1、西安中学2014届高三第八次模拟考试数学（理）试题一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确的选项填涂在答题纸上指定位置）1、复数（为虚数单位）的虚部是（）A BC D2已知集合，函数的值域为B，则为（ ）A B C D3、如图程序运行后,输出的值是（ ） A9 B. 5 C.-4 D. 144、已知等比数列，且，则的 值为（ ）A. B. C. D. 5、若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为（ ） A、 B、6 C、 D、 6、函数的大致图像是( ) A B C 7、圆心在曲线上
2、，与直线相切，且面积最小的圆的方程为（ ）A. B.C. D. 8给出下列命题：命题“若方程有两个实数根，则 ”的逆否命题是真命题；在ABC中，“ ”是“ ”的充要条件；函数的零点个数为； 幂函数的图像恒过定点其中正确命题的个数为（ ） 、 、 、 、 9、定义：区间长度为.已知函数定义域为，值域为， 则区间长度的最小值为（ ）A B C4 D10、对于定义域为的函数和常数，若对任意正实数，存在，使得恒成立，则称函数为“敛函数”现给出如下函数：； ； ； . 其中为“敛函数”的有 ( ) A B C D 二填空题：本大题有5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卷的相应位置.11、已知的最
3、小值为，则二项式展开式中项的系数为 . 12、若，则函数的单调递增区间是 13、已知实数x,y满足若取得最小值时的最优解 有无数个，则的值为_. 14、把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表设是位于这个三角形数表中从上往下数第行、从左往右数第个数，如则 15、定义：关于的不等式的解集叫的邻域已知的邻域为区间，其中、分别为椭圆的长半轴和短半轴若此椭圆的一焦点与抛物线的焦点重合，则椭圆的方程为 ； 、（选修44坐标系与参数方程）在极坐标系中，曲线与曲线的一个交点在极轴上，则的值为 . 、（选修4-1：几何证明选讲）是半圆的直径，点在半圆上，垂足为，且，设，则的值为 . 三解答题（本大题共6
4、小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）16、（本小题满分12分）已知向量，设函数，.（）求的最小正周期与最大值；（）在中， 分别是角的对边，若的面积为，求的值.17、（本小题满分12分）已知为等差数列，且.（）求数列的通项公式及其前项和；（）若数列满足,设数列的前项和为， 当时，证明 .18、（本题满分12分）（考生注意：本题由两题组成，考生在两题中选择一题解答）题一：证明点到直线的距离公式；已知点及直线：，证明点到直线的距离。题二：叙述椭圆的定义，并推导椭圆的标准方程；19、（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，为的中点. （1）若，求证：平面平面；（2）点在
5、线段上， 若平面平面，且， 求二面角的大小.20、（本小题满分13分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数（人）x3025y10结算时间（分钟/人）11.522.53已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%（）确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；（）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率（注：将频率视为概率）21、（本小题满分14分）已知函
6、数.（）求函数的单调区间；（）若对定义域内的任意恒成立，求实数的取值范围；（）证明：对于任意不小于的正整数 ，不等式恒成立.西安中学2014届第八次模拟考试数学（理科）试题答案三、解答题16、解：（1）， 的最小正周期为，的最大值为 6分（2）由得， ，又 ， 由余弦定理得： 12分17、解：（1）设等差数列的首项和公差分别为 ，则 ，解得2分 4分 6分（2）解： -得： ， 又 ， . -9分当时， 12分椭圆的定义：平面内到两个定点距离之和为定值（定值大于两定点的距离）的点的集合（或轨迹）为椭圆。称为椭圆的两个焦点。 3分解：设，定值为 ；取所在的直线为轴，线段的中点为坐标原点建立直角坐
7、标系，设动点 ，则 5分由已知条件有 ，将坐标代入有 7分化简整理得： ，令 则有：， ， 10分所以焦点在轴的椭圆的标准方程为如果取所在的直线为轴，则椭圆的标准方程为 12分19、（1）证明：由条件， ，又，所以平面 5分 （2），又平面平面，平面平面，以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系 ，则由题意得， ， 9分 设是平面的一个法向量，则，即，令得，又是平面的一个法向量，故二面角的大小为. 12分 20、解析：（）由已知，得25y1055，x3045，所以x15，y20该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机
8、样本，将频率视为概率得 ，所以的分布列为11.522.53的数学期望为 6分（2）记为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”，为该顾客前面第位顾客的结算时间，则 故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为 13分21、解： 。（）当时，若，则，若，则，故此时函数的单调递减区间是，单调递增区间是；当时，的变化情况如下表：单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是；当时，函数的单调递增区间是； 当时，同可得，函数的单调递增区间是，单调递减区间是5分（）由于，显然当时，此时对定义域每的任意不是恒成立的，当时，根据（1），函数在区间的极小值、也是最小值即是，此时只要即可，解得，故得实数的取值范围是 9分（）当时，等号当且仅当成立，这个不等式即，当时，可以变换为， 在上面不等式中分别令，所以 http:/w14分
