1、第3讲空间角【选题明细表】知识点、方法题号线线角1、4、5、11线面角2、3、5、6、12、14、15面面角7、8、16综合问题5、9、10、13、16基础把关1.四棱锥PABCD的所有侧棱长都为,底面ABCD是边长为2的正方形,则CD与PA所成角的余弦值为(B)(A)(B)(C)(D)解析:因为四边形ABCD为正方形,故CDAB,则CD与PA所成的角即为AB与PA所成的角,即为PAB.在PAB内,PB=PA=,AB=2,利用余弦定理可知cos PAB=.故选B.2.正方体ABCDA1B1C1D1中,BB1与平面ACD1所成角的余弦值为(D)(A)(B)(C)(D)解析:画出图形,如图所示,B
2、B1与平面ACD1所成的角等于DD1与平面ACD1所成的角,设AC与BD的交点为O,连接D1O,则AC平面DD1O,作DHD1O于H,则DHAC,可得DH平面ACD1,所以DD1H即DD1O为DD1与平面ACD1所成的角.设正方体棱长为2a,则在RtDD1O中,DD1=2a,DO=a,D1O=a,cos DD1O=.故选D.3.(2014浙江金华十校联考)如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=2,BC=AA1=1,则AB与平面A1BC1所成角的正弦值为(D) (A)(B)2(C)(D)解析:直线AB与平面A1BC1所成角等于直线A1B1与平面A1BC1所成角,连接B1C,与BC1相交
3、于点O,连接A1O.则容易证明BC1平面A1B1O,所以平面A1BC1平面A1B1O,所以直线A1B1与平面A1BC1所成角为B1A1O,故sinB1A1O=.故选D.4.如图所示,已知正三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长都相等,M是侧棱CC1的中点,则异面直线AB1和BM所成的角的大小是(D)(A)(B)(C)(D)解析:法一延长A1B1至D,使A1B1=B1D,连接BD,DM,DC1,则AB1BD,MBD就是直线AB1和BM所成的角,设三棱柱的各条棱长为2,则BM=,BD=2,C1D2=A1D2+A1-2A1DA1C1cos 60=16+4-242=12.DM2=C1D2+C1M2=13,
4、cosDBM=0,DBM=.法二=+=+,=+,=(+)(+)=+=aacos 120+a2=0,即异面直线BM与AB1所成的角是.故选D.5.如图所示,四棱锥SABCD的底面为正方形,SD底面ABCD,则下列结论中不正确的是(D) (A)ACSB(B)AB平面SCD(C)SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角(D)AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角解析:选项A正确,因为SD垂直于平面ABCD,而AC在平面ABCD中,所以AC垂直于SD;又ABCD为正方形,所以AC垂直于BD;而BD与SD相交,所以AC垂直于平面SBD,所以AC垂直于SB.选项B正确,因为AB平行于CD,而
5、CD在平面SCD内,AB不在平面SCD内,所以AB平行于平面SCD.选项C正确,设AC与BD的交点为O,则SA与平面SBD所成的角就是ASO,SC与平面SBD所成的角就是CSO,易知这两个角相等.选项D错误,AB与SC所成的角等于SCD,而DC与SA所成的角等于SAB,这两个角不相等.故选D.6.(2014荆州高中毕业班质检)如图所示,已知E,F分别是正方体的棱BB1,AD的中点,则直线EF和平面BDD1B1所成角的正弦值是(B)(A)(B)(C)(D)解析:设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2,由于E,F分别是正方体的棱BB1,AD的中点,连接BD,AE,过F作BD的垂线FH交BD于H
6、,连接EH,(图略)则FH平面BDD1B1,所以直线EF和平面BDD1B1所成角为FEH,因为FH=,AF=1,AE=,EF=,故sin FEH=.故选B.7.(2014武汉调研)如图,边长为4的等边三角形ABC中,D为BC边的中点,若将ABC沿AD折起之后,B、C两点的距离等于,则二面角BADC的余弦值等于.解析:在等边三角形ABC中,ADBC,且BD=DC=2.如图,折起之后,ADBD,ADCD,所以BDC为二面角BADC的平面角.在BDC中,cosBDC=.答案:8.已知点E,F分别在正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1,CC1上,且B1E=2EB,CF=2FC1,则平面AEF与平面
7、ABC所成的二面角的正切值等于.解析:由题意知FC=2BE,延长FE,CB相交于P,连接AP,则平面AEF平面ABC=AP.由CF=2BE知B为PC的中点.所以PAB=45,得ACAP,又CC1AP,所以AP平面ACF,FAC为平面AEF与平面ABC所成二面角的平面角.在RtAFC中,tan FAC=.即平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值是.答案:9.(2014浙江省高三调研)平面平面,A,B,AB与两平面,所成的角分别为和,过A,B分别作两平面交线的垂线,垂足分别为A,B,则ABAB的值是.解析:BAB,ABA分别为AB与,所成的角,不妨设AB=2,则BB=,AB=,AB=1,所以A
8、BAB=2.答案:210.如图所示,二面角l的大小是60,线段AB,Bl,AB与l所成的角为30,则AB与平面所成的角的正弦值是.解析:如图,过点A作平面的垂线,垂足为C,在内过C作l的垂线,垂足为D,连接AD,由线面垂直判定定理可知l平面ACD,则lAD,故ADC为二面角l的平面角,即ADC=60,又ABD=30,连接CB,则ABC为AB与平面所成的角,设AD=2,则AC=,CD=1,AB=4,sin ABC=.答案:11.(2012高考四川卷)如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M、N分别是棱CD、CC1的中点,则异面直线A1M与DN所成的角的大小是.解析:如图所示,取CN的中点
9、K,连接MK,则MK为CDN的中位线,所以MKDN.所以A1MK为异面直线A1M与DN所成的角.连接A1C1,AM.设正方体棱长为4,则A1K=,MK=DN=,A1M=6,A1M2+MK2=A1K2,A1MK=90.答案:9012.(2014台州期末评估)如图,三棱柱ABCA1B1C1中,ABC是正三角形,棱AA1平面ABC,E是AC的中点. (1)求证:平面BEC1平面ACC1A1;(2)若AA1=,AB=2,求直线AB与平面BEC1所成角的正弦值.(1)证明:A1A平面ABC,平面ABC平面AA1C1C,平面ABC平面AA1C1C=AC,BEAC,BE平面AA1C1C,平面BEC1平面AC
10、C1A1.(2)解:过A作AH垂直于C1E的延长线于H,连接BH,平面BEC1平面ACC1A1,平面BEC1平面ACC1A1=C1E,AHC1E,AH平面BEC1,ABH即为直线AB和平面BEC1所成的角.AHE与C1CE相似,AH=.sinABH=.能力提升13.(2014北京西城区期末)如图所示,四边形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD=,BDCD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体ABCD,使平面ABD平面BCD,则下列结论正确的是(B) (A)ACBD(B)BAC=90(C)CA与平面ABD所成的角为30(D)四面体ABCD的体积为解析:取BD的中点O,连接AO,OC.(图略)
11、.AB=AD,AOBD,又平面ABD平面BCD.平面ABD平面BCD=BD,AO平面BCD,CDBD,OC不垂直于BD.假设ACBD,OC为AC在平面BCD内的射影,OCBD,矛盾.AC不垂直于BD,选项A错误.CDBD,平面ABD平面BCD,CD平面ABD,CDAB,AB=AD=1,BD=,ABAD,AB平面ACD,ABAC,B正确.CAD为直线CA与平面ABD所成的角,CAD=45,C错误.=SABDCD=.D错误.故选B.14.(2014高考浙江卷)如图,某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练,已知点A到墙面的距离为AB,某目标点P沿墙面上的射线CM移动,此人为了准确瞄准
12、目标点P,需计算由点A观察点P的仰角的大小(仰角为直线AP与平面ABC所成角),若AB=15 m,AC=25 m,BCM=30,则tan 的最大值是(D) (A)(B)(C)(D)解析:如图所示,在CM上任取一点P,作PD垂直于BC则PD为平面ABC的垂线,PAD=.设PD=x m,则CD=x m,由AD=,得tan =,解得最大值是.故选D.15.(2014金华十校联考)如图,已知四棱锥PABCD,底面ABCD为边长为2的菱形,PA平面ABCD,ABC=60,E是BC的中点,PA=AB. (1)证明:AEPD;(2)若F为PD上的动点,求EF与平面PAD所成最大角的正切值.(1)证明:因为四
13、边形ABCD为菱形,且ABC=60,所以ABC为正三角形.E为BC中点,故AEBC;又因为ADBC,所以AEAD.因为PA平面ABCD,AE平面ABCD,所以PAAE.故AE平面PAD,又PD平面PAD,所以AEPD.(2)连接AF,由(1)知AE平面PAD,所以AFE为EF与平面APD所成的角.在RtAEF中,AE=,AFE最大当且仅当AF最短,即AFPD时,AFE最大.依题意,此时,在RtPAD中,PAAD=PDAF,所以AF=,tanAFE=.所以,EF与平面PAD所成最大角的正切值为.16.(2014温州模拟)已知E,F分别是矩形ABCD的边AD,BC上的点,AB=2,AD=5,AE=
14、1,BF=3.现将四边形AEFB沿EF折成四边形AEFB,使DFBF(1)求证:平面AEFB平面CDEF;(2)求二面角BFCE的正切值.(1)证明:DF=EF=2,ED=4,EFD=90,即DFEF.又DFBF,EFBF=F,DF平面AEFB.又DF平面CDEF,平面AEFB平面CDEF.(2)解:过B作BHEF于H,由(1)可知平面AEFB平面CDEF,又平面AEFB平面CDEF=EF,BH平面CDEF,BHCF.过H作HKCF,交CF延长线于点K,连接BK,CF平面BHK;CFBK.BKH为二面角BFCE的平面角.BF=3,BFE=45,BHF=90,BH=HF=.又EFK=45,HKF=90,HK=.tanBKH=.即二面角BFCE的正切值为.
