1、课时规范练15导数的简单应用课时规范练A册第11页基础巩固组1.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是() A.(-,2)B.(0,3)C.(1,4)D.(2,+)答案D解析函数f(x)=(x-3)ex的导数为f(x)=(x-3)ex=ex+(x-3)ex=(x-2)ex.由导数与函数单调性的关系,得当f(x)0时,函数f(x)单调递增,此时由不等式f(x)=(x-2)ex0,解得x2.2.(2016四川成都一模,8)已知函数f(x)=3x+2cos x,若a=f(32),b=f(2),c=f(log27),则a,b,c的大小关系是()A.abcB.cabC.bacD.bc0在R上恒成立
2、,所以f(x)在R上为增函数.又因为2=log24log27332,所以bcf(x),且f(1)=2,则不等式f(x)2ex-1的解集为()A.(1,+)B.(-,2)C.(-,1)D.(2,+)答案A解析构造函数F(x)=f(x)ex,则F(x)=f(x)-f(x)ex0,故F(x)在R上是减函数.因为f(1)=2,所以F(1)=2e.又不等式f(x)2ex-1,所以f(x)ex2e,即F(x)1.故不等式f(x)0恒成立,若a=-2f-6,b=2f6,c=2f4,则()A.cbaB.bacC.acbD.bc0,g(x)在区间(0,)上单调递增.f2=0,当x0,2时,f(x)sinx0,f
3、-6sin-6=-2f-60,f6sin6=2f6f4sin4=2f40,bcf(x0)成立,则a的取值范围为()A.(1,2)B.(1,+)C.1,+)D.(2,+)答案D解析由函数y=lg x和y=x的图象知,lg x0f(x0),则函数f(x)为减函数或函数f(x)存在极值点.f(x)=ex-(a-1),当x(0,+)时,f(x)0不恒成立,即f(x)不是减函数,f(x)必存在极值点,f(x)=0有解,即a-1=ex有解,a(2,+).故选D.8.(2019河北石家庄二模,10)设函数f(x)在R上可导,其导函数为f(x),若函数f(x)在x=1处取得极大值,则函数y=-xf(x)的图象
4、可能是()答案B解析因为f(x)在R上可导且函数f(x)在x=1处取得极大值,所以当x1时,f(x)0;当x=1时,f(x)=0;当x0.所以当x0,当0x1时,y=-xf(x)1时,y=-xf(x)0,可知选项B符合题意.故选B.9.(2019河北唐山一模,理11)设函数f(x)=aex-2sin x,x0,有且仅有一个零点,则实数a的值为()A.2e4B.2e-4C.2e2D.2e-2答案B解析令f(x)=0,则有aex=2sin x,函数f(x)=aex-2sin x,x0,有且仅有一个零点,转化为函数g(x)=aex和函数h(x)=2sin x的图象在0,只有一个交点,设交点为A(x0
5、,y0),则aex0=2sin x0,且函数g(x)=aex和函数h(x)=2sin x的图象在点A(x0,y0)处有相同的切线.g(x0)=aex0,h(x0)=2cos x0,aex0=2sin x0=2cos x0.x0=4,ae4=2,a=2e-4.10.(2019浙江嘉兴期中)已知函数f(x)=4ln x+ax2-6x(a为常数),若x=2为f(x)的一个极值点,则f(2)=,a=.答案01解析函数f(x)=4ln x+ax2-6x(a为常数),f(x)=4x+2ax-6.x=2为f(x)的一个极值点,f(2)=2+4a-6=0,解得a=1.11.(2019安徽“皖南八校”联考一,1
6、5)已知函数f(x)=32x2+(a+4)x-2ln x在区间(1,2)上存在最值,则实数a的取值范围是.答案(-9,-5)解析由题意可得f(x)=3x+(a+4)-2x=3x2+(a+4)x-2x,因为函数f(x)在区间(1,2)上存在最值,所以f(1)f(2)0,即(a+5)(a+9)0,解得-9a-5,故实数a的取值范围是(-9,-5).12.若函数f(x)=x-13sin 2x+asin x在(-,+)单调递增,则a的取值范围是.答案-13,13解析f(x)=1-23cos 2x+acos x=1-23(2cos2x-1)+acos x=-43cos2x+acos x+53,f(x)在
7、R上单调递增,则f(x)0在R上恒成立.令cos x=t,t-1,1,则-43t2+at+530在-1,1上恒成立,即4t2-3at-50在-1,1上恒成立.令g(t)=4t2-3at-5,则g(1)=4-3a-50,g(-1)=4+3a-50,解得-13a13.综合提升组13.(多选)(2019山东章丘区期中)定义在(0,+)上的函数f(x)的导函数为f(x),且(x+1)f(x)-f(x)5B.若f(1)=2,x1,则f(x)x2+12x+12C.f(3)-2f(1)7D.若f(1)=2,0xx2+12x+12答案CD解析设函数g(x)=f(x)-x2x+1,则g(x)=f(x)-2x(x
8、+1)-f(x)-x2(x+1)2=(x+1)f(x)-f(x)-(x2+2x)(x+1)2.因为(x+1)f(x)-f(x)x2+2x,所以g(x)g(2)g(3),整理得2f(2)-3f(1)5,f(3)-2f(1)7.所以A错误,C正确;当0x1时,若f(1)=2,因为g(x)在(0,+)上单调递减,所以当0xg(1)=12,即f(x)-x2x+112,即f(x)x2+12x+12,所以D正确,则B错误.故选CD.14.(2019安徽合肥一模,12)若关于x的方程ex+ax-a=0没有实数根,则实数a的取值范围是()A.(-e2,0B.0,e2)C.(-e,0D.0,e)答案A解析因为x
9、=1不满足方程ex+ax-a=0,所以原方程化为ex+a(x-1)=0,a=ex1-x,令g(x)=ex1-x,当x1时,g(x)=ex(1-x)+ex(1-x)2=ex(2-x)(1-x)2,令g(x)=0,得x=2.x(1,2)2(2,+)g(x)+0-g(x)递增递减又g(2)=-e2,故当x1时,g(x)(-,-e2,综上可得,g(x)的值域为(-,-e2(0,+),要使a=ex1-x无解,则-e20,当x(1,+)时,g(x)0,所以函数g(x)=xex在区间(-,1)上单调递增,在区间(1,+)上单调递减,又当x-时,g(x)-;当x+时,g(x)0,且g(1)=1e,故0-m-1
10、1e,所以-1-1em0),当x1+x2=1时,不等式f(x1)f(x2)恒成立,则实数x1的取值范围为.答案12,+解析不等式f(x1)f(x2)恒成立,且x1+x2=1,不等式f(x1)-f(1-x1)0恒成立,设g(x)=f(x)-f(1-x),f(x)=ex+1-ex+x2+2m(x-1)(m0),g(x)=(e-1)(ex-e1-x)+(4m+2)x-2m-1.g(x)=(e-1)(ex+e1-x)+4m+20,g(x)在R上为增函数,g12=0,要使g(x)0,则x12.故实数x1的取值范围为12,+.创新应用组17.(2019河南洛阳三模,12)已知函数f(x)=(kx-2)ex
11、-x(x0),若f(x)0的解集为(s,t),且(s,t)中恰有两个整数,则实数k的取值范围为()A.1e2+1,1e+2B.1e4+12,1e3+23C.-,1e2+1D.1e3+23,1e2+1答案D解析由f(x)=(kx-2)ex-x0,得(kx-2)exx,即kx-20).设h(x)=xex(x0),h(x)=ex-xex(ex)2=1-xex,由h(x)0得0x1,函数h(x)单调递增,由h(x)1,函数h(x)单调递减,即当x=1时,h(x)取得极大值,极大值为h(1)=1e.要使kx-20),在(s,t)中恰有两个整数,则当k0时,不满足条件.故k0,当x=2时,h(2)=2e2
12、,当x=3时,h(3)=3e3,即A2,2e2,B3,3e3,则当直线g(x)=kx-2在A,B之间满足条件,此时两个整数解为1,2,满足g(2)2e2,g(3)3e3,即2k-22e2,3k-23e3,得k1+1e2,k23+1e3,即1e3+23k1+1e2,故k的取值范围是1e3+23,1e2+1.故选D.18.(2019北京西城区期中)对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0),给出定义:设f(x)是函数y=f(x)的导数,f(x)是函数f(x)的导数,若方程f(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0)为函数y=f(x)的“拐点”.某同学经过探究发现:任何一个三次函数
13、都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.给定函数f(x)=13x3-12x2+3x-512,请你根据上面的探究结果,解答以下问题:(1)函数f(x)=13x3-12x2+3x-512的对称中心坐标为.(2)计算f12 019+f22 019+f32 019+f2 0182 019=.答案(1)12,1(2)2 018解析(1)f(x)=13x3-12x2+3x-512,f(x)=x2-x+3,f(x)=2x-1,令f(x)=0,解得x=12,而f12=1.故函数f(x)的对称中心坐标是12,1.(2)由于函数f(x)的对称中心为12,1.f(1-x)+f(x)=2.f12 019+f22 019+f32 019+f2 0182 019=12f12 019+f2 0182 019+f22 019+f2 0172 019+f2 0182 019+f12 019=12(22 018)=2 018.