1、阶段质量评估(三)数系的扩充与复数的引入(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1（2017全国卷) (1+i)(2+i)= ()A.1- iB1+3iC3+ iD3+3i解析：(1+i)(2+i)=2+i+2i-1=1+3i.答案：B2已知f(x)x2，i是虚数单位，则在复平面中复数对应的点在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：因为i，故选A答案：A3复数()Ai BiCi Di解析：依题意得i，故选C答案：C4设复数z11i，z22xi(xR)，若z1z2R，则x()A1 B2
2、C1 D2解析：z1z2(1i)(2xi)(2x)(2x)i.因为z1z2R，所以x20，x2，故选B答案：B5如果复数(其中i为虚数单位，b为实数)的实部和虚部互为相反数，那么b()A BC D2解析：复数22b(4b)i，它的实部和虚部互为相反数，22b(4b)0，b.答案：C6已知复数z134i，z2ti，且z12是实数，则实数t等于()A BC D解析：z12(34i)(ti)(3t4)(4t3)i，依题意4t30，t.答案：A7设zC，若z2为纯虚数，则z在复平面上的对应点落在()A实轴上 B虚轴上C直线yx(x0)上 D以上都不对解析：设zabi(a，bR)，z2a2b22abi为
3、纯虚数，ab，即z在直线yx(x0)上答案：C8已知是z的共轭复数，复数z，则z()A BC1 D2解析：zi，i，z22.答案：A9已知复数z112i，z21i，z334i，它们在复平面上所对应的点分别为A，B，C若(，R)，则的值是()A1 B2C3 D4解析：34i(12i)(1i)(2)i，得1.答案：A10如果复数z满足|zi|zi|2，那么|z1i|的最小值是()A1 BC2 D解析：|zi|zi|2，则复数z在复平面对应的点Z在以(0,1)和(0，1)为端点的线段上，|z1i|表示点Z到(1，1)的距离由下图知最小值为1.答案：A11已知i为虚数单位，复数z13ai，z212i，
4、若复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围为()Aa|a6BC D解析：i，因为复平面内对应的点在第四象限，所以6a.故选B答案：B12已知复数z32i(i为虚数单位)是关于x的方程2x2pxq0(p，q为实数)的一个根，则pq的值为()A22 B36C38 D42解析：因为z32i是关于x的方程2x2pxq0的一个根，所以有2(32i)2p(32i)q0，即2(9412i)3p2piq0得1024i3p2piq0得10q3p(2p24)i0.由复数相等得所以pq38.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13已知复数z1a23i，z22aa2i
5、，若z1z2是纯虚数，则实数a_.解析：由条件知z1z2a22a3(a21)i，又z1z2是纯虚数，所以解得a3.答案：314复数z(m23m2)(m22m8)i的共轭复数在复平面内的对应点位于第一象限，则实数m的取值范围是_.解析：复数z(m23m2)(m22m8)i的共轭复数为(m23m2)(m22m8)i，由在复平面内对应的点在第一象限，得，解得2m1或2m4.答案：(2,1)(2,4)15(2017江苏卷)已知复数z(1i)(12i)，其中i是虚数单位，则z的模是_解析：方法一z(1i)(12i)12ii213i，|z|.方法二|z|1i|12i|.答案：16若复数z满足|zi|(i为
6、虚数单位)，则z在复平面内所对应的图形的面积为_.解析：设zxyi(x，yR)，则由|zi|可得，即x2(y1)22，它表示以点(0,1)为圆心，为半径的圆及其内部，所以z在复平面内所对应的图形的面积为2.答案：2三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分12分) 设z(1i)8i，求复数z对应的点到原点的距离解：z(1i)8i(1i)24i(2i)4iii2i.所以复数z对应的点为(0，2)，到原点的距离为2.18(本小题满分12分)m为何实数时，复数z(2i)m23(i1)m2(1i)分别满足下列条件？(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数解
7、：z(2i)m23(i1)m2(1i)2m2m2i3mi3m22i(2m23m2)(m23m2)i.(1)由m23m20得m1或m2，即m1或2时，z为实数(2)由m23m20得m1且m2，即m1且m2时，z为虚数(3)由得m，即m时，z为纯虚数19(本小题满分12分)在复平面内，O是原点，向量对应的复数是2i.(1)如果点A关于实轴的对称点为B，求向量对应的复数；(2)如果(1)中点B关于虚轴的对称点为C，求点C对应的复数解：(1)设所求向量对应的复数为z1abi(a，bR)，则点B的坐标为(a，b)已知A(2,1)，由对称性可知a2，b1.所以对应的复数为z12i.(2)设所求点C对应的复
8、数为 z2cdi(c，dR)，则C(c，d)由(1)，得B(2，1)由对称性可知，c2，d1.故点C对应的复数为z22i.20(本小题满分10分)设z1是虚数，z2z1是实数，且1z21.(1)求|z1|的值以及z1的实部的取值范围；(2)若，求证：为纯虚数(1)解：设z1abi(a，bR且b0)，则z2z1abiabi.因为z2是实数，b0，于是有a2b21，即|z1|1，还可得z22a.由1z21，得12a1，解得a，即z1的实部的取值范围是，.(2)证明：i.因为a，b0，所以为纯虚数21(本小题满分12分)(1)求复数z1cos isin (1，试求自然数m，n的值.解：(1)|z|2cos .(2)因为log(mn)(m23m)i1，所以式子log(mn)(m23m)i是实数，从而有由得m0或m3，当m0时代入得n0，所以n1；当m3时代入得n1与n是自然数矛盾，故舍去.综上可得m0，n1.22(本小题满分12分)已知z1i，(1)设z234，求.(2)如果1i，求实数a，b的值解：(1)z1i，z234(1i)23(1i)41i.(2)由1i，把z1i代入，得1i，即1i，(ab)(a2)i(1i)i1i.解得