1、专题五导数的简单应用题型一| 导数的几何意义(1)若函数f(x)x3ax2bx为奇函数，其图象的一条切线方程为y3x4，则b的值为_(2)经过原点(0,0)作函数f(x)x33x2图象的切线，则切线方程为_(1)3(2)y0或9x4y0(1)由奇函数的定义f(x)f(x)，易得a0，对函数求导可得：f(x)3x2b，可设切点(x0，y0)，则有可解得即b的值为3.(2)f(x)3x26x.当(0,0)为切点时，f(0)0，故切线方程为y0.当(0,0)不为切点时，设切点为P(x0，x3x)，则切线方程为y(x3x)(3x6x0)(xx0)，又点(0,0)在切线上，所以x3x3x6x，解得x00
2、(舍去)或x0，故切线方程为9x4y0.【名师点评】解决函数切线的相关问题，需抓住三个关键点：(1)切点是曲线与切线的公共点；(2)在切点处的导数是切线的斜率.因此，解决此类问题，一般要设出切点，建立关系方程(组)；(3)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异.“过点P的切线”中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上；在“点P处的切线”，点P是切点.1已知直线axby20与曲线yx3在点P(1,1)处的切线互相垂直，则_.设曲线yx3在点P(1,1)处的切线斜率为k，则ky|x13.因为直线axby20与曲线yx3在点P(1,1)处的切线互相垂直，所以.2在平面直角
3、坐标系xOy中，直线l与曲线yx2(x0)和yx3(x0)均相切，切点分别为A(x1，y1)和B(x2，y2)，则的值是_由题设函数yx2在A(x1，y1)处的切线方程为：y2x1xx，函数yx3在B(x2，y2)处的切线方程为y3xx2x.所以解得x1，x2.所以.3曲线f(x)exf(0)xx2在点(1，f(1)处的切线方程为_yex令x0，f(0)e0f(0)00，所以f(0)，从而f(x)exxx2，f(x)exx.令x1时，f(1)e1，f(1)e，f(x)exx.f(1)e，则切线为ye(x1)，即yex.题型二| 利用导数研究函数的单调性(1)若函数f(x)在x(2，)上单调递减
4、，则实数a的取值范围是_(2)函数yx2ln x的单调递减区间为_(1)a(2)(0,1(1)对函数求导得：f(x)，令f(x)0，即2a10，解得a0)令y0，得00或f(x)1，00(其中f(x)是函数f(x)的导函数)，则f_f.(填“”“”或“”)【导学号：91632014】0，函数g(x)是增函数又，因此gg，即2ff，ff.3若函数f(x)x32x2ax10在区间1,4上具有单调性，则实数a的取值范围是_(，162，)函数f(x)x32x2ax10在区间1,4上具有单调性，分两种情况：函数f(x)在区间1,4上单调递增，即f(x)2x24xa0在1,4上恒成立，即判别式(4)242
5、a0，解得a2；函数f(x)在区间1,4上单调递减，即f(x)2x24xa0在1,4上恒成立，需f(4)0，解得a16.于是，实数a的取值范围是(，162，)题型三| 利用导数研究函数的极值、最值(1)已知函数f(x)x33mx2nxm2在x1时有极值0，则mn_.(2)已知表面积为12的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为_(3)已知函数f(x)的导数f(x)a(x1)(xa)，若f(x)在xa处取得极大值，则a的取值范围是_(1)11(2)12(3)(1,0)(1)对函数求导得f(x)3x26mxn，由题意得即解得或当时，f(x)3x26x33(x1)20，故mn11.(2)因
6、为122rh2r2，即rhr26，所以Vr2hr(6r2)，0r.由V(63r2)0，得r.当0r0；当r时，V0，当x(1，a)时，f(x)0，所以函数f(x)在xa处取得极小值；若1a0，当x(a，)时，f(x)0，所以函数f(x)在xa处取得极大值；若a1，当x(，a)时，f(x)0，所以函数f(x)在xa处取得极小值所以a(1,0)【名师点评】利用导数研究函数的极值、最值的注意点：(1)极值：导函数的零点并不一定就是函数的极值点，因此在求得f(x0)0后务必验证xx0及xx0时f(x)的符号是否相反. (2)最值：对含参数的函数解析式求最值时，常常分类讨论，分类的原则是极值点在给定区间
7、的内部还是外部，从而根据单调性求出最值.求极值和最值时，为了直观易懂，常常列出x的取值范围与y的符号及y的单调区间、极值的对应表格.1(2016南京模拟)若函数f(x)x2x1在区间上有极值点，则实数a的取值范围是_若函数f(x)在区间上无极值，则当x时，f(x)x2ax10恒成立或当x时，f(x)x2ax10恒成立当x时，ax的值域是；当x时，f(x)x2ax10，即ax恒成立，a2；当x时，f(x)x2ax10，即ax恒成立，a.因此要使函数f(x)在上有极值点，实数a的取值范围是.2关于x的方程x33x2a0有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是_【导学号：91632015】(4,0)
8、由题意知使函数f(x)x33x2a的极大值大于0且极小值小于0即可，又f(x)3x26x3x(x2)，令f(x)0，得x10，x22.当x0；当0x2时，f(x)2时，f(x)0，所以当x0时，f(x)取得极大值，即f(x)极大值f(0)a；当x2时，f(x)取得极小值，即f(x)极小值f(2)4a，所以解得4a0.3已知函数yx33x在区间a，a1(a0)上的最大值与最小值的差为2，则满足条件的实数a的所有值是_1或0y3x233(x1)(x1)，函数yx33x在(，1)上递增，在(1,1)上递减，在(1，)上递增，当a0时，由题意可知f(x)maxf(0)0，f(x)minf(1)2，f(0)f(1)0(2)2，故a0合题意当0a1时，11a2，函数在a,1)上递减，在(1，a1上递增，f(x)minf(1)2.由f(a)f(a1)得3a23a20，解得a.()当0a时，f(x)maxf(a)，a33a(2)2，解得a0或或(舍)()当a1时，f(x)maxf(a1)(a1)33(a1)(2)2，解得a1，符合题意当a1时，f(x)在a，a1上递增，f(x)minf(a)，f(x)maxf(a1)，(a1)33(a1)a33a2，解得a1(舍去)综上，a1或0.
