1、数学2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1 直线与平面垂直的判定 数学自主预习课堂探究数学自主预习1.理解线面垂直的定义和判定定理.2.能运用线面垂直的判定定理证明一些空间位置关系的简单命题.3.能在简单的几何体中计算线面角.课标要求 数学知识梳理 1.直线与平面垂直的概念 如果直线l与平面 内的 都垂直,就说直线l与平面 互相垂直,记作 ,直线l叫做平面 的 ,平面 叫做直线l的 ,直线与平面垂直时,它们惟一的公共点叫做 .任意一条直线 l 垂线 垂面 垂足 2.直线与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 一条直线与一个平面内的 都垂直,则该直线与此平面垂直 alalb
2、abPbl 两条相交直线 数学3.直线与平面所成的角(1)如图,一条直线PA和一个平面 相交,但不和这个平面 ,这条直线叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交点A叫做 ,过斜线上 .的一点向平面引垂线PO,过垂足O和 的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影,平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的 ,叫做这条直线和这个平面所成的角.(2)一条直线垂直于平面,称它们所成的角是 ;一条直线在平面内或一条直线和平面平行,称它们所成的角是 的角,于是,直线与平面所成的角 的范围是0 90.垂直 斜足 斜足以外 斜足A 锐角 直角 0 数学自我检测 1.(线面垂直的定义)直线l平面,直线m,则l与m不可能()(
3、A)平行(B)相交(C)异面(D)垂直 2.(线面垂直定理的理解)垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面的位置关系是()(A)垂直(B)相交但不垂直(C)平行(D)不确定 3.(线面垂直的判定)(2015安庆市石化一中高二期中)将图(1)中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到四面体ABCD,如图(2),则在四面体ABCD中,AD与BC的位置关系是()(A)相交且垂直(B)相交但不垂直 (C)异面且垂直(D)异面但不垂直 A A C 数学4.(直线与平面所成的角)正方体ABCD-A1B1C1D1中直线AB1与平面ABCD所成的角为 .答案:45 5.(直线与平面所成的角)已知线段AB的长等
4、于它在平面 内射影长的2倍,则AB所在直线与平面 所成的角为 .答案:60 数学课堂探究线面垂直的概念与定理的理解 题型一【例1】下列说法中正确的个数是()若直线l与平面 内一条直线垂直,则l;若直线l与平面 内两条直线垂直,则l;若直线l与平面 内两条相交直线垂直,则l;若直线l与平面 内任意一条直线垂直,则l;若直线l与平面 内无数条直线垂直,则l.(A)1(B)2(C)3(D)4 解析:由直线与平面垂直的判定定理和定义知正确的是,故选B.数学题后反思 线面垂直的判定定理中,直线垂直于平面内的两条相交直线,“相交”两字必不可少,否则,就是换成无数条直线,这条直线也不一定与平面垂直.数学即时
5、训练1-1:下列说法中,正确的是 .(1)一条直线和一个平面平行,它就和这个平面内的任何直线平行.(2)垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边.(3)如果三条共点直线两两垂直,那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面.(4)与一个平面的垂线垂直的直线和这个平面平行.解析:(1)a,b,直线a与直线b可能平行,也可能异面,故(1)错.(2)一条直线垂直于三角形的两边,则该直线垂直于三角形所在平面,故该直线与三角形的第三边垂直,故(2)正确.(3)三条共点直线两两垂直,设为a,b,c,且a,b,c共点于O.因为ab,ac,bc=O,所以b、c确定一平面,设为,则a.同理可知b垂直于由a、c确定的平
6、面,c垂直于由a、b确定的平面.故(3)正确.(4)因为平面内的任意一条直线都和该平面的垂线垂直,所以直线也可能在平面内,故(4)不正确.答案:(2)(3)数学直线与平面垂直的判定 题型二【教师备用】1.若把定理中“两条相交直线”改为“两条直线”,直线与平面一定垂直吗?提示:当这两条直线平行时,直线可与平面相交但不一定垂直.2.如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面吗?提示:垂直.数学【例2】(2015唐山市高二期中)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,侧棱PA垂直于底面,E、F分别是AB、PC的中点,PA=AD.求证:(1)CDPD;(2)EF平面
7、PCD.证明:(1)因为PA底面ABCD,CD底面ABCD,所以CDPA.又在矩形ABCD中,CDAD,且ADPA=A,所以CD平面PAD,所以CDPD.数学(2)取 PD 的中点 G,连接 AG,FG,又因为 F 是 PC 的中点,所以 GF12CD,所以 GFAE.所以四边形 AEFG 是平行四边形,所以 AGEF.因为 PA=AD,G 是 PD 的中点,所以 AGPD,所以 EFPD,因为 CD平面 PAD,AG 平面 PAD.所以 CDAG.所以 EFCD.因为 PDCD=D,所以 EF平面 PCD.数学题后反思 利用直线与平面垂直的判定定理证明线面垂直的关键是在这个平面内找到两条相交
8、直线,证明它们和这条直线垂直.数学即时训练 2 1:如图所示,侧棱垂直于底面的三棱柱 ABC A1B1C1中,底面 ABC 为等腰直角三角形,ACB=90,C 点到 AB1的距离为 CE,D 为 AB 的中点.求证:(1)CDAA1;(2)AB1平面 CED.证明:(1)由题意,得AA1平面ABC,CD平面ABC,所以CDAA1.(2)因为D是AB的中点,ABC为等腰直角三角形,ACB=90,所以CDAB.又CDAA1,ABA1A=A,所以CD平面A1B1BA,因为AB1平面A1B1BA,所以CDAB1.又CEAB1,CDCE=C,所以AB1平面CED.数学【备用例 1】(2015 山西忻州高
9、二期中联考)如图,在四棱锥 P ABCD 中,PD平面 ABCD,AD=CD,DB 平分ADC,E 为 PC 的中点.(1)证明:PA平面 BDE;(2)证明:AC平面 PBD.证明:(1)设ACBD=H,连接EH.在ADC中,因为AD=CD,且DB平分ADC,所以H为AC的中点.又由题设,E为PC的中点,故EHPA.又EH平面BDE,且PA平面BDE,所以PA平面BDE.数学(2)因为PD平面ABCD,AC平面ABCD,所以PDAC.由(1)可得,DBAC.又PDDB=D,故AC平面PBD.数学【备用例 2】(2014 高考湖北卷)如图,在正方体 ABCD A1B1C1D1中,E,F,P,Q
10、,M,N 分别是棱 AB,AD,DD1,BB1,A1B1,A1D1的中点,求证:(1)直线 BC1平面 EFPQ;(2)直线 AC1平面 PQMN.证明:(1)连接 AD1,由 ABCD A1B1C1D1是正方体,知 AD1BC1,因为 F,P 分别是 AD,DD1的中点,所以 FPAD1.从而 BC1FP.而 FP 平面 EFPQ,且 BC1平面 EFPQ,故直线 BC1平面 EFPQ.数学(2)如图,连接AC,BD,则ACBD.由CC1平面ABCD,BD平面ABCD,可得CC1BD.又ACCC1=C,所以BD平面ACC1.而AC1平面ACC1,所以BDAC1.连接B1D1,因为M,N分别是
11、A1B1,A1D1的中点,所以MNBD,从而MNAC1.同理可证PNAC1.又PNMN=N,所以直线AC1平面PQMN.数学直线与平面所成的角 题型三【例 3】如图所示,已知 AB 为圆 O 的直径,且 AB=4,点 D 为线段 AB 上一点,且 AD=13DB,点 C 为圆 O 上一点,且 BC=3 AC.点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D,PD=DB.(1)求证:CD平面 PAB;(2)求直线 PC 与平面 PAB 所成的角.数学法一(1)证明:连接 CO,由 3AD=DB 知,点 D 为 AO 的中点.又因为 AB 为圆 O 的直径,所以 ACCB.由3 AC=BC 知,CAB
12、=60,所以ACO 为等边三角形.故 CDAO.因为点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D,所以 PD平面 ABC,又 CD 平面 ABC,所以 PDCD,由 PD 平面 PAB,AO 平面 PAB,且 PDAO=D,得 CD平面 PAB.数学(2)解:由(1)知CPD 是直线 PC 与平面 PAB 所成的角,又AOC 是边长为 2 的正三角形,所以 CD=3.在 RtPCD 中,PD=DB=3,CD=3,所以 tanCPD=CDPD=33,CPD=30,即直线 PC 与平面 PAB 所成的角为 30.数学法二(1)证明:因为 AB 为圆 O 的直径,所以 ACCB.在 RtABC 中,
13、由 AB=4,3AD=DB,3 AC=BC 得,DB=3,BC=23,所以 BDBC=BCAB=32,则BDCBCA,所以BCA=BDC,即 CDAO.因为点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D,所以 PD平面 ABC.又 CD 平面 ABC,所以 PDCD.由 PD 平面 PAB,AO 平面 PAB,且 PDAO=D,得 CD平面 PAB.数学(2)解:由(1)知CPD 是直线 PC 与平面 PAB 所成的角.在 RtPCD 中,PD=BD=3,CD=22BCBD=3,所以 tanCPD=CDPD=33,CPD=30,即直线 PC 与平面 PAB 所成的角为 30.数学题后反思 求平面
14、的斜线与平面所成的角的一般步骤:(1)确定斜线与平面的交点(斜足);(2)通过斜线上除斜足以外的某一点作平面的垂线,连接垂足和斜足即为斜线在平面上的射影,则斜线和射影所成的锐角即为所求的角;(3)求解由斜线、垂线、射影构成的直角三角形.数学即时训练 3 1:如图所示,AB 是圆柱的母线,BD 是圆柱底面圆的直径,C 是底面圆周上一点,且 AB=BC=2,CBD=45.(1)求证:CD平面 ABC;(2)求直线 BD 与平面 ACD 所成角的大小.(1)证明:因为BD是底面圆的直径,所以CDBC.又AB平面BCD,CD平面BCD,所以ABCD.因为ABBC=C,所以CD平面ABC.数学(2)解:取 AC 的中点 E,连接 DE,由(1)知 BECD,又 E 是 AC 的中点,AB=BC=2,ABC=90,所以 BEAC,所以 BE平面 ACD,所以直线BD 与平面 ACD 所成的角为BDE.而 BE平面 ACD,则 BEED,即BED 为直角三角形.又 AB=BC=2,CBD=45,则 BD=22,BE=2,所以 sinBDE=BEBD=12,所以BDE=30.数学点击进入课时作业数学 谢谢观赏Thanks!
