1、第二章导数及其应用6用导数研究函数的性质6.1函数的单调性课后篇巩固提升必备知识基础练1.如图是函数y=f(x)的导函数f(x)的图象,则下列判断正确的是()A.在区间(-2,1)上,f(x)是增函数B.在(1,3)上,f(x)是减函数C.在(4,5)上,f(x)是增函数D.在(-3,-2)上,f(x)是增函数答案C解析由图知当x(4,5)时,f(x)0,所以在(4,5)上,f(x)是增函数.2.曲线y=x2-2ln x的单调递增区间是()A.(0,1B.1,+)C.(-,-1和(0,1D.-1,0)和1,+)答案B解析y=x2-2lnx的定义域是(0,+),y=2x-2x=2(x+1)(x-
2、1)x,令y0,解得x1,故y=x2-2lnx在1,+)内单调递增,故选B.3.若f(x)=lnxx,eab,则()A.f(a)f(b)D.f(a)f(b)1答案C解析令f(x)=1-lnxx2e.f(x)在(e,+)内单调递减,eaf(b).4.若函数f(x)=x3-ax2-x+6在(0,1)内单调递减,则实数a的取值范围是()A.1,+)B.0,1C.(-,1D.(0,1)答案A解析f(x)=3x2-2ax-1,f(x)在(0,1)内单调递减,不等式3x2-2ax-10在(0,1)上恒成立,f(0)0,f(1)0,a1.5.定义在R上的函数f(x),若(x-1)f(x)2f(1)B.f(0
3、)+f(2)=2f(1)C.f(0)+f(2)2f(1)D.f(0)+f(2)与2f(1)大小不定答案C解析(x-1)f(x)1时,f(x)0,x0,则f(x)在(1,+)内单调递减,在(-,1)内单调递增,f(0)f(1),f(2)f(1),则f(0)+f(2)0,y=ex+x在区间(-1,1)内单调递增;y=sinx,y=cosx,由在区间(-1,1)上y=cosx0知,y=sinx在区间(-1,1)内单调递增;y=x3-6x2+9x+2,y=3x2-12x+9=3(x-2)2-3,由在区间(-1,1)上y=3(x-2)2-30知,y=x3-6x2+9x+2在区间(-1,1)内单调递增;y
4、=x2+x+1,y=2x+1,在区间-12,1上y0,在区间-1,-12上y0,所以y=x2+x+1在区间(-1,1)上不是增函数.7.若函数f(x)的导函数为f(x)=x2-4x+3,则函数f(x+1)的单调递减区间是.答案(0,2)解析由f(x)=x2-4x+3,f(x+1)=(x+1)2-4(x+1)+3=x2-2x,令f(x+1)0,解得0x0,即实数a的取值范围是(0,+).9.已知函数f(x)满足f(x)=x3+f23x2-x+c(c为常数).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)设函数g(x)=(f(x)-x3)ex,若函数g(x)在x-3,2上单调,求实数c的取值范围.解(1)
5、由f(x)=x3+f23x2-x+c,得f(x)=3x2+2f23x-1.取x=23,得f23=3232+2f2323-1,解得f23=-1.因为f(x)=x3-x2-x+c,从而f(x)=3x2-2x-1=3x+13(x-1),列表得:x-,-13-13-13,11(1,+)f(x)+0-0+f(x)极大值极小值因此f(x)的单调递增区间是-,-13和(1,+);f(x)的单调递减区间是-13,1.(2)函数g(x)=(f(x)-x3)ex=(-x2-x+c)ex,所以g(x)=(-2x-1)ex+(-x2-x+c)ex=(-x2-3x+c-1)ex,当函数在区间-3,2上单调递增时,等价于
6、h(x)=-x2-3x+c-10在x-3,2上恒成立,只要h(2)0,解得c11.当函数在区间-3,2上单调递减时,等价于h(x)=-x2-3x+c-10在x-3,2上恒成立,即=9+4(c-1)0,解得c-54.所以c的取值范围是-,-5411,+).关键能力提升练10.函数f(x)=12x2-9ln x在区间(m,m+1)内单调递减,则实数m的取值范围是()A.(0,1)B.0,2C.0,1)D.(0,2)答案B解析函数f(x)=12x2-9lnx的定义域为(0,+),f(x)=x-9x=(x+3)(x-3)x,令f(x)0,得0x0,bR)恰好有三个不同的单调区间,则实数a的取值范围是(
7、)A.(0,3)(3,+)B.3,+)C.(0,3D.(0,3)答案D解析由题意得f(x)=3ax2+6x+1(a0),函数f(x)恰好有三个不同的单调区间,f(x)有两个不同的零点,所以,=36-12a0,a0,解得0abcB.cbaC.bacD.cab答案C解析函数f(x)的定义域是(0,+),当x(0,1)时,f(x)=-lnxx,f(x)=lnx-1x2,x(0,1),f(x)0,y=f(x)在(0,1)内单调递减.0e77f7,即af12=2ln2=ln41,x(1,+)时,f(x)=lnxx,c=f(2e)=ln2e2elne22e=1ec,bac,故选C.13.设f(x),g(x
8、)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,g(x)不为0,当x0,且f(3)=0,则不等式f(x)g(x)0的解集是()A.(-3,0)(3,+)B.(-3,0)(0,3)C.(-,-3)(3,+)D.(-,-3)(0,3)答案D解析令F(x)=f(x)g(x)(g(x)恒不为0),则F(x)为奇函数,F(x)=f(x)g(x)-f(x)g(x)g2(x),当x0,F(x)在(-,0)内为增函数.又F(3)=f(3)g(3)=0,F(-3)=0.当x-3时,F(x)0;当-3x0.又F(x)为奇函数,当0x3时,F(x)3时,F(x)0.而不等式f(x)g(x)0和f(x)g(x)0为同解不等式,不
9、等式f(x)g(x)0时,f(x)0,故f(x)在(0,+)内单调递增,A正确;当x(-1,0)时,f(x)0,f(x)单调递增,又f(0)=0,所以f(x)0,所以f(x)只有一个零点,B错误;因为f-12=ln12-1=-1-ln2,所以C正确.15.函数y=3x+a3x+1在(0,+)内单调递增,则实数a的取值范围是.答案(-,4解析y=3x+a3x+1(x0),y=3xln3(3x+1)2(3x+1)2-a.函数在(0,+)内单调递增,(3x+1)2-a0即a(3x+1)2在(0,+)恒成立,而y=(3x+1)24,故a4.16.函数f(x)的定义域是(0,),其导函数是f(x),若f
10、(x)sin x+f(x)cos xf2的解集为.答案0,2解析令F(x)=f(x)sinx(0x),则F(x)=f(x)sinx+f(x)cosx0(0xf2等价于F(x)F2,所以0x-1),f(x)=-12x+1x+1=-(x+2)(x-1)2(x+1)(x-1).当f(x)0时,解得-1x1;当f(x)1.故函数f(x)的单调递增区间是(-1,1),单调递减区间是(1,+).(2)因为函数f(x)在区间1,+)上为减函数,所以f(x)=2ax+1x+10对任意x1,+)恒成立,即a-12x(x+1)对任意x1,+)恒成立.令g(x)=-12x(x+1),则g(x)=4x+22x(x+1)2.因为在区间1,+)上g(x)0,所以g(x)在区间1,+)上单调递增,故g(x)在区间1,+)上的最小值g(x)min=g(1)=-14,故a-14.即实数a的取值范围为-,-14.学科素养创新练18.求证:当x1时,ln x2x-2x+1.证明令g(x)=lnx-2x-2x+1,则g(x)=1x-2(x+1)-2x+2(x+1)2=x2-2x+1x(x+1)2=(x-1)2x(x+1)2,x1,g(x)0,即函数g(x)在区间(1,+)内是增函数.g(x)g(1)=0,即lnx-2x-2x+10,故lnx2x-2x+1.