1、课时作业(四十二)空间几何体的表面积和体积一、选择题1(2016合肥二模)某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A124 B188C28 D208解析：由三视图可知该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，如图。答案：D2(2016东北三校一联)某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为()A. B.C. D.解析：如图，由三视图中所给尺寸知，AC1，DC2，ACD。BCD。故该几何体是一个圆锥的三分之一，且高为4，故体积为V224。答案：D3(2016荆州二检)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. BC. D2解析：由三视图可知，该几何体是
2、在一个圆柱中挖去两个半球而形成的，且圆柱的底面圆半径为1，母线长为2，则圆柱的体积V柱1222，挖去的两个半球的半径均为1，因此挖去部分的体积为V球213，因此，几何体的体积为VV柱V球2，故选A。答案：A4(2016北京模拟)某几何体的三视图如图所示，当ab取最大值时，这个几何体的体积为()A. B.C. D.解析：由题意知，该几何体的直观图如图所示，且AC，BD1，BCb，ABa。设CDx，ADy，则x2y26，x21b2，y21a2，消去x2，y2得a2b28，所以ab4，当且仅当ab2时等号成立，此时x，y，所以V1。答案：D5(2016西安模拟)四面体ABCD的四个顶点都在球O的球面
3、上，AB平面BCD，BCD是边长为3的等边三角形。若AB2，则球O的表面积为()A. B12C16 D32解析：将四面体ABCD补形成正三棱柱，则其外接球的球心为上、下底面的中心连线的中点，底面BCD的外接圆半径为，所以外接球的半径R2，球O的表面积S4R216。答案：C6(2016衡水中学一模)已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为()A16 B4C8 D2解析：画出该几何体的直观图如图所示，设点O为AB的中点，连接OP，OC，由三视图知OP平面ABC，且OP1，ABC为直角三角形，且ACB90，AC，BC1，由勾股定理得AB2，由于点O为斜边AB的中点，所以OCAB1，所以OAO
4、BOCOP1，则点O为三棱锥PABC的外接球的球心，所以三棱锥PABC外接球的半径长为1，其表面积为4124，故选B。答案：B二、填空题7(2016大连模拟)某一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_。解析：依题意，可知题中的几何体是从一个棱长为2的正方体中挖去一个圆锥，其中该圆锥的底面半径是1，高是2，因此该几何体的体积等于231228。答案：88(2016唐山模拟)如图：ABC中，AB8，BC10，AC6，DB平面ABC，且AEFCBD，BD3，FC4，AE5。则此几何体的体积为_。解析：方法一：如图，取CMANBD，连接DM，MN，DN，用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一
5、个四棱锥。所以V几何体V三棱柱V四棱锥。由题知三棱柱ABCNDM的体积为V186372。四棱锥DMNEF的体积为V2S梯形MNEFDN(12)6824，则几何体的体积为VV1V2722496。方法二：用“补形法”把原几何体补成 一个直三棱柱，使AABBCC8，所以V几何体V三棱柱SABCAA24896。答案：969(2016郑州模拟)已知三棱锥PABC的四个顶点均在半径为3的球面上，且PA，PB，PC两两互相垂直，则三棱锥PABC的侧面积的最大值为_。解析：如图所示，因为PA，PB，PC两两互相垂直，所以三棱锥PABC的外接球就是以PA，PB，PC为棱长的长方体的外接球。设PAa，PBb，PC
6、c，则有a2b2c243236，而三棱锥PABC的侧面积为Sabbcac。又ab(当且仅当ab时取等号)，bc(当且仅当bc时取等号)，ac(当且仅当ac时取等号)，所以S18(当且仅当abc时取等号)。答案：18三、解答题10已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6，高为4的等腰三角形，(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体侧面积S。解析：由已知可得，该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥VABCD，如图所示。(1)V(86)464(2)该四棱锥有两个侧面VAD、VBC是全等的等腰
7、三角形，且BC边上的高为h1 4，另两个侧面VAB，VCD也是全等的等腰三角形，AB边上的高为h2 5因此S2(6485)4024。11一个几何体的三视图如图所示。已知正视图是底边长为1的平行四边形，侧视图是一个长为、宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形。(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的表面积S。解析：(1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为1的正方形，高为，所以V11。(2)由三视图可知，该平行六面体中，A1D平面ABCD，CD平面BCC1B1，所以AA12，侧面ABB1A1，CDD1C1均为矩形。S2(11112)62。12(2016绍兴模拟)用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且全面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如图)，设容器的高为h米，盖子边长为a米。(1)求a关于h的函数解析式；(2)设容器的容积为V立方米，则当h为何值时，V最大？求出V的最大值。(求解本题时，不计容器的厚度)解析：(1)设h为正四棱锥的斜高，由已知解得a(h0)。(2)Vha2(h0)，易得V，因为h22，所以V，当且仅当h，即h1时取等号，故当h1米时，V有最大值，V的最大值为立方米。