1、第26讲选修45：不等式选讲题型一| 绝对值不等式的解法已知函数f(x)|xa|，其中a1.(1)当a2时，求不等式f(x)4|x4|的解集；(2)已知关于x的不等式|f(2xa)2f(x)|2的解集为x|1x2，求a的值解(1)当a2时，f(x)|x4|当x2时，由f(x)4|x4|，得2x64，解得x1；当2x4时，f(x)4|x4|无解；3分当x4时，由f(x)4|x4|，得2x64，解得x5.所以f(x)4|x4|的解集为x|x1或x5. 5分(2)记h(x)f(2xa)2f(x)，则h(x)由|h(x)|2，解得x. 8分又已知|h(x)|2的解集为x|1x2，所以于是a3. 10分
2、【名师点评】(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：求零点；划区间、去绝对值号；分别解去掉绝对值的不等式；取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值(2)用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法1已知函数f(x)|xa|x2|.(1)当a3时，求不等式f(x)3的解集；(2)若f(x)|x4|的解集包含1,2，求a的取值范围解(1)当a3时，f(x)2分当x2时，由f(x)3，得2x53，解得x1；当2x0.(1)当a1时，求不等式f(x)3x2的解集；(2)若不等式f(x)0的解集为x|x1，求a的值解(1)当a1时，
3、f(x)3x2可化为|x1|2.由此可得x3或x1. 2分故不等式f(x)3x2的解集为x|x3或x1. 4分(2)由f(x)0，得|xa|3x0.此不等式化为不等式组或6分即或 8分因为a0，所以不等式组的解集为.由题设可得1，故a2. 10分题型二| 不等式的证明(1)(2016南通模拟)已知x，y均为正数，且xy.求证：2x2y3.(2)已知实数x，y满足：|xy|，|2xy|，求证：|y|.证明(1)因为x0，y0，xy0，1分2x2y2(xy)(xy)(xy)33，4分所以2x2y3， 5分(2)因为3|y|3y|2(xy)(2xy)|2|xy|2xy|， 8分由题设知|xy|，|2
4、xy|，从而3|y|，所以|y|. 10分【名师点评】1.作差法应该是证明不等式的常用方法作差法证明不等式的一般步骤：(1)作差；(2)分解因式；(3)与0比较；(4)结论关键是代数式的变形能力2均值不等式的应用：(1)利用均值不等式时必须要找准“对应点”，明确“类比对象”，使其符合不等式的特征；(2)注意检验等号成立的条件，特别是多次使用均值不等式时，必须保证使等号同时成立1已知x，y，z都是正数且xyz8，求证：(2x)(2y)(2z)64.【导学号：19592067】证明因为x为正数，所以2x2，同理2y2，2z2， 5分所以(2x)(2y)(2z)2228.因为xyz8，所以(2x)(
5、2y)(2z)8. 10分2设a0，|x1|，|y2|，求证：|2xy4|a.证明因为|x1|，|y2|，3分所以|2xy4|2(x1)(y2)|2|x1|y2|2a. 10分3证明下列不等式：(1)设ab0，求证：3a32b33a2b2ab2；(2)a68b6c62a2b2c2；(3)a24b29c22ab3ac6bc.证明(1)3a32b3(3a2b2ab2)3a2(ab)2b2(ab)(ab)(3a22b2). 2分ab0，ab0,3a22b20，(ab)(3a22b2)0，3a32b33a2b2ab2. 5分(2)a68b6c633a2b2c22a2b2c2. 6分a68b6c62a2
6、b2c2. 7分(3)a24b224ab，a29c226ac，4b29c2212bc， 9分2a28b218c24ab6ac12bc，a24b29c22ab3ac6bc. 10分题型三| 柯西不等式的应用已知a0，b0，c0，函数f(x)|xa|xb|c的最小值为4.(1)求abc的值；(2)求a2b2c2的最小值【导学号：19592068】解(1)因为f(x)|xa|xb|c|(xa)(xb)|c|ab|c，当且仅当axb时，等号成立. 2分又a0，b0，所以|ab|ab.所以f(x)的最小值为abc.又已知f(x)的最小值为4，所以abc4. 4分(2)由(1)知abc4，由柯西不等式得(
7、491)2(abc)216，即a2b2c2. 8分当且仅当，即a，b，c时等号成立故a2b2c2的最小值为. 10分【名师点评】1.使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明2利用柯西不等式求最值的一般结构为(aaa)(111)2n2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件已知定义在R上的函数f(x)|x1|x2|的最小值为a.(1)求a的值；(2)若p，q，r是正实数，且满足pqra，求证：p2q2r23.解(1)因为|x1|x2|(x1)(x2)|3，当且仅当1x2时，等号成立，所以f(x)的最小值等于3，即a3.(2)证明：由(1)知pqr3，又因为p，q，r是正实数，所以(p2q2r2)(121212)(p1q1r1)2(pqr)29，即p2q2r23.