=f(x)的图象与直线y=-a恰有两个交点,作出函数图象如图所示,由图可知,要使函数y=f(x)的图象与直线y=-a恰有两个交点,则0-a1,即-1a1的图象,如图.由图可得关于x的方程f(x)=t的解有两个或三个(t=1时有三个,t1时有两个),所以关于t的方程t2+bt+c=0只能有一个根t=1(若有两个根,则关于x的方程
6、f(x)2+bf(x)+c=0有四个或五个根),令f(x)=1,可得x1,x2,x3的值分别为1,2,3,所以x1x2+x2x3+x1x3=12+23+13=11,故选C.二、填空题6.答案(1,2)解析设f(x)=x2-2mx+m2-1,则f(x)的一个零点在(0,1)内,另一个零点在(2,3)内.f(0)0,f(1)0,f(2)0,即m2-10,m2-2m0,m2-4m+30,解得1m2.故答案为(1,2).7.答案解析对于,由反函数的定义可得函数y=2x与y=log2x互为反函数,其图象关于直线y=x对称,故正确;对于,由f(x-1)=x2-2x+1可得f(5)=f(6-1)=62-26
7、+1=25,故错误;对于,因为f(2)=a0-3=-2,所以函数f(x)=ax-2-3的图象必过定点(2,-2),故正确;对于,用二分法求函数f(x)=ln x+2x-6在区间(2,3)内的零点近似值,至少经过4次二分后精确度达到0.1,故错误;对于,由f(-1)=2-1-10,所以函数f(x)在(-1,0)上存在零点,又f(2)=22-22=0,f(4)=24-42=0,所以2,4也是函数f(x)的零点,故错误.故答案为.三、解答题8.解析(1)当x0时,令|ln x|=2,解得x=e2或x=1e2,当x0时,令x2+4x+1=2,解得x=-2+5(舍去)或x=-2-5,函数g(x)有三个零
8、点,分别为e2,1e2,-2-5.(2)函数g(x)=f(x)-a的零点个数即为y=f(x)的图象与直线y=a的交点个数,在同一平面直角坐标系中作出函数y=f(x)的图象与直线y=a,结合两函数图象可知,函数g(x)有四个零点时,a的取值范围是0a1.(3)不妨设x1x2x3x4,结合图象知:x1+x2=-4,0x31,10可得ax2+x0,即axx+1a0,由于a0,所以xx+1a0,解得0x0的解集为x0x-1a.(2)当a=0时,方程f(x)=(x+1)ex+x-2即为ex+x-2=0,设h(x)=ex+x-2,由于y=ex和y=x-2均为增函数,所以h(x)也是增函数,又因为h(0)=
9、e0+0-2=-10,所以该函数有且仅有一个零点,且零点在区间(0,1)内,所以方程ex+x-2=0有且仅有一个根,且在(0,1)内,所以存在唯一的整数k=0.(3)当x-1,1时,f(x)+(2ax+1)ex0恒成立,即不等式ax2+(2a+1)x+10恒成立,令g(x)=ax2+(2a+1)x+1,若a=0,则g(x)=x+1,当x-1,1时,g(x)=x+10恒成立;若a0,由于=(2a+1)2-4a=4a2+10,所以g(x)有两个零点.g(x)图象的对称轴为直线x=-2a+12a.若a0,则-2a+12a-1,此时需满足g(-1)0,即a0,所以a无解;若a0,则需满足g(-1)0,g(1)0,即a0,a-23,所以-23a0.综上所述,a的取值范围是-23,0.