1、55.2简单的三角恒等变换教材要点要点一半角公式巧记“半角公式”无理半角常戴帽，象限确定帽前号；数1余弦加减连，角小值大用加号“角小值大用加号”即y1cos (是锐角)是减函数，角小值大，因此用“”号，而y1cos 为增函数，角大值大，因此用“ ”号要点二辅助角公式a sin xb cos xsin (x)，其中tan .1.辅助角公式形式上是a sin b cos (ab0)的三角函数式，通过三角恒等变换可写成sin ()的形式，其中tan ，此公式称为辅助角公式其中可通过tan 以及点(a，b)所在的象限来确定2辅助角公式的特殊情况sin cos sin ；sin cos 2sin ；co
2、s sin 2sin .基础自测1.思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)cos .()(2)存在R，使得cos cos .()(3)对于任意R，sin sin 都不成立()(4)若是第一象限角，则tan .()2若cos ，且(0，)，则cos 的值为()A BC D3下列各式中，值为的是()Asin 15cos 15 Bcos2sin2C D4若3sin xcos x2sin (x)，(，)，则_半角公式的应用例1已知cos ，为第四象限角，求sin ，cos ，tan .方法归纳利用半角公式求值的思路(1)看角：看已知角与待求角的2倍关系(2)明范围：求出相应半角的范围为定符号作准
3、备(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常利用tan 计算，涉及半角公式的正、余弦值时，常利用sin2，cos2计算(4)下结论：结合(2)求值跟踪训练1(1)设是第二象限角，tan ，且sin cos ，则cos ()A BC D(2)已知sin ，则sin _，cos _三角恒等式的证明例2若.证明：cos .方法归纳三角恒等式证明的思路通过观察分析等式两端的结构，从两端角的差异、三角函数名称及结构的差异入手，寻求证明途径，左右归一；或消除等式两端的差异，达到形式上的统一跟踪训练2求证：sin 2.三角恒等变换的应用【角度1】三角恒等变换与三角函数性质的结合例3设函数f(x)cos xco
4、s sin2x.(1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)当x时，求函数f(x)的最大值和最小值方法归纳破解此类题的关键：一是“会化简”，即利用相关的三角函数公式，将三角函数变形为f(x)a sinxb cos xh的形式，再利用辅助角公式把三角函数f(x)a sin xb cos xh化为f(x)sin (x)h的形式，三角恒等变换常用的方法是弦切互换法、角的拆变法、辅助角法、升幂与降幂法二是“用性质”，判断三角函数化为yA sin (x)b后的周期性、单调性、对称性等此时需要熟记ysin x的周期性、单调性、对称性等，以及整体视角“x”三是“得结论”，解出相关的结果，从而得所求的结
5、论【角度2】三角恒等变换的实际应用例4为提升居民生活质量，增加城市活力，某市决定充分利用城市空间修建口袋公园如图所示，现有一处边长为40 m的正方形空地ABCD，若已规划出以A为圆心、半径为30 m的扇形健身场地AEF，欲在剩余部分修建一块矩形草坪PMCN，其中点P在圆弧EF上，点M，N分别落在BC和CD上，设PAB，矩形草坪PMCN的面积为S.(1)求S关于的函数关系式；(2)求S的最大值以及相应的值方法归纳解决实际问题应首先设定主变量角以及相关的常量与变量，建立含有角的三角函数关系式，再利用三角函数的变换、性质等进行求解求三角函数最值的问题，一般需利用三角函数的有界性来解决跟踪训练3已知f
6、(x)2cos x sin x2cos2x1(0)，且f(x)的最小正周期为.(1)求f(x)；(2)当x时，求函数yf(x)的最大值和最小值并求相应的x值课堂十分钟1已知cos，则sin 等于()A BC D2若2，则化简 的结果是()Asin Bcos Ccos Dsin 3已知sin ，3，则tan 的值为()A3 B3C D4函数f(x)sin 2sin2x的最小正周期是_5化简.55.2简单的三角恒等变换新知初探课前预习要点一12sin22cos21212sin22cos21 基础自测1(1)(2)(3)(4)2答案：A3答案：B4答案：题型探究课堂解透例1解析：为第四象限角，为第二
7、、四象限角当为第二象限角时，sin ，cos ，tan ；当为第四象限角时，sin ，cos ，tan .跟踪训练1解析：(1)是第二象限角，且sin cos ，为第三象限，cos 0，tan ，cos ，cos .故选A.(2)，sin ，cos ，且，sin ，cos .答案：(1)A(2)例2证明：左边因为，所以0cos .所以左边cos 右边所以原等式成立跟踪训练2证明：方法一左边cos sin cos sin cos sin 2右边所以原式成立方法二左边cos2cos2tancos sin sin 2右边所以原式成立例3解析：(1)f(x)cos xcos sin2xcosx(1co
8、s2x)sin x cos xcos2xsin2xcos 2xsin ，所以f(x)的最小正周期是T，由2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ，所以函数的单调递增区间为，kZ.(2)当x时，2x，此时sin ，可得f(x)，综上，f(x)最大值为，最小值为.例4解析：(1)由题图知，PM4030cos ，PN4030sin ，于是S(4030sin )(4030cos )1200(sin cos )900sin cos 1600，其中，0，故S关于的函数关系式为S1200(sin cos )900sin cos 1600，(0)；(2)令tsin cos ，则sin cos ，又tsin cos sin ，当0时，所以t1，于是S1 200t9001 600450t21 200t1 150，S(t)为开口向上的抛物线，对称轴t，又1，故当t1时，S取得最大值为400 m2，此时，0或.跟踪训练3解析：(1)函数f(x)2cos x sin x2cos2x1sin2xcos 2x2sin ，因为T，所以2，解得1，所以f(x)2sin .(2)当x时，2x，当2x，即x0时，f(x)min1，当2x，即x时，f(x)max2，所以，x0时，f(x)min1，x时，f(x)max2.课堂十分钟1答案：D2答案：C3答案：B4答案：5解析：原式.