1、第9讲函数模型及其应用基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1给出下列函数模型：一次函数模型；幂函数模型；指数函数模型；对数函数模型下表是函数值y随自变量x变化的一组数据，它最可能的函数模型是_(填序号).x45678910y15171921232527解析根据已知数据可知，自变量每增加1函数值增加2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型答案2某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是_(填序号)解析前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有，图象符合要求，而后
2、3年年产量保持不变，总产量增加，故正确，错误答案3某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元一个月的本地网内打出电话时间t(分钟)与打出电话费s(元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差_元解析设A种方式对应的函数解析式为sk1t20，B种方式对应的函数解析式为sk2t，当t100时，100k120100k2，k2k1，t150时，150k2150k1201502010.答案104在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为_m.解析设内接矩形另一边长为y，则由相似三角形性质可得，解得y40x，所以
3、面积Sx(40x)x240x(x20)2400(0x40)，当x20时，Smax400.答案205(2017长春模拟)一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为 yaebt(cm3)，经过 8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过_min，容器中的沙子只有开始时的八分之一解析当t0时，ya，当t8时，yae8ba，e8b，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即yaebta，ebt(e8b)3e24b，则t24，所以再经过16 min.答案166A，B两只船分别从在东西方向上相距145 km的甲乙两地开出A从甲地自东向西行驶B从乙地
4、自北向南行驶，A的速度是40 kmh，B的速度是 16 kmh，经过_h，AB间的距离最短解析设经过x h，A，B相距为y km，则y(0x)，求得函数的最小值时x的值为.答案7某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为_解析设该企业需要更新设备的年数为x，设备年平均费用为y，则x年后的设备维护费用为242xx(x1)，所以x年的平均费用为yx1.5，由基本不等式得yx1.52 1.521.5，当且仅当x，即x10
5、时取等号答案108(2016四川卷改编)某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入若该公司2015年全年投入研发奖金130万元在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是_(参考数据：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30)解析设第x年的研发奖金为200万元，则由题意可得130(112%)x200，1.12x，xlog1.12log1.1220log1.12133.8.即3年后不到200万元，第4年超过200万元，即2019年超过200万元答案2019二、解答题9(2016江苏卷)现需要设计一个仓库，它由上下两部
6、分组成，上部分的形状是正四棱锥PA1B1C1D1，下部分的形状是正四棱柱ABCDA1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高OO1是正四棱锥的高PO1的4倍(1)若AB6 m，PO12 m，则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？解(1)V6226224312(m3)(2)设PO1x，则O1B1，B1C1，SA1B1C1D12(62x2)，又由题意可得下面正四棱柱的高为4x.则仓库容积Vx2(62x2)2(62x2)4xx(36x2)由V0得x2或x2(舍去)由实际意义知V在x2(m)时取到最大值，故当PO12 m时，仓库容积最大10(20
7、17南通模拟)某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y48x8 000，已知此生产线年产量最大为210吨(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？解(1)每吨平均成本为(万元)则482 4832，当且仅当，即x200时取等号年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元(2)设年获得总利润为R(x)万元则R(x)40xy40x48x8 000 88x8 000 (x220)21 680(0x210
8、)R(x)在0,210上是增函数，x210时，R(x)有最大值为(210220)21 6801 660.年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元能力提升题组(建议用时：30分钟)11(2017南京调研)某市对城市路网进行改造，拟在原有a个标段(注：一个标段是指一定长度的机动车道)的基础上，新建x个标段和n个道路交叉口，其中n与x满足nax5.已知新建一个标段的造价为m万元，新建一个道路交叉口的造价是新建一个标段的造价的k倍(1)写出新建道路交叉口的总造价y(万元)与x的函数关系式；(2)设P是新建标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比若新建的标段数是原有标段数的20%，且k3.问：P
9、能否大于，说明理由解(1)依题意得ymknmk(ax5)，xN*.(2)法一依题意x0.2a，所以P，则ka220a25k0.因为k3，所以100(4k2)0，不等式ka220a25k0)时，销售量q(x)(单位：百台)与x的关系满足：若x不超过20，则q(x)；若x大于或等于180，则销售量为零；当20x180时，q(x)ab(a，b为实常数)(1)求函数q(x)的表达式；(2)当x为多少时，总利润(单位：元)取得最大值，并求出该最大值解(1)当20x180时，由得故q(x)(2)设总利润f(x)xq(x)，由(1)得f(x)当0x20时，f(x)126 000，又f(x)在(0,20上单调
10、递增，所以当x20时，f(x)有最大值120 000.当20x180时，f(x)9 000x300x，f(x)9 000450，令f(x)0，得x80.当20x0，f(x)单调递增，当80x180时，f(x)0，f(x)单调递减，所以当x80时，f(x)有最大值240 000.当x180时，f(x)0.综上，当x80元时，总利润取得最大值240 000元13(2017苏北四市调研)如图，某森林公园有一直角梯形区域ABCD，其四条边均为道路，ADBC，ADC90，AB5 千米，BC8 千米，CD3 千米现甲、乙两管理员同时从A地出发匀速前往D地，甲的路线是AD，速度为6千米/时，乙的路线是ABC
11、D，速度为v千米/时(1)若甲、乙两管理员到达D的时间相差不超过15分钟，求乙的速度v的取值范围；(2)已知对讲机有效通话的最大距离是5千米若乙先到D，且乙从A到D的过程中始终能用对讲机与甲保持有效通话，求乙的速度v的取值范围解(1)由题意得AD12 千米，解得v，故乙的速度v的取值范围是.(2)设经过t小时，甲、乙之间的距离的平方为f(t)由于乙先到达D地，故8.当0vt5，即00，所以当t时，f(t)取最大值 ，所以225，解得v.当5vt13，即8，所以0，所以当t时，f(t)取最大值，所以(v6)22925，解得v.当13vt16，即t时，f(t)(126t)2(16vt)2因为126t0,16vt0，所以f(t)在上单调递减，所以当t时，f(t)取最大值，2225，解得v.因为v8，所以8v.综上所述，v的取值范围是.