1、抛物线课时作业1抛物线x2y的焦点到准线的距离是()A2B1CD答案D解析抛物线标准方程x22py(p0)中p的几何意义为：抛物线的焦点到准线的距离，又p，故选D2(2019全国卷)若抛物线y22px(p0)的焦点是椭圆1的一个焦点，则p()A2B3C4D8答案D解析抛物线y22px(p0)的焦点坐标为，椭圆1的焦点坐标为.由题意得，解得p0(舍去)或p8.故选D3已知抛物线C：y2x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|x0，则x0()A1B2C4D8答案A解析由题意知抛物线的准线为x.因为|AF|x0，根据抛物线的定义可得x0|AF|x0，解得x01.故选A4(2019山西太原模
2、拟)抛物线x24y上一点P到焦点的距离为3，则点P到y轴的距离为()A2B1C2D3答案A解析根据抛物线方程可求得焦点坐标为(0,1)，准线方程为y1.根据抛物线的定义，得yP13，解得yP2，代入抛物线方程求得xP2，点P到y轴的距离为2.故选A5(2019湖南师大附中模拟)设抛物线y22px的焦点在直线2x3y80上，则该抛物线的准线方程为()Ax4Bx3Cx2Dx1答案A解析把y0代入2x3y80，得2x80，解得x4，抛物线y22px的焦点坐标为(4,0)，抛物线y22px的准线方程为x4.故选A6过抛物线C：x22y的焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点，若抛物线C在点B处的切线斜率
3、为1，则|AF|()A1B2C3D4答案A解析x22y，y，yx，抛物线C在点B处的切线斜率为1，B，抛物线x22y的焦点F的坐标为，直线l的方程为y，|AF|BF|1.故选A7(2019天津高考)已知抛物线y24x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线1(a0，b0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为()ABC2D答案D解析由已知易得，抛物线y24x的焦点为F(1,0)，准线l：x1，所以|OF|1.又双曲线的两条渐近线的方程为yx，不妨设点A，B，所以|AB|4|OF|4，所以2，即b2a，所以b24a2.又双曲线方程中c2a2b2，所以c25
4、a2，所以e.故选D8过点P(2,0)的直线与抛物线C：y24x相交于A，B两点，且|PA|AB|，则点A到抛物线C的焦点的距离为()ABCD2答案A解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别过A，B作直线x2的垂线，垂足分别为D，E.|PA|AB|，又得x1，则点A到抛物线C的焦点的距离为1.9(2019安徽合肥检测)已知双曲线x21的两条渐近线分别与抛物线y22px(p0)的准线交于A，B两点O为坐标原点若OAB的面积为1，则p的值为()A1BC2D4答案B解析双曲线的两条渐近线方程为y2x，抛物线的准线方程为x，故A，B两点的坐标为，|AB|2p，所以SOAB2p1，解得p，故选B1
5、0(2020湖北襄阳测试)已知抛物线yx2的焦点为F，准线为l，M在l上，线段MF与抛物线交于N点，若|MN|NF|，则|MF|()A2B3CD答案C解析如图，过N作准线的垂线NH，垂足为H.根据抛物线的定义可知|NH|NF|，在RtNHM中，|NM|NH|，则NMH45.在MFK中，FMK45，所以|MF|FK|.而|FK|1.所以|MF|.故选C11如图所示，抛物线y24x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AKl，垂足为K，则AKF的面积是()A4B3C4D8答案C解析由题意可得F(1,0)，直线AF：y(x1)，代入y24x，得3x210x30
6、，解得x3或x.由于点A在x轴上方，所以其坐标为(3,2)|AF|AK|314，AF的斜率为，即倾斜角为60，KAF60，AKF为等边三角形，AKF的面积为424.12(2019重庆南开中学第三次教学质量检测)已知F是抛物线y24x的焦点，A，B在抛物线上，且ABF的重心坐标为，则()ABCD答案A解析设点A(xA，yA)，B(xB，yB)，由焦点F(1,0)，ABF的重心坐标为，及重心坐标公式，得，即xAxB，yAyB1，由抛物线的定义可得|FA|FB|xA1(xB1)xAxB，由点在抛物线上可得作差yy4xA4xB，化简得kAB4，代入弦长公式得|AB|yAyB|yAyB|，则，故选A13
7、(2019湖北黄冈质量检测)若抛物线yax2的焦点F的坐标为(0，1)，则实数a的值为_答案解析因为抛物线yax2，所以x2y.由焦点F的坐标为(0，1)，得1，所以a.14已知F是抛物线y2x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，若|AF|BF|5，则线段AB的中点到y轴的距离为_答案解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由抛物线的定义可得|AF|BF|5，即x1x25，解得x1x2，所以线段AB的中点到y轴的距离为.15设P为抛物线y22px(p0)上任意一点，F为抛物线的焦点，定点A(1,3)，且|PA|PF|的最小值为，则此抛物线的方程为_答案y28x解析若A(1,3)在抛物线内部，
8、则|PA|PF|的最小值为1，故2p4(1)，抛物线的方程为y24(1)x，此时A(1,3)在抛物线外部，不符合题意；若A(1,3)在抛物线外部，则|PA|PF|的最小值为|AF|，故p4，抛物线的方程为y28x，此时A(1,3)在抛物线外部，符合题意16(2020聊城模拟)抛物线C：y24x的焦点为F，动点P在抛物线C上，点A(1,0)，则的最小值为_；当取得最小值时，直线AP的方程为_答案xy10或xy10解析设点P坐标为(4t2,4t)，F(1,0)，A(1,0)，|PF|2(4t21)216t216t48t21，|PA|2(4t21)216t216t424t21，21111，0，的最小
9、值为，当且仅当16t2，即t时，取得最小值，此时点P的坐标为(1,2)或(1，2)直线AP的方程为y(x1)，即xy10或xy10.17(2019安徽皖南八校联考)过抛物线C：x22py(p0)的焦点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，当点A的纵坐标为1时，|AF|2.(1)求抛物线C的方程；(2)若抛物线C上存在点M(2，y0)，使得MAMB，求直线l的方程解(1)抛物线C：x22py(p0)的准线方程为y，焦点为F.当点A的纵坐标为1时，|AF|2，12，解得p2，抛物线C的方程为x24y.(2)点M(2，y0)在抛物线C上，y01.又F(0,1)，设直线l的方程为ykx1.由得x24kx
10、40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x24k，x1x24，(x12，y11)，(x22，y21)MAMB，0，(x12)(x22)(y11)(y21)0，48k44k20.解得k2或k0.当k0时，l过点M(舍去)，k2，直线l的方程为y2x1.18(2018全国卷)设抛物线C：y22x，点A(2,0)，B(2，0)，过点A的直线l与C交于M，N两点(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；(2)证明：ABMABN.解(1)当l与x轴垂直时，l的方程为x2，可得M的坐标为(2,2)或(2，2)直线BM的方程为yx1或yx1.(2)证明：当l与x轴垂直时，AB为线段MN的垂直平分线
11、，所以ABMABN.当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为yk(x2)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x10，x20.由得ky22y4k0，可知y1y2，y1y24.直线BM，BN的斜率之和为kBMkBN.将x12，x22及y1y2，y1y2的表达式代入式分子，可得x2y1x1y22(y1y2)0.kBMkBN0，可知BM，BN的倾斜角互补，ABMABN.综上，ABMABN.19(2019山东烟台一模)已知F为抛物线C：y22px(p0)的焦点，过F的动直线交抛物线C于A，B两点，当直线与x轴垂直时，|AB|4.(1)求抛物线C的方程；(2)设直线AB的斜率为1且与抛物线的准
12、线l相交于点M，抛物线C上存在点P使得直线PA，PM，PB的斜率成等差数列，求点P的坐标解(1)因为F，在抛物线方程y22px中，令x，得yp.于是当直线与x轴垂直时，|AB|2p4，解得p2.所以抛物线的方程为y24x.(2)因为抛物线y24x的准线方程为x1，设直线AB的方程为yx1，所以M(1，2)联立消去x得y24y40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24，y1y24.若点P(x0，y0)满足条件，则2kPMkPAkPB，即2，因为点P，A，B均在抛物线上，所以x0，x1，x2，代入化简，得，将y1y24，y1y24代入，解得y02.将y02代入抛物线方程，可得x01.于是点P(1，2)为满足题意的点20(2019河北衡水4月大联考)已知O为坐标原点，抛物线E：x22py(p0)与直线l：yx1交于点A，B两点，且3.(1)求抛物线E的方程；(2)线段AB的中点为Q，过点Q且斜率为k的直线交抛物线E于C，D两点，若直线OC，OD分别与直线y2交于M，N两点，当|MN|时，求斜率k的值解(1)由消去y整理得x22px2p0.直线l与抛物线交于两点，4p28p4p(p2)0，解得p0或p0，故kR.设C，D，则x3x44k，x3x48k12，直线OC的方程为yx，令y2，得x，M，同理得N，|MN|888.解得k3，满足题意所求斜率k的值为3.
