1、专题01质数那些事阅读与思考 一个大于1的自然数如果只能被1和本身整除，就叫作质数(也叫素数)；如果能被1和本身以外的自然数整除，就叫作合数；自然数1既不是质数，也不是合数，叫作单位数这样，我们可以按约数个数将正整数分为三类：关于质数、合数有下列重要性质：1质数有无穷多个，最小的质数是2，但不存在最大的质数，最小的合数是421既不是质数，也不是合数；2是唯一的偶质数3若质数|，则必有|或|4算术基本定理：任意一个大于1的整数N能唯一地分解成个质因数的乘积(不考虑质因数之间的顺序关系)：N= ，其中，为质数，为非负数(=1，2，3，)正整数N的正约数的个数为(1)(1)(1)，所有正约数的和为(
2、1)(1)(1)例题与求解【例1】已知三个质数，满足=99，那么的值等于_ (江苏省竞赛试题)解题思想：运用质数性质，结合奇偶性分析，推出，的值【例2】若为质数，5仍为质数，则7为( ) A质数B可为质数，也可为合数 C合数D既不是质数，也不是合数 (湖北省黄冈市竞赛试题)解题思想：从简单情形入手，实验、归纳与猜想【例3】求这样的质数，当它加上10和14时，仍为质数 (上海市竞赛试题)解题思想：由于质数的分布不规则，不妨从最小的质数开始进行实验，另外，需考虑这样的质数是否唯一，按剩余类加以深入讨论【例4】 将1，2，2 004这2 004个数随意排成一行，得到一个数，求证：一定是合数 若是大于
3、2的正整数，求证：1与1中至多有一个质数 求360的所有正约数的倒数和 (江苏省竞赛试题)解题思想：将1到2 004随意排成一行，由于中间的数很多，不可能一一排出，不妨找出无论怎样排，所得数都有非1和本身的约数；只需说明1与1中必有一个是合数，不能同为质数即可；逐个求解正约数太麻烦，考虑整体求解【例5】设和是正整数，是奇质数，并且，求的值解题思想：由题意变形得出整除或，不妨设由质数的定义得到21=1或21=由及21为质数即可得出结论【例6】若一个质数的各位数码经任意排列后仍然是质数，则称它是一个“绝对质数”如2，3，5，7，11，13(31)，17(71)，37(73)，79(97)，113(
4、131，311)，199(919，991)，337(373，733)，都是质数求证：绝对质数的各位数码不能同时出现数码1，3，7，9 (青少年国际城市邀请赛试题)解题思想：一个绝对质数如果同时含有数字1，3，7，9，则在这个质数的十进制表示中，不可能含有数字0，2，4，5，6，8，否则，进行适当排列后，这个数能被2或5整除能力训练A级1若，为整数，=1997，则=_ 2在1，2，3，这个自然数中，已知共有个质数，个合数，个奇数，个偶数，则()()=_3设，为自然数，满足1176=，则的最小值为_ (“希望杯”邀请赛试题)4已知是质数，并且3也是质数，则48的值为_(北京市竞赛试题)5任意调换1
5、2345各数位上数字的位置，所得的五位数中质数的个数是 ( ) A4B8C12D06 在2 005，2 007，2 009这三个数中，质数有 ( ) A0个B1个C2个D3个 (“希望杯”邀请赛试题)7一个两位数的个位数字和十位数字变换位置后，所得的数比原来的数大9，这样的两位中，质数有() A1个B3 个C5个D6 个 (“希望杯”邀请赛试题)8设，都是质数，并且=，求9写出十个连续的自然数，使得个个都是合数 (上海市竞赛试题)10在黑板上写出下面的数2，3，4，1 994，甲先擦去其中的一个数，然后乙再擦去一个数，如此轮流下去，若最后剩下的两个数互质，则甲胜；若最后剩下的两个数不互质，则乙
6、胜，你如果想胜，应当选甲还是选乙？说明理由 (五城市联赛试题)11用正方形的地砖不重叠、无缝隙地铺满一块地，选用边长为cm规格的地砖，恰用块，若选用边长为cm规格的地砖，则要比前一种刚好多用124块，已知，都是正整数，且(，)=1，试问这块地有多少平方米？ (湖北省荆州市竞赛试题)B级1若质数，满足57=129，则的值为_2已知，均为质数，并且存在两个正整数，使得=，=，则的值为_3自然数，都大于1，其乘积=2 000，则其和的最大值为_，最小值为_ (“五羊杯”竞赛试题)4机器人对自然数从1开始由小到大按如下的规则染色：凡能表示为两个合数之和的自然数都染成红色，不合上述要求的自然数都染成黄色
7、，若被染成红色的数由小到大数下去，则第1 992个数是_ (北京市“迎春杯”竞赛试题)5若，均为质数，且满足=2 089，则49=_ A0 B2 007C2 008D2 010 (“五羊杯”竞赛试题)6设为质数，并且78和87也都为质数，记=778，=887，则在以下情形中，必定成立的是() A，都是质数B，都是合数 C，一个是质数，一个是合数 D对不同的，以上皆可能出现 (江西省竞赛试题)7设，是自然数，并且，求证：一定是合数 (北京市竞赛试题)8请同时取六个互异的自然数，使它们同时满足： 6个数中任意两个都互质； 6个数任取2个，3个，4个，5个，6个数之和都是合数，并简述选择的数符合条件
8、的理由9已知正整数，都是质数，并且7与11也都是质数，试求的值 (湖北省荆州市竞赛试题)10. 41名运动员所穿运动衣号码是1，2，40，41这41个自然数，问： (l) 能否使这41名运动员站成一排，使得任意两个相邻运动员的号码之和是质数？ (2) 能否让这41名运动员站成一圈，使得任意两个相邻运动员的号码之和都是质数？若能办到，请举出一例；若不能办到，请说明理由专题01 质数那些事例1 34例2 C例3 3符合要求 提示：当p=3k1时，p10=3k11，p14=3(k5)，显然p14是合数，当p=3k2时，p10=3(k4)是合数，当p=3k时，只有k=1才符合题意例4 （1）因1220
9、04=2004（12004）=10022005为3的倍数，故无论怎样交换这2004个数的顺序，所得数都有3这个约数 （2）因n是大于2的正整数，则17，1、1是不小于7的三个连续的正整数，其中必有一个被3整除，但3不整除，故1与1中至多有一个数是质数 （3）设正整数a的所有正约数之和为b，为a的正约数从小到大的排列，于是=1，=a由于中各分数分母的最小公倍数=a，故S=，而a=360=，故b=（12）（13）（15）=1170=例5 由=，得xy=k（k为正整数），可得2xy=kp，所以p整除2xy且p为奇质数，故p整除x或y，不放设x=tp，则tpy=2ty，得y=为整数又t与2t1互质，故
10、2t1整除p，p为质数，所以2t1=1或2t1=p若2t1=，得t=1，x=y=p，与xy矛盾；若2t1=p，则=，2xy=p（xy）p是奇质数，则xy为偶数，x、y同奇偶性，只能同为xy=必有某数含因数p令x=ap，ay=，2ay=apyy=，故a，2a1互质，2a1整除p，又p是质数，则2a1=p，a=，故x=，xy=。例6 设N是一个同时含有数字1，3，7，9的绝对质数因为=7931，=1793，=9137，=7913，=7193，=1937，=7139除以7所得余数分别为0，1，2，3，4，5，6故如下7个正整数： =L， =L， =L， 其中，一定有一个能被7整除，则这个数就不是质数
11、，故矛盾A级11998 21 363 42000 5D 6A 7B8由r=pq可知r不是最小的质数，则为奇数，故p，q为一奇一偶，又因为pq故p既是质数又是偶数，则p=29设十个连续合数为k2，k3，k4，k10，k11，这里k为自然数，则只要取k是2，3，4，11的倍数即可10选甲提示：相邻的两个自然数总是互质数，把相邻自然数两两分为一组，这两数总是互质的，（2，3），（4，5），（6，7），（1992，1993），1994，甲擦掉1994，无论乙擦哪一个数，甲就擦那一组的另一数，以此类推，最后还剩一对互质数11设这块地面积为S，则S=（n124）=124 xy （x，y）=1（，）=1 （
12、，）=1 得124124=31，=（xy）（xy），或，或（舍）此时n=900S=900=230400cm=2304m。B级119或252 提示：q=mn，则m、n只能一个为1，另一个为q3133 23 420015B 提示：唯有a=2，b=2089=20892048=41是质数，符合题意6A 提示：当a=3时，符合题意；当a3时，被3处余1，设=3n1，则78=21n15，87=24n15，它们都不是质数，与条件矛盾故a=37a，b，c，d都是偶数，即M=（abcd）是偶数因为=，所以=2（）是偶数，从而有abcd=M=2（）M，它 一定是偶数，但abcd2，于是abcd是个合数8取六个数a
13、ii(123456)1 (i1，2，6)，则其中任意两个数都是互质的，事实上，假设a2与a5不互质，设d是a2与a5的最大公约数，则d必是(52)123456，即3123456的一个因子，但从a221234561知，d不整除a2，这与假设d是a2与a5的最大公约数矛盾，故a2与a5互质9由pq1111且pq11是质数知，pq11必为正奇数，从而p2或q2 (1)若p2，此时7pq及2q11均为质数设q3k1，则q143(k5)不是质数；设q3k2，则2q113(2k5)不是质数，因此q应为3k型的质数，当然只能是q3(2)若q2，此时7pq与2p11均为质数，设p3k1，则7p23(7k3)不
14、是质数；设p3k2，则2p113(2k5)不是质数，因此，p应为3k型的质数，p3 综合(1)，(2)知p3，q2 或p2，q3，所以pq十qp 1710(1)能办到 提示：注意到41与43都是质数，据题意，要使相邻两数的和都是质数，显然它们只能都是奇数，因此，在这排数中只能一奇一偶相间排列：不妨先将奇数排成一排：1，3，5，7，41，在每两数之间留空，然后将所有的偶数依次反序插在各空白中，得1，40，3，38，5，36，7，34，8，35，6，37，4，39，2，41.这样任何相邻两数之和都是41或43.满足题目要求 (2)不能办到 提示：若把1，2，3，40，41排成一圈，要使相邻两数的和为质数，这些质数都是奇数，故圆圈上任何相邻两数必为一奇一偶但现有20个偶数，21个奇数，总共是41个号码，由此引出矛盾，故不能办到，